* ఒకే రకమైన రెండు రాశుల్లో మొదటిది, రెండోదాంతో ఎన్నిరెట్లు ఉందో పోల్చి చెప్పే గణిత ప్రక్రియను 'నిష్పత్తి' అంటాం.
* a, b లు ఒకే రకమైన రెండు రాశులు అయితే వాటి నిష్పత్తిని a : b అని రాస్తాం. అని భిన్న రూపంలో చూపిస్తాం.
* a : b నిష్పత్తిలో aను పూర్వపదమని, bని పరపదమని అంటారు.
నిష్పత్తులు - రకాలు
* వర్గ నిష్పత్తి: a : b యొక్క వర్గ నిష్పత్తి a2 : b2
* వర్గమూల నిష్పత్తి: a : b యొక్క వర్గమూల నిష్పత్తి
* ఘన నిష్పత్తి: a : b యొక్క ఘన నిష్పత్తి a3 : b3
* ఘనమూల నిష్పత్తి: a : b యొక్క ఘనమూల నిష్పత్తి
* అనుపాతం: రెండు నిష్పత్తుల సమానత్వాన్ని అనుపాతం అంటాం.
a : b = c : d అయితే, a : b : : c : d అని రాస్తాం.
a : b : : c : d ad = bc (అంత్యాల లబ్ధం = మధ్యముల లబ్ధం)
అనుపాతం - రకాలు
మధ్యమానుపాతం (Mean proportional): a, b ల యొక్క మధ్యమానుపాతం అవుతుంది.
తృతీయ లేదా మూడో అనుపాతం (Third Proportional): a : b = b : c అయితే cని a, bల తృతీయ అనుపాతం అంటారు. అంటే
చతుర్థానుపాతం (Fourth Proportional): a : b = c : d అయితే, d ని చతుర్థానుపాతం అంటారు. అంటే
విలోమ నిష్పత్తి: a : b యొక్క విలోమ నిష్పత్తి
బహుళ నిష్పత్తి: ఏవైనా రెండు నిష్పత్తుల్లో పూర్వపదాల లబ్ధానికి, పరపదాల లబ్ధానికి ఉన్న నిష్పత్తిని ఆ రెండు నిష్పత్తుల బహుళ నిష్పత్తి అంటారు.
a : b, c : dలు ఏవైనా రెండు నిష్పత్తులు అయితే వాటి బహుళ నిష్పత్తి ac : bd అవుతుంది.
మాదిరి సమస్యలు
1. 5, 8, 15 లకు చతుర్థానుపాత సంఖ్య ఎంత?
సాధన: చతుర్థానుపాతం
2. 16, 36ల తృతీయానుపాత సంఖ్య ఎంత?
సాధన: తృతీయానుపాతం
3. ఒక మ్యాచ్లో రాహుల్, రమేష్ పరుగుల నిష్పత్తి 13 : 7. రమేష్, రాహుల్ కంటే 48 పరుగులు తక్కువ చేశాడు. అయితే వారి పరుగులు విడివిడిగా ఎంత?
సాధన: రాహుల్, రమేష్ల పరుగుల నిష్పత్తి 13 : 7
రాహుల్ చేసిన పరుగులు = 13x; రమేష్ చేసిన పరుగులు = 7x
దత్తాంశం నుంచి, వారి పరుగుల మధ్య తేడా 48.
కాబట్టి 13x - 17x = 48
6x = 48
రాహుల్ చేసిన పరుగులు = 13 × 8 = 104
రమేష్ చేసిన పరుగులు = 7 × 8 = 56
4. రూ.784 ను నాలుగు భాగాలుగా విభజించారు. మొదటి భాగానికి 4 రెట్లు - రెండో భాగానికి మూడు రెట్లు, మూడో భాగానికి రెట్టింపు, నాలుగోభాగానికి 12 రెట్లకు సమానంగా ఉండేలా ఆ విభజన ఉంది. ఒక్కో భాగం విలువ ఎంత?
