వర్గసమీకరణాలు (Quadratic Equations)
ముఖ్యాంశాలు
a, b, cవాస్తవ సంఖ్యలై a ≠ 0 అయితేax2 + bx + c = 0 ను x లో వర్గసమీకరణం అంటారు.
p(x)ఒక వర్గబహుపది అవుతుంటే,p(x) = 0 రూపంలో ఉన్న వాటిని వర్గసమీకరణాలు అంటారు.
ఉదా:x2 + 4x + 3 = 0,
2x2 − 3x + 5 = 0 మొదలైనవి.
వర్గసమీకరణ సాధారణ రూపం: a, b, c ∈ R; a ≠ 0అయితే ax2 + bx + c = 0 ను వర్గసమీకరణ సాధారణ రూపం అంటారు.
మోనిక్‌ వర్గసమీకరణం: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) వర్గసమీకరణంలో a= 1 అయితే ఆ వర్గసమీకరణాన్ని ‘మోనిక్‌ వర్గ సమీకరణం’ అంటారు.
ఉదా: x2 − 7x + 10 = 0
శుద్ధ వర్గసమీకరణం: ax2 + bx + c = 0 లో b = 0అయితే ఆ వర్గసమీకరణాన్ని శుద్ధవర్గసమీకరణం అంటారు.
ax2 + c = 0ను శుద్ధసమీకరణం అంటారు.
ఉదా: x2 − 4 = 0, 4x2 − 9 = 0
మాదిరి సమస్యలు
1. 5x2 − x + 1 = 0వర్గసమీకరణం మూలాలు...
1) వాస్తవాలు, సమానాలు
2) వాస్తవాలు, అసమానాలు
3) సంకీర్ణాలు
4) ఏదీకాదు
సాధన: 5x2 − x + 1 = 0 ను ax2 + bx + c = 0 తో పోలిస్తే, a = 5, b = −1, c = 1
విచక్షణి (∆) = b2 − 4ac
= (−1)2 − 4(5)(1)
= 1 − 20 = −19 < 0 విచక్షణి (∆) < 0, \ కాబట్టి మూలాలు సంకీర్ణాలు.
సమాధానం: 3
2. 3x2 − 6x + 11 = 0అనే వర్గసమీకరణానికి మూలాల మొత్తం, మూలాల లబ్ధం వరుసగా....
సాధన:
3x2 − 6x + 11 = 0 ను
ax2 + bx + c = 0 తో పోలిస్తే, a = 3, b = −6, c = 11
మూలాల మొత్తం
మూలాల లబ్ధం
సమాధానం: 1
3. x2 − kx + 25 = 0 కి సమాన మూలాలు ఉన్నాయి. అయితే k విలువ.....
1) ± 5 2) ± 10 3) ± 15 4) ± 25
సాధన: x2 − kx + 25 = 0 ను ax2 + bx + c = 0 తో పోలిస్తే, a = 1, b = −k, c = 25
x2 − kx + 25 = 0 కి సమాన మూలాలు ఉంటే, b2 − 4ac = 0 అవుతుంది.
⇒ (−k)2 − 4 (1)(25) = 0
⇒ k2 − 100 = 0
⇒ k2 = 100 ⇒ k = √ 100 = ± 10
∴ k = ± 10
సమాధానం: 2
4. −3, −4 మూలాలుగా ఉన్న వర్గసమీకరణం...
1) x2 + 7x + 12 = 0 2) x2 − 7x + 12 = 0 3) x2 + 7x − 12 = 0 4) x2 − 7x − 12 = 0
సాధన: α = −3, β = −4 కావాల్సిన వర్గసమీకరణం
= x2 − (α + β)x + αβ = 0
⇒ x2 − (−3 −4)x + (−3)(−4) = 0
⇒ x2 + 7x + 12 = 0
సమాధానం: 1
5. √ 3x2 + 6 = 9 ధనాత్మక మూలం....
1) 4 2) 5 3) 6 4) 1
సాధన: √ 3x2 + 6 = 9
⇒ 3x2 + 6 = 92 = 81
⇒ 3x2 = 81 − 6 = 75
⇒ x = √ 25 = ± 5
∴ x = 5
సమాధానం: 2
6. 5x2 − kx + 11 = 0 కి ఒక మూలం 3 అయితే kవిలువ ఎంత?
సాధన: 5x2 − kx + 11 = 0 కి ఒక మూలం 3
⇒ 5(3)2 − k(3) + 11 = 0
⇒ 45 − 3k + 11 = 0
⇒ 56 − 3k = 0
⇒ 3k = 56
సమాధానం: 4
7. 3x2 − kx + 11 = 0 వర్గసమీకరణానికి మూలాల మొత్తం 7/3 అయితే k = ...
సాధన: 3x2 − kx + 11 = 0 ను ax2 + bx + c = 0 తో పోలిస్తే,
సమాధానం: 1
8. 7(2x − 3)2 − 12(2x − 3) − 4 = 0 వర్గసమీకరణానికి ఒక మూలం....
సాధన: 2x − 3 = t అనుకోండి.
7t2 − 12t − 4 = 0
⇒ 7t2 − 14t + 2t − 4 = 0
⇒ 7t(t − 2) + 2(t − 2) = 0
⇒ (t − 2)(7t + 2) = 0
⇒ t − 2 = 0 లేదా 7t + 2 = 0
సమాధానం: 1
9. sinα, cosα లు ax2 + bx + c = 0 వర్గసమీకరణానికి మూలాలు అయితే కిందివాటిలో సరైంది ఏది?
1) a2 − b2 = ac
2) a2 + 4ac = b2
3) a2 + 2bc = c2
4) a2 + 2ac = b2
సాధన: ax2 + bx + c = 0 మూలాలు = sinα, cosα
10. x2 + 2mx + m2 − 2m + 6 = 0 వర్గసమీకరణ మూలాలు సమానం అయితే m విలువ ఎంత?
1) 3 2) 2 3) 1 4) 0
సాధన: x2 + 2mx + m2 − 2m + 6 = 0నుax2 + bx + c = తో పోలిస్తే,a = 1, b = 2m, c = m2 − 2m + 6 మూలాలు సమానం కాబట్టి, b2 = 4ac
⇒ (2m)2 = 4(1) (m2 − 2m + 6)
⇒ 4m2 = 4 (m2 − 2m + 6)
⇒ m2 = m2 − 2m + 6
⇒ 2m = 6
సమాధానం: 1
1) x2 − 2ax + a = 0
2) x2 − 2ax − a = 0
4) x2 − ax + 1 = 0
α, β మూలాలుగా ఉన్న వర్గసమీకరణం...
x2 − (α + β)x + αβ = 0
సమాధానం: 3
12. px2 − 2x + 2 = 0 వర్గసమీకరణం వాస్తవ మూలాలు కలిగి ఉంది. అయితే p విలువ...
సాధన: px2 − 2x + 2 = 0 ను ax2 + bx + c = 0తో పోలిస్తే,
a = p, b = −2, c = 2
px2 − 2x + 2 = 0
మూలాలు వాస్తవ మూలాలు అయితే, ∆ ≥ 0 ⇒ b2 − 4ac ≥ 0
⇒ (−2)2 − 4(p)(2) ≥ 0
⇒ 4 − 8p ≥ 0
⇒ −8p ≥ −4
⇒ 8p ≤ 4
సమాధానం: 3
