నిష్పత్తి

ఎన్ని రెట్లు.. ఎన్నో వంతు!

అందుబాటులో ఉన్న సమయాన్ని అందరూ రకరకాల పనుల కోసం విభజించుకుంటారు. పెట్టుబడులు పెడితే లాభాల గురించి లెక్కలు వేస్తారు. షాపింగ్‌లో రకరకాల] ధరలను సరిచూసుకుని వస్తువులు కొంటుంటారు. ఇవన్నీ నిష్పత్తి లెక్కలే. ఒకే ప్రమాణంలో వ్యక్తమయ్యే రాశుల మధ్య చేసే పోలికలే. నిత్య జీవితంలో ఎదురయ్యే ఘటనల ఆధారంగా నిష్పత్తిని అర్థం చేసుకోవచ్చు. ఆ పరిజ్ఞానం శాతాలు, వడ్డీలు, భిన్నాలు, శ్రేణులు తదితర అంకగణిత భావనలపై పోటీ పరీక్షార్థులు పట్టు సాధించడానికి సాయపడుతుంది. విశ్లేషణాత్మక, విమర్శనాత్మక ఆలోచనా నైపుణ్యాలను పెంపొందించుకోవడానికి దోహదపడుతుంది. 

నిష్పత్తి: ఒకే ప్రమాణాల్లో వ్యక్తపరిచే రాశుల పోలికను నిష్పత్తి అంటారు. దీన్ని a : b రూపంలో సూచిస్తారు. ఇక్కడ a ను పూర్వపదం, b ను పరపదం అంటారు. 

రాశుల నిష్పత్తి: ఒకే ప్రమాణాలు ఉన్న రెండు రాశులను భాగహారం చేసి పోలిస్తే వచ్చే ఫలితాన్ని ఆ రాశుల నిష్పత్తి అంటారు. 

నోట్‌: నిష్పత్తి అనేది మొదటి రాశికి రెండో రాశి ఎన్ని రెట్లు లేదా ఎన్నో వంతు అనేది తెలియజేస్తుంది. 

కనిష్ఠ రూపం: నిష్పత్తిలో    పదాలకు 1 తప్ప మరో ఉమ్మడి కారణాంకం లేకపోతే ఆ నిష్పత్తిని కనిష్ఠ రూపంలో లేదా సాధారణ రూపంలో ఉందని అంటారు. 

ఉదా: 5 : 7, 11 : 13

నోట్‌: ఎ) నిష్పత్తిలో ఉండే రెండు పదాలను ఒకే సంఖ్యతో గుణించినా లేదా భాగించినా ఆ నిష్పత్తిలో ఎలాంటి మార్పు ఉండదు. 

బి) నిష్పత్తిలో ఉండే రెండు  పదాలకు ఒకే సంఖ్యను కలపడం లేదా తీసివేయడం వల్ల దానిలో మార్పు వస్తుంది. 

a : b అనేది ఒక నిష్పత్తి అయితే, అప్పుడు  వర్గ నిష్పత్తి a² : b²

బహుళ నిష్పత్తి: రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ నిష్పత్తుల్లో పూర్వపదాల లబ్ధానికి, పరపదాల లబ్ధానికి ఉండే నిష్పతిని బహుళ నిష్పత్తి లేదా మిశ్రమ నిష్పత్తి లేదా సంకీర్ణ నిష్పత్తి అంటారు. 

* a : b, c : d ల బహుళ నిష్పత్తి ac : bd

* a : b, c : d, e : f బహుళ నిష్పత్తి  ace : bdf

దివ్య నిష్పత్తి (Golden Ratio): పూర్వకాలంలో ఈ నిష్పత్తిని ఉపయోగించి అద్భుతమై కట్టడాలను నిర్మించారు. 

దివ్య నిష్పత్తి = 1 : 1.618

ఉదా: తాజ్‌మహల్, పార్థెనన్‌ లాంటి చారిత్రక కట్టడాలను ఈ నిష్పత్తిని ఉపయోగించి నిర్మించారు. 

* మానవ శరీరంలో కూడా దివ్య నిష్పత్తి ఒక భాగమై ఉంది.

ఉదా:

* చేతి మధ్యవేలు చివర నుంచి మోచేతి వరకు ఉండే దూరం : మణికట్టు నుంచి మోచేతి వరకు ఉండే దూరం

*   భుజం రేఖ పొడవు : తల పొడవు 

నిష్పత్తి ధర్మాలు: 

* నిష్పత్తికి ప్రమాణాలు ఉండవు. 