సాధన: a, b, c, dలను విభజించి 4 భాగాలుగా అనుకుంటే దత్తాంశం నుంచి,
4a = 3b = 2c = 12d .............. (1)
a + b + c + d = 784 .............. (2)
(1) నుంచి 4a = 12d 3b = 12d 2c = 12d
a = 3d 3b = 12d c = 6d
a, b, c విలువలను (2)లో ప్రతిక్షేపిస్తే
3d + 4d + 6d + d = 784
14d = 784
a = 3d = 3(56) = 168;
b = 4d = 4(56) = 224;
c = 6d = 6(56) = 336.
రూ.784 ను 4 భాగాలుగా విభజిస్తే ఒక్కోభాగం విలువ వరుసగా రూ.168, రూ.224, రూ.336, రూ.56
5. 200 మంది బాలురు, 300 మంది బాలికలు ఒక విందుకు వెళ్లారు. ఒక బాలుడు, ఒక బాలికకు అయ్యే ఖర్చుల నిష్పత్తి 3 : 2. విందుకయ్యే మొత్తం ఖర్చు రూ.18,000 అయితే ఒక్కో బాలుడు, బాలికకు అయ్యే ఖర్చు ఎంత?
సాధన: విందుకు వెళ్లిన మొత్తం బాలుర సంఖ్య = 200, బాలికల సంఖ్య = 300
ఒక్కో బాలుడు, బాలికకు అయ్యే ఖర్చుల నిష్పత్తి = 3 : 2
ప్రతి ఒక్క బాలుడిపై అయ్యే ఖర్చు = రూ.3x
ప్రతి ఒక్క బాలికపై అయ్యే ఖర్చు = రూ.2x
200 మంది బాలురపై అయ్యే మొత్తం ఖర్చు = 3x × 200 = రూ.600 x
300 మంది బాలికలపై అయ్యే మొత్తం ఖర్చు = 2x × 300 = రూ.600 x
మొత్తం ఖర్చు = రూ. 18,000లు కాబట్టి 600x + 600x = 18,000
రూ.1200x = 18,000
ప్రతి ఒక్క బాలుడిపై అయ్యే ఖర్చు = 3 × 15 = రూ.45
ప్రతి ఒక్క బాలికపై అయ్యే ఖర్చు = 2 × 15 = రూ.30
6. ఒక పర్సులో రూ.10, రూ.20, రూ.100 ల నాణేలున్నాయి. వాటి నిష్పత్తి 1 : 2 : 1. ఆ పర్సులో ఉన్న మొత్తం సొమ్ము రూ.750 అయితే రూ.20 నాణేల సంఖ్య ఎంత?
సాధన: పర్సులోని రూ.10, రూ.20, రూ.100 ల నాణేల సంఖ్య x, y, z అనుకుంటే
10x + 20y + 100z = 750 ............ (1)
x : y : z = 1 : 2 : 1
x = k; y = 2k; z = k అవుతుంది.
x, y, z విలువలను (1)లో ప్రతిక్షేపిస్తే,
10 k + 20(2k) + 100 k = 750
150 k = 750
k = 5
రూ.20 విలువ ఉన్న నాణేల సంఖ్య = 2k = 2(5) = 10
7. ఒక వజ్రం విలువ రూ. 5,07,000. ఆ వజ్రం కిందికి పడిపోవటం వల్ల మూడు ముక్కలు అయితే, వాటి బరువుల నిష్పత్తి 2 : 4 : 7. వజ్రం విలువ దాని బరువు వర్గానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటే, వజ్రం పగిలిపోవడం వల్ల దాని విలువలో తగ్గుదల ఎంత?
