సంఖ్యలు

సున్నాలు రాసి.. సంఖ్యను తీసేసి!

అన్ని రకాల గణిత భావనలకు సంఖ్యలే మూలం. వాటిపై సరైన అవగాహన లేకపోతే అంకగణితం సహా అన్ని సబ్జెక్టులను అర్థం చేసుకోవడం కష్టం. కంప్యూటర్‌ సైన్స్, ఇంజినీరింగ్, భౌతిక, రసాయన శాస్త్రాలతోపాటు సాంకేతిక అంశాలను అధ్యయనం చేయాలంటే సంఖ్యల పరిజ్ఞానం అవసరం. కూడికలు, తీసివేతలు, గుణకారాలు, భాగహారాలు మొదలైన ప్రాథమిక గణిత పరిక్రియలపై పట్టు సాధించాలంటే సంఖ్యల లక్షణాలు, వాటి మధ్య సంబంధాలను పోటీ పరీక్షార్థులు తెలుసుకోవాలి. భాజనీయతా సూత్రాలనూ ప్రాక్టీస్‌ చేయాలి. 

 

మాదిరి ప్రశ్నలు

(a + b)² = a² + b² + 2ab 

(a - b)² = a² + b² - 2ab

(a + b)² + (a - b)² = 2(a² + b²)

(a + b)² -  (a - b)² = 4ab

a²- b² = (a + b) (a - b) 

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)

(a + b)³ = a³ + b³ + 3a²b + 3ab² 

(a - b)³ = a³ - b³ - 3a²b + 3ab² 

a³ - b³ = (a - b) (a² + ab + b²) 

a³ + b³ = (a + b) (a² - ab + b²)


1. (10¹²+ 25)² - (10¹² - 25)² = 10ⁿ అయితే n విలువ ఎంత?

1) 14    2) 10    3) 24    4) 6

సాధన: దత్తాంశం ప్రకారం (10¹² + 25² ) - 10¹² - 25)² = 10ⁿ ను (a + b)² - (a - b)²  తో పోలిస్తే దాని విలువ 4ab అవుతుంది.

అప్పుడు (10¹² + 25)² - (10¹² - 25)² = 10ⁿ (a + b)² - (a - b)² = 4ab 

4 × 10¹² × 25 =10ⁿ

10¹² × 10² = 10ⁿ    (4 × 25 = 100) 10 -14 =10ⁿ

 ∴ n= 14           

జ: 1

2. 1³ + 2³ + 3³ + ....... + 10³ = 3025 అయితే 4 + 32 + 108 + ....... + 4000 = .......

 1) 12000    2) 12100    3) 12200    4) 12300

సాధన: దత్తాంశం ప్రకారం 1³ + 2³ + 3³ + ....... + 10³ = 3025

అప్పుడు  4 + 32 + 108 +- - - - - - - - + 4000 

= 4 × 1 + 4 × 8 + 4 × 27 + - - - - - - - - + 4 × 1000

= 4 (1 + 8 + 27 + ....... + 1000)

=- 4 (13 +23 + 33 + - - - - - - - - + 10³

= 4 × 3025 (లెక్కలో ఇచ్చారు) = 12100  

జ: 2  

​​​​​​

జ: 2

 

 

5. 106  × 106 -  94  ×  94 = .......

 1) 1904  2) 1906  3) 2000 4) 2400

సాధన: దత్తాంశం ప్రకారం 106 × 106 − 94 × 94 ను  (a + b)(a -b)  ప్రకారం పోలిస్తే 

=(106 + 94) (106 − 94) 

= 200 × 12 = 2400   

జ: 4

6. 3897 × 999 =- - - - - - -

1) 3883203     2) 3893103 

3) 3639403    4) 3791203

సాధన: ఇలాంటి లెక్కలో కుడివైపు 9 లు ఉంటే ఎన్ని 9 లు ఉంటే అన్ని సున్నాలు రాసి ఎడమ వైపు ఉండే సంఖ్యను తీసి వేయాలి.

3897000 - 3897 = 3893103

ఇది 9 కి మాత్రమే. మిగిలిన వాటికి ఉపయోగించకూడదు.            

 జ: 2

7. 112  ×  5⁴ = .......

1) 67000             2) 70000     

3) 76500            4) 77200

 జ: 2

8.  457కు దగ్గర ఉండి 11 తో నిశ్శేషంగా భాగించబడే సంఖ్య?

1) 450  2) 451   3) 460   4) 462

సాధన: భాజనీయతా సూత్రాల ప్రకారం ఏదైనా సంఖ్యను 11 తో భాగించాలంటే సరిస్థానాల్లోని అంకెల మొత్తం, బేసి స్థానాల్లోని అంకెల మొత్తాల మధ్య భేదం 0 లేదా 11 యొక్క కారణాంకం కావాలి. ఇందులో రెండు ఛాయిస్‌లు ఉన్నాయి.

 2  4 + 1 = 5  4  4 + 2 = 6

ఇవి 11తో భాగించబడతాయి. కానీ అవి 457 కు  దగ్గరగా ఉండాలి

కాబట్టి 457 కు దగ్గరగా ఉండి, 11 తో భాగించబడే సంఖ్య 462 అవుతుంది.            

 జ: 4

9. 100, 300 ల మధ్య 7తో భాగించబడే సంఖ్యలు ఎన్ని ఉన్నాయి?

1) 14    2) 21    3) 28   4) 42

సాధన: ఇప్పుడు మనకు కావాల్సినవి 100, 300 ల మధ్య అంటే 42 - 14 = 28 అవుతుంది.

సంక్షిప్త పద్ధతి: 300 -100 = 200

  = 28 అవుతుంది       

 జ: 3

10. 8597 * 65 అనే సంఖ్యను 11 తో నిశ్శేషంగా భాగించాలంటే * యొక్క కనిష్ఠ విలువ ఎంత?

1) 0    2) 3    3) 4    4) 7

సాధన: ఏదైనా సంఖ్యను 11తో భాగించాలి అంటే సరి స్థానాల్లోని అంకెల మొత్తం, బేసి స్థానాల్లోని అంకెల మొత్తాల మధ్య భేదం 0 లేదా 11 యొక్క     కారణాంకం కావాలి. 

8 + 9+ * + 5 =  5 +  7 + 6 

22 + * =18

రెండింటి మధ్య తేడా 11 అయితే 11 తో భాగించబడుతుంది. 

* = 7   

జ: 4

 

 

 

రచయిత: బిజ్జుల విష్ణువర్ధన్‌ రెడ్డి