సంభావ్యత

 అటూ ఇటూగా అంచనాకు వీలు!

 

వాన ఎప్పుడు పడుతుందో చెప్పడం కష్టం. కానీ కురవడానికి ఎంత అవకాశం ఉందో ఊహించవచ్చు. ఒక విషయం మీద ప్రజలందరి అభిప్రాయాలను ఒకేసారి తెలుసుకోవడం సాధ్యం కాదు. అయితే ఎక్కువమంది ఏమనుకుంటున్నారో అంచనాకు రావొచ్చు. స్టాక్‌ మార్కెట్‌ హెచ్చుతగ్గులను కచ్చితంగా కనిపెట్టడం కుదరదు. అయినప్పటికీ అంతో ఇంతో లెక్కకట్టేస్తుంటారు. వీటన్నింటికీ ఆధారం సంభావ్యత. సమాచారాన్ని విశ్లేషించి సరైన నిర్ణయాలు తీసుకోవడంలో, లాభాలను పెంచుకోవడంలో, నష్టాలను వీలైనంత నివారించుకోవడంలో ఈ సంభావ్యత సాయపడుతుంది. దీనిపై పోటీ పరీక్షల్లో ప్రశ్నలు అడుగుతుంటారు. మౌలికాంశాలను నేర్చుకుని, సాధన చేస్తే వేగంగా జవాబులు గుర్తించడం సాధ్యమవుతుంది. 

యాదృచ్ఛిక ప్రయోగం: శాస్త్రీయ ప్రయోగాలకు భిన్నంగా కొన్ని ప్రయోగాల్లో ఏర్పడే పర్యవసానాలన్నీ ముందే తెలుస్తాయి. కానీ ప్రయోగం చేసే సమయంలో కచ్చితంగా ఏ పర్యవసానం ఏర్పడుతుందో ముందుగా ఊహించడం సాధ్యం కాని వాటిని యాదృచ్ఛిక ప్రయోగాలు అంటారు.

ఉదా: నాణేన్ని ఎగరవేయడం, పాచికను దొర్లించడం లాంటివి.

ఘటన: ఒక యాదృచ్ఛిక ప్రయోగ ప్రతీ పర్యవసానాన్ని ఘటన అంటారు.

ప్రతిరూప ఆవరణం: ఒక యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలోని అన్ని పర్యవసానాల సమూహాన్ని ప్రతిరూప ఆవరణమని అంటారు. దీనిని 'S' తో సూచిస్తారు. ఉదా: ఒక నాణేన్ని ఎగరవేసినప్పుడు ప్రతిరూప ఆవరణం 

S = {H, T} H = బొమ్మ  T =  బొరుసు

సంభావ్యత: యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలో వెలువడే ఫలితాలను సమ సంభవమైనవిగా, ప్రతిరూప ఆవరణమైనవిగా పరిగణిస్తారు.

E అనే ఘటన యొక్క సైద్ధాంతిక లేదా సంప్రదాయ సంభావ్యతను P(E) అని రాస్తారు. ఇక్కడ పర్యవసానాలు సమ సంభవమైనవిగా  పరిగణించాలి. సాధారణంగా సైద్ధాంతిక సంభావ్యతను ‘సంభావ్యత’ అంటారు.

ఒక ఘటన E యొక్క ప్రాయోగిక సంభావ్యత P(E)  అయితే 

సైద్ధాంతిక సంభావ్యత లేదా సంప్రదాయ సంభావ్యత: ప్రయోగం చేయకుండానే అన్ని పర్యవసానాలను బట్టి ఒక ఘటన సంభావ్యతను అంచనా వేయవచ్చు. దీనినే సైద్ధాంతిక సంభావ్యత లేదా సంప్రదాయ సంభావ్యత అని అంటారు.

గమనిక: ఒక ఘటన E యొక్క సంభావ్యత P(E) అయితే

ఒక ప్రయోగంలో ఒక ఘటనకు ఒకటి మాత్రమే పర్యవసానం ఉంటే దాన్ని ప్రాథమిక ఘటన అని అంటారు.

ఒక ప్రయోగంలో అన్ని ప్రాథమిక సంఘటనల సంభావ్యత మొత్తం ''1'' అవుతుంది.

* కచ్చిత ఘటన యొక్క సంభావ్యత - 1

* అసాధ్య ఘటన యొక్క సంభావ్యత - 0

* E ఒక ఘటన  అనేది  కు పూరక ఘటన అవుతుంది.

 P(E) + P() = 1

సమ సంభవ ఘటన: ఒక ప్రయోగంలో రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ ఘటనలు సంభవించడానికి సమాన అవకాశాలు ఉంటే వాటిని సమ సంభవ ఘటనలు అంటారు.

పరస్పర వివర్జిత ఘటన: ఒక ప్రయోగంలో రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ ఘటనల్లో ఒక ఘటన యొక్క సంభవం మిగిలిన అన్ని ఘటనల యొక్క సంభవాన్ని నిరోధిస్తే ఆ ఘటనను ‘పరస్పర వివర్జిత ఘటన’ అని అంటారు.

పూరక ఘటన: ఒక ప్రయోగంలో ఒక ఘటన యొక్క అన్ని పర్యవసానాలు లేదా ప్రతిరూప ఆవరణంలో మిగిలిన అన్ని పర్యవసానాలున్న ఘటనను మొదటి దానికి పూరక ఘటన అంటారు.