సాధన: వజ్రం కింద పడి, మూడు ముక్కలుగా విరిగిన తర్వాత వాటి బరువుల నిష్పత్తి = 2 : 4 : 7
ఒక్కో ముక్క బరువు 2x, 4x, 7x అనుకుంటే
వజ్రం మొత్తం బరువు (w) = 2x + 4x + 7x = 13x
దత్తాంశం నుంచి విలువ (బరువు)2
v w2
v = kw2
v = k(13x)2
v = 169 kx2
5,07,000 = 169 kx2
3 ముక్కల మొత్తం విలువ = k(2x)2 + k(4x)2 + k(7x)2
= 4x2k + 16x2k + 49x2k
= 69x2k
= 69(3,000)
= రూ 2,07,000
నష్టం = రూ.5,07,000 - 2,07,000 = రూ. 3,00,000
8. కొంత మొత్తాన్ని A, B, Cలకు 4 : 5 : 6 నిష్పత్తిలో పంచాల్సి ఉండగా, పొరపాటున నిష్పత్తిలో పంచారు. దీని కారణంగా C కి రావలసిన దానికంటే రూ.12,000 తక్కువ వచ్చింది. C వాటా ఎంత?
సాధన: రూ. x మొత్తాన్ని A, B, C ల మధ్య పంచాల్సిన వాస్తవ నిష్పత్తి = 4 : 5 : 6
C వాస్తవ వాటా
కానీ, A, B, Cల మధ్య పంచిన నిష్పత్తి =
4, 5, 6ల కసాగు 60 కాబట్టి, A, B, C ల మధ్య పంచిన నిష్పత్తి = 15 : 12 : 10
C వాటా
పంచాల్సిన మొత్తం = రూ. x
దత్తాంశం నుంచి
24x = 12,000 × 5 × 37
C వాస్తవ వాటా = రూ. 37,000
9. A, B ల నెలవారీ ఆదాయాల నిష్పత్తి 5 : 6, ఖర్చుల నిష్పత్తి 4 : 3. A తన ఆదాయంలో 1/5వ వంతు దాచాడు. అయితే వారి పొదుపుల నిష్పత్తి ఎంత?
సాధన: A, B ల ఆదాయాల నిష్పత్తి = 5 : 6
A ఆదాయం = రూ.5x
B ఆదాయం = రూ.6x
A, B ల ఖర్చుల నిష్పత్తి = 4 : 3
A ఖర్చు = రూ. 4y
B ఖర్చు = రూ.3y
A దాచిన సొమ్ము = రూ.(5x - 4y)
B దాచిన సొమ్ము = రూ.(6x - 3y)
కానీ, A దాచిన సొమ్ము తన ఆదాయంలో 1/5వ వంతు కాబట్టి
5x − 4y = (5x)
5x − 4y = x
4x = 4y
x = y
A, B దాచిన సొమ్ముల నిష్పత్తి = రూ. (5x - 4x) : (6y - 3y) = 1 : 3
10. ఒక బ్యాగులో 50 పైసలు, 25 పైసలు, 10పైసల నాణేల నిష్పత్తి 5 : 9 : 4. బ్యాగులో ఉన్న మొత్తం సొమ్ము రూ.206 అయితే ఒక్కో రకం నాణేల సంఖ్య ఎంత?
సాధన: బ్యాగులో ఉన్న 50, 25, 10 పైసల నాణేల నిష్పత్తి = 5 : 9 : 4
50, 25, 10 పైసల నాణేల సంఖ్య = 5x, 9x, 4x
వాటి మొత్తం విలువ =
కానీ, దత్తాంశం నుంచి = 206
50 x + 45 x + 8 x = 4120
103 x = 4120
50 పైసల నాణేల సంఖ్య = 5x = 5 × 40 = 200
25 పైసల నాణేల సంఖ్య = 9x = 9 × 40 = 360
10 పైసల నాణేల సంఖ్య = 4x = 4 × 40 = 160
11. మూడు కంటైనర్ల ఘనపరిమాణాల నిష్పత్తి 3 : 4 : 5. వాటి నిండా పాలు, నీళ్ల మిశ్రమం ఉంది. ఒక్కో కంటైనర్లో పాలు, నీళ్ల నిష్పత్తి వరుసగా 4 : 1, 3 : 1, 5 : 2. ఈ మూడింటిలో ఉన్న మిశ్రమాలను మరో కంటైనర్లోకి వేస్తే నాలుగో కంటైనర్లోని పాలు, నీళ్ల నిష్పత్తి ఎంత?