* రెండు రాశుల నిష్పత్తిని కనుక్కోవడానికి వాటిని ఒకే ప్రమాణంలోకి మార్చాలి. 

* నిష్పత్తిలో పదాలను ఎల్లప్పుడూ  పూర్ణాంకాలుగా సూచించాలి. 

* రెండు నిష్పత్తులను పోల్చాల్సి వచ్చినప్పుడు పూర్వ లేదా పరపదాలను సమానం చేయాలి. దీన్నే ‘తుల్య నిష్పత్తి’ అంటారు. 

* నిష్పత్తిని భిన్న రూపంలోనూ రాయొచ్చు. కాబట్టి భిన్నాలకు వర్తించే ధర్మాలన్నీ నిష్పత్తులకూ వర్తిస్తాయి. 

మాదిరి ప్రశ్నలు 
 

1.  ఎ) A : B = 1 : 2, B : C =- 3 : 5 అయితే  A : B : C ఎంత? 

1) 4 : 7 : 14     2) 3 : 6 : 9   

3) 3 : 6 : 10       4) 4 : 5 : 3 

సి)    జీతాల నిష్పత్తి A : B = 1 : 2, B : C = 3 : 4, C : D = 5 : 6, D : E = 7 : 8 అయితే A, E ల జీతం నిష్పత్తి ఎంత? 

1) 128 : 35    2) 35 : 128   3) 36 : 37   4) ఏదీకాదు 

2. రూ.581లను A, B, C అనే ముగ్గురు వ్యక్తులు పంచుకుంటే A వాటా 4 రెట్లు, B వాటా 5 రెట్లు, C వాటా 7 రెట్లకు సమానం. అయితే A వాటా ఎంత (రూపాయల్లో)? 

1) రూ.141   2) రూ.196   3) రూ.245   4) రూ.254 

3. రెండు సంఖ్యల నిష్పత్తి 12 : 13. ఒక్కో సంఖ్యకు 2ను పెంచితే ఆ సంఖ్యల నిష్పత్తి 13 : 14. అయితే ఆ సంఖ్యల్లో మొదటి సంఖ్య ఎంత? 

1) 24   2) 36   3) 48   4) 37 

వివరణ: రెండు సంఖ్యల నిష్పత్తి 12 : 13 

4.  A, B ల రాబడి నిష్పత్తి 5 : 3. A, B, C ల ఖర్చుల నిష్పత్తి 8 : 5 : 2. C ఖర్చు రూ.2000, B పొదుపు రూ.700 అయితే A రాబడి ఎంత? 

1) రూ.9000    2) రూ.9500    3) రూ.5000   4) రూ.1000 

5.  ఎ) ఒక సంచిలో రూ.1, 50 పైసలు, 25 పైసల నాణేలు ఉన్నాయి. వాటి నిష్పత్తి   4 : 5 : 8. ఆ సంచిలో మొత్తం 170 నాణేలు ఉన్నాయి. అయితే మొత్తం ఎంత? 

1) రూ.85     2) రూ.170   3) రూ.58     4) రూ.140

వివరణ: రూ.1  50 పై.  25 పై.  

                     4  :  5   :  8 

17 భాగాలు = 170, 1 భాగం = 10 

రూ.1 నాణేలు 4 X 10 = 40 ⇒ 40 X 1 = రూ.40 

50 పైసల నాణేలు 5 X 10 = 50 ⇒ 50 X 0.5 = రూ.25  

25 పైసల నాణేలు 8 X 10 = 80 ⇒ 80 X 0.25 = రూ.20 ⇒ 40 + 25 + 20 = రూ.85    

జ: 1

బి)  ఒక సంచిలో రూ.10, రూ.5, రూ.2 నోట్లున్నాయి. వాటి నిష్పత్తి 1 : 2 : 3. ఆ సంచిలో రూ.260 ఉంటే రూ.5 నోట్ల సంఖ్య?  

1) 10   2) 20    3) 30   4) 50 

వివరణ: రూ.10  రూ.5  రూ.2 

             1   :  2  :  3 

= (1 X 10) + (2 X 5) + (2 X 3)  (10 + 10 + 6) = 26 

ఆ సంచిలో మొత్తం విలువ= 260/26  = 10

రూ.5 నోట్ల సంఖ్య = 2 X 10 = 20
 

 

రచయిత: దొర కంచుమర్తి