కచ్చిత ఘటన: ఒక ప్రయోగంలో ఒక ఘటన యొక్క సంభవం కచ్చితమైతే దానిని ‘కచ్చిత ఘటన’ లేదా ‘దృఢ ఘటన’ అంటారు.కచ్చిత ఘటన సంభావ్యత - 1

అసాధ్య ఘటన: ఒక ప్రయోగంలో ఒక ఘటన ఎప్పుడూ సాధ్యపడకపోతే దాన్ని అసాధ్య ఘటన అని అంటారు. 

ఉదా: ఒక పాచికను దొర్లించినప్పుడు ముఖంపై T రావడం ఒక అసాధ్య ఘటన. సంభావ్యతను మొదటిసారిగా 1795లో ‘పియర్‌ సిమ్సన్‌ లాప్లేస్‌’ నిర్వచించాడు. 

16వ శతాబ్దంలో జి.కార్డన్‌ అనే ఇటలీ భౌతిక శాస్త్రవేత్త, గణితజ్ఞుడు The Book on Games of Chance  అనే పుస్తకాన్ని రాయడంతో సంభావ్యత ఒక శాస్త్రంగా ఉద్బవించింది. 

పేక దస్తా 

* పేక దస్తాలో 52 పేక ముక్కలు ఉంటాయి. ఇవి 4 విభాగాలుగా (Suits) విభజితమై ఉంటాయి. 

* ఒక్కో విభాగంలో 13 పేక ముక్కలు ఉంటాయి. (4 X 13 = 52)

* ఆ కట్టలో 4 ఏస్‌లు, 4 కింగ్‌లు,  4 క్వీన్‌లు, 4 జాక్‌లు ఉంటాయి. వీటిని ముఖ కార్డులు (ఫేస్‌ కార్డ్స్‌) అంటారు. 

1. ఒక నాణేన్ని వరుసగా మూడు సార్లు విసిరినప్పుడు ..... సంభావ్యత ఎంత?

a) ఒక బొమ్మ (హెడ్‌) పడే 

b) కనీసం ఒక బొమ్మ పడే 

c) అసలు బొరుసు (టెయిల్‌) పడని 

d) కనీసం రెండు బొరుసులు పడే 

e) బొరుసులు కంటే బొమ్మలు ఎక్కువగా పడే 

f) కనీసం ఒక బొమ్మ, ఒక బొరుసు పడే 

వివరణ: ఒక నాణేన్ని మూడు సార్లు విసిరినా, మూడు నాణేలను ఒకసారి విసిరినా వచ్చే ఫలితాలు సమానం. 

కాబట్టి ఒక నాణేన్ని మూడు సార్లు విసిరినప్పుడు ఏర్పడే పర్యవసానాలు(S) = {HHH, TTT, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH}

a)  ఒక బొమ్మ(హెడ్‌) పడే సంభావ్యత:

అనుకూల పర్యవసానాలు  = {HTT, THT, TTH}

b) కనీసం ఒక బొమ్మపడే సంభావ్యత: 

అనుకూల పర్యవసానాలు = {HTT, THT, TTH, HHT, HTH, THH, HHH}

c) అసలు బొరుసు (టెయిల్‌) పడని  సంభావ్యత: 

అనుకూల పర్యవసానాలు = {HHH}

 

d) కనీసం రెండు బొరుసులు పడే సంభావ్యత: 

అనుకూల పర్యవసానాలు =- {HTT, THT, TTH, TTT}

e) బొరుసులు కంటే బొమ్మలు ఎక్కువగా పడే సంభావ్యత: 

అనుకూల పర్యవసానాలు  = {HHH, HHT, HTH, THH}

f)  కనీసం ఒక బొమ్మ, ఒక బొరుసు పడే సంభావ్యత: 

అనుకూల పర్యవసానాలు = {HHT, HTH, THH, HTT, THT, THH, TTH}

2.బాగా కలిపిన పేక ముక్కల కట్ట నుంచి యాదృచ్ఛికంగా ఒక పేక ముక్కను తీస్తే సంభావ్యత ఎంత?

a) స్పేడ్‌ కార్డు   

b)రాజు లేదా రాణి   

c) ఎరుపు రంగు సూట్‌ హానర్స్‌ కార్డు   

d) 3 సంఖ్యను కలిగి ఉండే  

వివరణ: 

మొత్తం పర్యవసానాలు ⁵²C₁ = 52 

a) స్పేడ్‌ కార్డు రావడానికి సంభావ్యత ఎంత? 

స్పేడ్‌ కార్డు రావడానికి పర్యవసానాలు = 13

b) రాజు లేదా రాణి రావడానికి సంభావ్యత ఎంత? 

రాజు లేదా రాణి రావడానికి పర్యవసానాలు = 4 

c) ఎరుపు రంగు సూట్‌ రావడానికి సంభావ్యత ఎంత? 

ఎరుపు రంగు సూట్‌ రావడానికి సంభావ్యత 

d)  3 సంఖ్యను కలిగి ఉండే సంభావ్యత: 

3 సంఖ్యను కలిగి ఉండే సంభావ్యత 

రచయిత: దొర  కంచుమర్తి