సాధన: మూడు కంటైనర్లలోని ఘనపరిమాణాల నిష్పత్తి = 3 : 4 : 5
మూడు కంటైనర్లలోని మిశ్రమాల నిష్పత్తి = 3 : 4 : 5
మూడు కంటైనర్లలోని మిశ్రమాలు 3x లీ., 4x లీ., 5x లీ. అనుకుంటే
12. B, C లను కలిపితే వచ్చిన దానిలో సగం A కు; A, C లను కలిపితే వచ్చిన దానిలో వ వంతు Bకి వచ్చేవిధంగా రూ.366 ను A, B, C లకు పంచితే A వాటా ఎంత?
సాధన: దత్తాంశం నుంచి B, Cలను కలిపితే వచ్చిన దానిలో సగం A కు అంటే
A : (B + C) = 1 : 2
A, C లను కలిపితే వచ్చిన దానిలో వ వంతు Bకు అంటే
B : (A + C) = 3 : 2
A వాటా = 366 × = రూ.122
13. ఒక వ్యవస్థలోని కరెంటు బిల్లులో కొంత భాగం స్థిర ఛార్జీ ఉండగా, కొంత భాగం వాడిన కరెంటు యూనిట్లపై ఆధారపడి మార్పు చెందుతుంది. ఒక నెలలో వాడకం 540 యూనిట్లు అయితే రూ. 1800 బిల్లు అయ్యింది. ఇంకో నెలలో 620 యూనిట్ల వాడకానికి రూ. 2040 బిల్లు వచ్చింది. మరో మాసంలో 500 యూనిట్లు వాడితే దానికి అయ్యే బిల్లు విలువ ఎంత?
సాధన: కరెంటు బిల్లులోని స్థిర ఛార్జీ = రూ. x
వాడిన కరెంట్ యూనిట్ ఖరీదు = రూ. y అనుకుంటే
ఒక నెలలో 540 యూనిట్ల వాడకానికి రూ.1800 బిల్లు అయింది. అంటే
x + 540y = 1800 .......... (1)
ఇంకో నెలలో 620 యూనిట్ల వాడకానికి రూ.2040 బిల్లు అయింది. అంటే
x + 620y = 2040 .......... (2)
(1), (2) లను సాధించగా, 80y = 240
y = 3 ను (1)వ సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపిస్తే
x + 1620 = 1800
x = 1800 - 1620 = 180
స్థిరఛార్జీ = రూ.180, యూనిట్ ధర రూ. 3 కాబట్టి
500 యూనిట్లకు అయ్యే బిల్లు = (180 + 3 × 500) = రూ.1680
14. రెండు రైల్వే స్టేషన్ల మధ్య మొదటి, రెండో, మూడో తరగతుల ప్రయాణ ఛార్జీల నిష్పత్తి 8 : 6 : 3. కానీ, తర్వాత మొదటి తరగతి ప్రయాణ ఛార్జీలో 1/6వ వంతు, రెండో తరగతి ప్రయాణ ఛార్జీలో 1/12 వ వంతు తగ్గించారు. ఒక సంవత్సరంలో మొదటి, రెండో, మూడో తరగతుల్లో ప్రయాణించే ప్రయాణికుల నిష్పత్తి 9 : 12 : 26. ఈ విధంగా వచ్చిన సొమ్ము రూ.1088 అయితే మొదటి తరగతి ప్రయాణికుల నుంచి వసూలు చేసిన మొత్తం ఎంత?
