అనుపాతం

ముఖ్యాంశాలు

a, b అనే సంఖ్యల నిష్పత్తి = a, b

a : b లో మొదటిపదం (పూర్వపదం) = a, 

              రెండోపదం (పరపదం) = b

 a : b = c : d అయితే a, b, c, d  లు అనుపాతంలో ఉంటాయి.

a : b = c : d ⇒ a ని మొదటి పదం, 

                          b ని రెండో పదం,

                          ‘c ని మూడో పదం, 

                          d ని నాలుగో పదం అంటారు.

 a : b = c : d ⇒ a × d = b × c 

a : b = b : c అయితే a, b, b, c‘ లు అనుపాతంలో ఉంటాయి.

a, b, c‘ లు అనుపాతంలో ఉంటే b² = ac  అవుతుంది.

లేదా

 = అవుతుంది.

             మాదిరి సమస్యలు

1. 25, 255ల అనుపాత మధ్యమం ఎంత?

1 ) 65          2 ) 25          3 ) 75          4 ) 95

సాధన: a, b ల అనుపాతమధ్యమం = √ab

25, 225 ల అనుపాతమధ్యమం =  √25 × 225

= √  25 × √ 225 = 5 × 15

  = 75     

సమాధానం: 3

2. కిందివాటిలో కనిష్ఠ (smallest)  నిష్పత్తి ఏది?

1 ) 41 : 92     2 ) 33 : 41     3 ) 42 : 49     4 ) 35 : 47

సాధన: 1 ) 41 : 92 = ⁴¹/₉₂ = 0.4456 = 0.45 

              2) 33 : 41 = ³³/₄₁ = 0.8048 = 0.80 

              3 ) 42 : 49 =  ⁴²/₄₉= 0.8571 = 0.86 

              4 ) 35 : 47 = ³⁵/₄₇= 0.7446 = 0.74 

సమాధానం: 1

3. 24, 72 ల అనుపాత తృతీయ పదం.... 

1 ) 146          2 ) 176          3 ) 196          4 ) 216

సాధన: 24, 72 ల అనుపాత తృతీయ పదం = x అనుకోండి.

⇒ 24, 72, x  లు అనుపాతంలో ఉంటాయి.

, a, b, c‘ లు అనుపాతంలో ఉంటే  b² = ac

ఇక్కడ  a = 24, b = 72, c = x 

⇒ (72)² = 24 × x

  ⇒ x = 216  

 సమాధానం: 4

4. 16, 40ల అనుపాత తృతీయపదానికి; 10, 40ల అనుపాత మధ్యమానికి మధ్య నిష్పత్తి?

1 ) 4 : 1          2 ) 5 : 1          3) 2 : 1          4 ) 3 : 2

సాధన: 16, 40 ల అనుపాత తృతీయ పదం = అనుకోండి.

a = 16, b = 40, c = x 

10, 40 ల అనుపాత మధ్యమం = √ ab 

a = 10, b = 40 

√ 10 × 40 = √ 400 = 20

కావాల్సిన నిష్పత్తి = 100 : 20 = 5 : 1

సమాధానం: 2

5. 0.024, 0.12ల అనుపాత తృతీయపదం ........

1) 0.600       2 ) 6.000       3 ) 0.060       4 ) 0.006

సాదన: 0.024, 0.12ల అనుపాత తృతీయపదం = x అనుకోండి 

0.024, 0.12,x లు అనుపాతంలో ఉంటాయి.         

a, b, c లు అనుపాతంలో ఉంటే, = 

ఇక్కడ a = 0.024, b = 0.12, c = x 

​​​​​

 సమాధానం: 1

6. a : b = 2 : 3, b : c = 6 : 7 అయితే a : b : c = ........ 

1 ) 1 : 2 : 3    2 ) 3 : 2 : 1    3 ) 4 : 6 : 7    4 ) 4 : 3 : 2

సాదన:  a : b = 2 : 3, b : c = 6 : 7

రెండు నిష్పత్తుల్లో ఉమ్మడి పదం = b   

3, 6 ల క.సా.గు = 6

a : b = 2 : 3 = 4 : 6, b : c = 6 : 7

a : b : c = 4 : 6 : 7

సమాధానం: 3

7. 1.5x = 0.04 అయితే     విలువ .......... 

​

సాదన: 1.5x = 0.04y 
 

    

సమాధానం: 4

8. రూ.1050ను  a, b, c‘ అనే వ్యక్తులు  a :  b  = 3 : 4 , b : c = 6 : 7   నిష్పత్తిలో పంచుకున్నారు. అయితే అందులో ‘ వాటా ఎంత? 

1 ) రూ.420         2 ) రూ.360         3 ) రూ.270         4 ) రూ.450

సాదన : a : b = 3 : 4, b : c = 6 : 7 

       4, 6 ల క.సా.గు. = 12

a : b = 3 : 4 = 9 : 12; b : c = 6 : 7 = 12 : 14

a : b : c = 9 : 12 : 14

సమాధానం: 1

9. 3, 9ల అనుపాత తృతీయపదం p అయితే 6, p, 4 ల అనుపాత చతుర్థపదం ఎంత?

1 ) 12            2 ) 15            3 ) 18            4 ) 21

సాదన: 3, 9ల అనుపాత తృతీయపదం = p

 6, p, 4ల అనుపాత చతుర్థపదం = x అనుకోండి

6 : p = 4 : x ⇒ 6 : 27 = 4 : x

⇒ 6 × x = 27 × 4

 

∴ x = 18

సమాధానం: 3

10. 4p = 6q = 9r అయితే p : q : r = ....... 

1 ) 4 : 6 : 9    2 ) 9 : 6 : 4    3 ) 2 : 3 : 4    4 ) 4 : 3 : 2

సాదన: 4p = 6q = 9r 

 

 ( 4, 6, 9 ల క.సా.గు. = 36 )

     

సమాధానం: 2

11. a : b = 5 : 7, b : c = 8 : 15  అయితే   8c : 5a = ...... 

1 ) 7 : 3       2 ) 21 : 5       3 ) 21 : 17       4 ) 8 : 5

సాదన:  a : b = 5 : 7,  b : c = 8 : 15 

7, 8ల క.సా.గు. = 56

a : b = 5 : 7 = 5 × 8 : 7 × 8 = 40 : 56

b : c = 8 : 15 = 8 × 7 : 15 × 7 = 56 : 105

a : b : c = 40 : 56 : 105

8c : 5a = 8 × 105 : 5 × 40

 = 21 : 5

సమాధానం: 2

12. 12, 18, 6ల అనుపాత చతుర్థపదం; 4, k ల అనుపాత తృతీయపదం సమానం. అయితే k విలువ..... 

1 ) 9             2 ) 8             3 ) 7             4 ) 6

సాదన: 12, 18, 6ల అనుపాత చతుర్థపదం = x అనుకోండి

12, 18, 6, x లు అనుపాతంలో ఉంటాయి.

12 : 18 = 6 : x

12 × x = 18 × 6

 

∴ x = 9 
 

లెక్కప్రకారం, 4, k ల అనుపాత తృతీయపదం = 12, 18, 6ల అనుపాత చతుర్థపదం

k² = 9 × 4 = 36

k = 6

సమాధానం: 4

13. a = 2b అయితే  విలువ..... 

1 ) 5             2 ) 4             3 ) 3             2 ) 2

సాదన: a = 2b 

సమాధానం: 3

రచయిత

సీ‡హెచ్‌. రాధాకృష్ణ

విషయ నిపుణులు