దిక్కులు  

అన్ని దిశల్లో దొరికే జవాబులు!

 

కొత్త ప్రదేశంలో చిరునామా వెతకాలంటే దిక్కులు అర్థం కావాలి. ఆఫీసుకు దగ్గరదారి కనుక్కోవాలంటే ఆ ప్రాంతంపై పట్టు ఉండాలి. ఇంట్లో సామాను చక్కగా సర్దుకోవాలంటే ఏ వైపు ఏది ఉంచితే బాగుంటుందో గ్రహించగలగాలి. ఇవన్నీ తెలియాలంటే ప్రాదేశిక పరిజ్ఞానం ఉండాలి. నిత్య జీవితంలో ఈ విధమైన నైపుణ్యాలు చాలా అవసరం. పోటీ పరీక్షార్థుల్లో వాటిని అంచనా వేయడానికి, వారి తార్కిక ఆలోచనా సామర్థ్యాన్ని గుర్తించడానికి రీజనింగ్‌లో భాగంగా దిక్కులపై ప్రశ్నలు అడుగుతారు. కాస్త శ్రద్ధ పెట్టి సాధన చేస్తే అన్ని దిక్కుల్లో జవాబులు దొరుకుతాయి. తక్కువ శ్రమతో ఎక్కువ మార్కులు సంపాదించుకోవచ్చు. 

ప్రధానంగా దిక్కులు నాలుగు. అవి.. ఉత్తరం, తూర్పు, దక్షిణం, పడమర. వీటితో పాటుగా మూలలు నాలుగు అవి.. ఈశాన్యం, ఆగ్నేయం, నైరుతి, వాయవ్యం.

* ప్రతి రెండు వరుస దిక్కులు లేదా మూలల మధ్య కోణం 90^O. 

* ఒక వ్యక్తి లేదా వాహనం పలు మార్గాల ద్వారా  గమ్యస్థానం చేరినప్పుడు ప్రయాణించిన మొత్తం దూరం అనేది వాటి మధ్య ఉండే కనిష్ఠ దూరానికి సమానం. ఈ సందర్భంలో పైథాగరస్‌ సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తారు.

 

పైథాగరస్‌ సూత్రం

ఒక లంబకోణం త్రిభుజంలో కర్ణం మీది వర్గం మిగతా రెండు భుజాల వర్గాల మొత్తానికి సమానం.

AC² = AB² + BC²

మాదిరి ప్రశ్నలు

1. ఒక వ్యక్తి తూర్పు దిశగా తన ప్రయాణాన్ని   ప్రారంభించి 1 కి.మీ. నడిచిన తర్వాత దక్షిణం వైపునకు తిరిగి 5 కి.మీ. ప్రయాణించాడు. మళ్లీ తూర్పు వైపునకు తిరిగి 2 కి.మీ. వెళ్లిన తర్వాత ఉత్తరం వైపునకు తిరిగి 9 కి.మీ. ప్రయాణించాడు. అయితే అతడు బయలుదేరిన స్థానం నుంచి ఎంత దూరంలో ఉన్నాడు?

1) 3 కి.మీ.   2) 4 కి.మీ.   3) 5 కి.మీ.   4) 7 కి.మీ.

వివరణ: A నుంచి బయలుదేరి F ని చేరాడు.

AB = 1 కి.మీ.

BC = 5 కి.మీ.     

CD = 2 కి.మీ.

DE = 5 కి.మీ.

EF = 4 కి.మీ.

AEF ఒక లంబకోణ త్రిభుజం

AF² = AE² + EF² = 3² + 4²

AF2 = 25, AF = 5 కి.మీ.

 బయలుదేరిన స్థానం నుంచి ఆ వ్యక్తి 5 కి.మీ. దూరంలో ఉన్నాడు.

జ: 3

2. ఒక వ్యక్తి తన ఇంటి నుంచి ఆఫీస్‌కు బయలుదేరాడు. మొదట తూర్పుదిశగా తన ప్రయాణాన్ని ప్రారంభించి 20 మీ. నడిచిన తర్వాత దక్షిణ దిశగా తిరిగి 10 మీ. ప్రయాణం చేశాడు. తర్వాత 35 మీ. పడమర వైపునకు ప్రయాణించి మరొక 5 మీ. ఉత్తర దిశగా వెళ్లాడు. అక్కడి నుంచి 15 మీ. తూర్పు దిశగా ప్రయాణం చేసి ఆఫీస్‌కు చేరాడు. అయితే ఇంటి నుంచి ఆఫీస్‌ ఎంత దూరంలో ఉంటుంది?