సాధన: రెండు రైల్వేస్టేషన్ల మధ్య వివిధ ప్రయాణ ఛార్జీల నిష్పత్తి = 8 : 6 : 3
దత్తాంశం నుంచి మొదటి తరగతి ప్రయాణ ఛార్జీలో 1/6 వ వంతు తగ్గిస్తే
మొదటి తరగతి ప్రయాణ ఛార్జి = 8/6 = 4/3
2వ తరగతి ప్రయాణ ఛార్జిలో 1/12 వంతు తగ్గిస్తే
రెండో తరగతి ప్రయాణ ఛార్జి = 6/12 = 1/2
తగ్గించిన ప్రయాణ ఛార్జీల నిష్పత్తి
= 40 : 33 : 18
దత్తాంశం నుంచి ప్రయాణికుల నిష్పత్తి = 9 : 12 : 26
మొదటి, రెండో, మూడో తరగతుల ప్రయాణికుల నుంచి వసూలైన ఛార్జీల మొత్తం నిష్పత్తి = (40 × 9) : (33 × 12) : (18 × 26) = 360 : 396 : 468 = 10 : 11 : 13
కానీ దత్తాంశం నుంచి ఈ రూపేణా వసూలైన మొత్తం = రూ. 1088
మొదటి తరగతి ప్రయాణికుల నుంచి వసూలైన మొత్తం
= రూ.320
15. ఒక ఫ్యాక్టరీలో నైపుణ్యం ఉన్న పనివారు, నైపుణ్యం లేని పనివారు, గుమాస్తాలు 8 : 5 : 1 నిష్పత్తిలో పనిచేస్తున్నారు. వారి వేతనాల నిష్పత్తి 5 : 2 : 3. మరో 20 మంది నైపుణ్యం లేని పనివారిని ఉద్యోగంలోకి తీసుకుంటే, వారి రోజువారీ వేతన నిమిత్తం చెల్లించిన మొత్తం సొమ్ము రూ.318. అయితే, ప్రతి ఒక్క విభాగంలో పనిచేసే ఉద్యోగి దినసరి వేతనాలెంతెంత?
సాధన: ఒక ఫ్యాక్టరీలో నైపుణ్యం ఉన్న పనివారు, నైపుణ్యం లేని పనివారు, గుమాస్తాల నిష్పత్తి = 8 : 5 : 1,
వారి వేతనాల నిష్పత్తి = 5 : 2 : 3
చెల్లించాల్సిన మొత్తం నిష్పత్తి = 8 × 5 : 5 × 2 : 1 × 3 = 40 : 10 : 3
చెల్లించాల్సిన మొత్తం = 40 + 10 + 3 = రూ.53
చెల్లించాల్సిన మొత్తం సొమ్ము రూ.53 అయితే, నైపుణ్యం ఉన్న పనివారికి వచ్చే జీతం = రూ.40
చెల్లించాల్సిన మొత్తం సొమ్ము రూ.318 అయితే నైపుణ్యం ఉన్న పనివారికి వచ్చే జీతం
= రూ.240
నైపుణ్యం లేని పనివాళ్ల నిమిత్తం చెల్లించిన సొమ్ము = రూ.240
గుమాస్తా వేతనం = రూ.18
16. A, B అనే రెండు మిశ్రమ లోహాల్లో బంగారం, రాగిల నిష్పత్తులు వరుసగా 7 : 2, 7 : 11. పై రెండు మిశ్రమాలను సమాన పరిమాణంలో తీసుకుని మూడో మిశ్రమ లోహం C ని తయారు చేస్తే, C లో ఉన్న బంగారం, రాగి నిష్పత్తి ఎంత?
సాధన: తి అనే మిశ్రమ లోహంలో బంగారం, రాగి నిష్పత్తి = 7 : 2
A అనే మిశ్రమ లోహం బరువు = 1
మిశ్రమ లోహం A లో బంగారం =
మిశ్రమలోహం A లో రాగి =
B అనే మిశ్రమ లోహం బరువు = 1
మిశ్రమలోహం Bలో బంగారం, రాగి నిష్పత్తి = 7 : 11
మిశ్రమలోహం Bలో బంగారం =
మిశ్రమలోహం Bలో రాగి =
17. కిలోగ్రాం రూ.5, కిలోగ్రాం రూ.6 గా ఉన్న రెండు రకాల పంచదారలను కలిపి, 20% లాభం రావడానికి మిశ్రమ పంచదారను కిలో రూ.6.40కి అమ్మితే, ఏ నిష్పత్తిలో రెండు రకాల పంచదారలను కలపాలి?
