• facebook
  • whatsapp
  • telegram

సంయోగాలు


ఎంపిక విధానాలు ఎన్నో రకాలు!


పాఠశాల ఆటస్థలాన్ని శుభ్రం చేయాలి. ఇరవైమంది విద్యార్థుల నుంచి రోజుకి నలుగురు చొప్పున బృందాలను ఎంపిక చేయాలి. పది కంపెనీల చాక్లెట్లు తెచ్చారు. తరగతిలో ఒక్కొక్కరికి మూడు రకాల చాక్లెట్లు పంచాలి. ఆ బృందాలను, ఈ చాక్లెట్లను క్రమంతో సంబంధం లేకుండా ఎన్ని విధాలుగా విభజించవచ్చో ఆలోచిస్తే లెక్క కష్టం అనిపిస్తుంది. సంఖ్యలు పెరిగిన కొద్దీ అది మరింత క్లిష్టంగా మారుతుంది. కానీ గణితంలో ‘సంయోగాలు’ అధ్యాయాన్ని తెలుసుకుంటే కొన్ని సూత్రాల సాయంతో సమస్యను తేలిగ్గా పరిష్కరించవచ్చు. పలు రకాల పోటీ పరీక్షల్లో ఇలాంటి ప్రశ్నలు అడుగుతున్నారు. అభ్యర్థులు మౌలికాంశాలపై తగిన అవగాహన పెంచుకోవడం అవసరం. 


*    సంయోగం(combination) అంటే ఎన్నుకునే విధానాల సంఖ్య. 


ఉదా: nవిభిన్న వస్తువుల నుంచి 'r'వస్తువులను ఎన్నుకునే విధానాల సంఖ్య =nCr

nCn = nC0 = 1

nCr = nCn - r

 

*nC1 = n   

nCr = nCఅయితే  n = r + s లేదా r = s

*ఒక ఫంక్షన్‌ హాలులో - మంది వ్యక్తులున్నారు. ప్రతి వ్యక్తి తన తోటి వ్యక్తితో కరచాలనం చేసినప్పుడు ఏర్పడే మొత్తం కరచాలనాల సంఖ్య = nC2

 

*   ఒక వ్యక్తికి n మంది స్నేహితులున్నారు. వారిలో కనీసం ఒక్కరిని పార్టీకి ఆహ్వానించే విధానాల సంఖ్య = 2n - 1

nC1 + nC2 + nC3 + ..... + nCn = 2n - 1

*    ఒక తలంపై 'n' బిందువులున్నాయి. వీటిని ఉపయోగించి ( వాటిలో ఏ మూడు బిందువులు సరేఖీయాలు కావు) ఏర్పరిచే ..

    ఎ) సరళ రేఖల సంఖ్య = nC2

    బి) త్రిభుజాల సంఖ్య = nC3

*    ఒక తలంపై n బిందువులున్నాయి. వాటిలో k బిందువులు సరేఖీయాలు అయితే ఆ బిందువులను ఉపయోగించి ఏర్పరిచే...

    ఎ) సరళ రేఖల సంఖ్య = nC2 - kC2 + 1
    బి) త్రిభుజాల సంఖ్య = nC3 - kC3


*    ఒక తలంపై మొదటి రకం m సమాంతర రేఖలు, రెండో రకం n సమాంతర రేఖలున్నాయి. ఈ రేఖలను ఉపయోగించి ఏర్పరిచే సమాంతర చతుర్భుజాల సంఖ్య = mC2 X nC2

 

మాదిరి ప్రశ్నలు


1.     ఒక సంచిలో 5 మామిడి పండ్లు ఉన్నాయి. వాటి నుంచి మూడింటిని ఎన్ని విధాలుగా ఎన్నుకోవచ్చు?


1) 20      2) 15      3) 10      4) 24 

జ: 3


2.     ఒక సంచిలో 8 గోళీలున్నాయి. ఆ సంచి నుంచి 5 గోళీలు ఎంపిక చేసే విధానాల సంఖ్య? 


1)  60      2) 56      3) 45    4) 120 

జ: 2


3. ఒక తరగతిలో ఆరుగురు బాలురు, నలుగురు బాలికలున్నారు. ఆ తరగతి గది నుంచి నలుగురు విద్యార్థులను ఎన్నుకునే విధానాల సంఖ్య?

1) 210     2) 120    3) 360    4) 720 


జ: 1


4.     ఒక కుటుంబంలో ఏడుగురు స్త్రీలు, అయిదుగురు పురుషులున్నారు. ఆ కుటుంబం నుంచి ఇద్దరు పురుషులు, నలుగురు స్త్రీలను ఎన్ని విధాలుగా ఎన్నుకోవచ్చు? 