1) 0 మీ.   2) 5 మీ.  3) 10 మీ.   4) 11 మీ. 

AB = 20 మీ., BC = 10 మీ., CD = 35 మీ., DE = 5 మీ., EF= 15 మీ. 

 ఇంటి నుంచి ఆఫీస్‌ (AF) = 5 మీ.

జ: 2

3. ఒక వ్యక్తి P బిందువు నుంచి తూర్పు వైపునకు 9 కి.మీ. సైకిల్‌పై ప్రయాణించిన తర్వాత ఉత్తరం వైపునకు 2 కి.మీ. తొక్కాడు. అక్కడి నుంచి తూర్పు వైపునకు 3 కి.మీ. ప్రయాణించాడు. చివరగా ఉత్తరం వైపునకు 3 కి.మీ. సైకిల్‌ తొక్కి Q ని చేరాడు. అప్పుడు P, Q ల మధ్య దూరం ఎంత?

1) 17 కి.మీ.  2) 15 కి.మీ.   3) 12 కి.మీ.    4) 13 కి.మీ.

పటం నుంచి 

PA = 9 కి.మీ.,AB = 2 కి.మీ., BC = 3 కి.మీ.

CD = 2 కి.మీ., AD = 3 కి.మీ., CQ = 3 కి.మీ.

PQD ఒక లంబకోణం త్రిభుజం

PQ² = PD² + DQ² = 12² + 5² = 144 + 25

జ: 4

4. మోహన్‌ ఉత్తరం వైపునకు 20 మీ. నడిచి తర్వాత తన కుడివైపునకు తిరిగి 30 మీ. వెళ్లాడు. మళ్లీ కుడివైపునకు తిరిగి 35 మీ.,  తర్వాత ఎడమ వైపునకు తిరిగి 15 మీ. నడిచాడు. చివరగా ఎడమ వైపునకు తిరిగి 15 మీ. నడిచాడు. అయితే అతడు ప్రారంభ స్థానం నుంచి ఎంత దూరం, ఏ దిశలో ఉన్నాడు?

1) 15 మీ., పడమర      2) 30 మీ., తూర్పు 

3) 30 మీ., పడమర     4) 45 మీ., తూర్పు

AD = 30 మీ., DG = 15 మీ.

బయలు దేరిన స్థానం నుంచి దూరం 

= AD + DG = 30 + 15 = 45 మీ.  

మోహన్‌ బయలుదేరిన స్థానం దృష్ట్యా తూర్పు దిశలో ఉన్నాడు. 

జ: 4

5. ఒక వ్యక్తి A నుంచి 3 కి.మీ. తూర్పు వైపు ప్రయాణించి B చేరాడు. అక్కడి నుంచి ఎడమ వైపు తిరిగి 3 రెట్లు ప్రయాణించి C చేరాడు. మళ్లీ తన ఎడమ వైపు తిరిగి AB దూరానికి 5 రెట్లు ప్రయాణించి గమ్యస్థానం D చేరాడు. అయితే AD దూరం ఎంత?

1) 10 కి.మీ.   2) 12 కి.మీ.   3) 15 కి.మీ.   4) ఏదీకాదు

వివరణ: 

AB = 3 కి.మీ.,

BC = 9 కి.మీ.,

CE = 3 కి.మీ.,

ED = 12 కి.మీ.

AED ఒక లంబకోణ త్రిభుజం

AD² = AE² + DE² = 9² + 12² = 81 + 144

AD² = 225, AD = 15

జ: 3

 

6. దృతి తన ఇంటి నుంచి ఆగ్నేయం వైపు  7 మీ. నడిచి, పడమర వైపునకు తిరిగి 14 మీ. నడిచింది. అక్కడి నుంచి 7 మీ. వాయవ్యం వైపు నడిచి, చివరికి 4 మీ. తూర్పునకు వెళ్లింది. అయితే తాను బయలు  దేరిన స్థానం నుంచి ఎంత దూరంలో ఉంది?

1) 3 మీ.       2) 4 మీ.   3) 10 మీ.     4) 11 మీ.

వివరణ: 

పటం ఆధారంగా 

దృతి బయలుదేరిన స్థానం నుంచి 

14 - 4 = 10 మీ. దూరంలో ఉంది.

జ: 3

రచయిత: గోలి ప్రశాంత్‌ రెడ్డి