సాధన: రెండు రకాల పంచదారలను కలపాల్సిన నిష్పత్తి 1 : x అనుకుంటే
మిశ్రమ పంచదార మొత్తం బరువు = (1 + x) kg
మిశ్రమ పంచదార మొత్తం ధర = రూ.(5 + 6x)
ఒక కేజీ మిశ్రమ పంచదార ధర
ఒక కేజీ మిశ్రమ పంచదారను రూ.6.40 కు అమ్మడంవల్ల వచ్చిన లాభం = 20%
30 + 36x = 6.40 × 5 + 6.40 × 5x
36x − 32x = 6.40 × 5 − 30
4x = 32 − 30 = 2
కావాల్సిన నిష్పత్తి = 1 : = 2 : 1
18. 16 మంది పురుషులు, 18 మంది స్త్రీలు, 30 మంది బాలురు కలిసి రూ.86.50 సంపాదించారు. ఒక పురుషుడు, ఒక స్త్రీ, ఒక బాలుడు 10 : 7 : 2 నిష్పత్తిలో సంపాదిస్తే, ప్రతి ఒక్కరూ ఎంతెంత సంపాదించారు?
సాధన: ఒక పురుషుడి సంపాదన = రూ.10 అనుకుంటే
స్త్రీ సంపాదన రూ.7, బాలుడి సంపాదన రూ.2 అవుతుంది.
16 మంది పురుషుల సంపాదన = 16 × 10 = రూ.160
18 మంది స్త్రీల సంపాదన = 18 × 7 = రూ.136
30 మంది బాలుర సంపాదన = 30 × 2 = రూ.60
మొత్తం సంపాదన = 160 + 136 + 60 = రూ.346
మొత్తం సంపాదన రూ.346 అయితే, ఒక పురుషుడి సంపాదన రూ. 10
మొత్తం సంపాదన రూ.86.50 అయితే, ఒక పురుషుడి సంపాదన = రూ.2.50
ఒక మహిళ సంపాదన = రూ.1.75
ఒక బాలుడి సంపాదన = రూ.0.50
19. ముగ్గురు మనుషులు, నలుగురు బాలురు కలిసి 8 రోజుల్లో రూ.264 సంపాదించారు. ఇద్దరు మనుషులు, ముగ్గురు బాలురు కలిసి అదే సమయంలో రూ.184 సంపాదిస్తే, ఆరుగురు మనుషులు, ఏడుగురు బాలురు కలిసి ఎన్ని రోజుల్లో రూ.315 సంపాదించగలరు?
సాధన: ముగ్గురు మనుషులు, నలుగురు బాలురు కలిసి రూ.264 సంపాదించారు.
3m + 4b = 264 .............. (1)
ఇద్దరు మనుషులు, ముగ్గురు బాలురు కలిసి రూ.184 సంపాదించారు.
2m + 3b = 184 .............. (2)
(1) ÷ (2)
23 (3m + 4b) = 33 (2m + 3b)
69m + 92b = 66m + 99b
3m = 7b
ఆరుగురు మనుషులు, ఏడుగురు బాలురు = 6m + 7b = 2(3m) + 7b = 2(7b) + 7b = 21b
(1) నుంచి 3m + 4b = 7b + 4b = 11b
దత్తాంశం నుంచి,
బాలురు సంపాదన రోజులు
(B) (R) (D)
11 264 8
21 315 x
B1D1R2 = B2D2R1 సూత్రం నుంచి
11 × 8 × 315 = 21 × x × 264
= 5 రోజులు
ఆరుగురు మనుషులు, ఏడుగురు బాలురు కలిసి 5 రోజుల్లో రూ.315 సంపాదించగలరు.