1) 300     2) 350  3) 360    4) 530 


వివరణ: ఏడుగురు స్త్రీల నుంచి నలుగురు స్త్రీలను, అయిదుగురు పురుషుల నుంచి ఇద్దరు పురుషులను ఎన్నుకునే విధానాలు 

= 35 x10 = 350

జ: 2


5.     ఒక సంచిలో 5 పువ్వులున్నాయి. వాటి నుంచి కనీసం 3 పువ్వులను ఎన్ని విధాలుగా ఎన్నుకోవచ్చు? 

1) 15       2) 21       3) 16     4) 19 

వివరణ: ఒక సంచిలో 5 పువ్వుల నుంచి కనీసం 3 పువ్వులు ఎన్నుకోవడం అంటే 5 నుంచి 3 లేదా 4 లేదా 5 ఎన్నుకోవచ్చు. 

5C3 + 5C4 + 5C5

= 10 + 5 + 1

= 16

జ: 3


6.     ఒక తరగతిలో 10 మంది విద్యార్థులున్నారు. ప్రతి విద్యార్థి తన తోటి విద్యార్థితో కరచాలనం చేస్తే అక్కడ ఏర్పడే మొత్తం కరచాలనాల సంఖ్య ఎంత? 

1) 50      2) 45       3)10       4) 20

జ: 2

 


7.    ఒక వ్యక్తికి ఆరుగురు స్నేహితులున్నారు. వారిలో కనీసం ఒక్కరిని పార్టీకి ఆహ్వానించే విధానాల సంఖ్య?

1) 63    2) 1023   3) 64   4) 1024 

వివరణ: కనీసం ఒకరు అంటే 1 లేదా 2 లేదా 3 ...... 6 మందిని ఎంపిక చేయడం అని అర్థం. 

6C1 + 6C2 + 6C3 + 6C4 + 6C5 + 6C6

= 26 - 1 = 64 - 1 = 63

జ: 1


8.     ఒక తరగతిలో ప్రతి విద్యార్థి మిగిలిన విద్యార్థులతో కరచాలనం చేస్తే అక్కడ మొత్తం 127 కరచాలనాలు అవుతాయి. అయితే ఆ తరగతిలో మొత్తం విద్యార్థుల సంఖ్య?

1) 8        2) 7         3) 6      4) 5 

వివరణ: విద్యార్థుల సంఖ్య n అనుకుంటే 

2n -1 = 127

2n = 128

2n = 27

విద్యార్థుల సంఖ్య = n = 7

జ: 2


9.    ఒక తలంలో 5 బిందువులున్నాయి. ఏ మూడు బిందువులు సరేఖీయాలు కావు. అయితే ఆ బిందువులను ఉపయోగించి ఏర్పరిచే సరళ రేఖల సంఖ్య? 

1) 15     2) 24      3) 120   4) 10 

జ: 4


 

10. ఒక తలంలో 10 బిందువులున్నాయి. ఏ మూడు బిందువులు సరేఖీయాలు కావు. అయితే ఆ బిందువులను ఉపయోగించి ఏర్పరిచే త్రిభుజాల సంఖ్య? 

1) 210      2) 120      3) 145      4) 136 

త్రిభుజాల సంఖ్య = 30 x 4 = 120

జ: 2


11. ఒక తలంపై మొదటి రకం సమాంతర రేఖలు 5, రెండో రకం సమాంతర రేఖలు 4 ఉన్నాయి. అయితే ఆ రేఖలు ఉపయోగించి ఏర్పరిచే సమాంతర చతుర్భుజాల సంఖ్య? 

1) 45        2) 60       3) 80     4) 40 

వివరణ:  5C2 X 4C2 = 10 X 6 = 60

జ: 2


12. 15Cr+4 = 15C2r -3అయితే 'r'= .......

1) 7      2) 8      3) 10     4) 6 

వివరణ:nCr = nCs

n = r + s లేదా = r = s

 15 = (r + 4) + (2r - 3)
        

15 = 3r + 1 ⇒ r = 14/3

 లేదా 

r + 4 = 2r - 3

r = 7

జ: 1


                 

  
  1) 60     2) 252     3) 70  4) 90 


వివరణ: n = 3 + 5 = 8



జ: 3


*   ఒక తలంలో 10 బిందువులున్నాయి. అందులో 5 బిందువులు సరేఖీయాలు. అయితే ఆ బిందువులను ఉపయోగించి ఏర్పరిచే సరళ రేఖలు, త్రిభుజాల సంఖ్య వరుసగా తెలపండి.

1) 36, 120          2) 24, 120    3) 25, 110         4) 36, 110 

జ: 4

 

*    18 వస్తువులను ఇద్దరు వ్యక్తులకు సమానంగా విభజించే విధానాల సంఖ్య? 


      
జ: 2

రచయిత: డి.సీహెచ్‌.రాంబాబు

 

Posted Date : 04-09-2023

గమనిక : ప్రతిభ.ఈనాడు.నెట్‌లో కనిపించే వ్యాపార ప్రకటనలు వివిధ దేశాల్లోని వ్యాపారులు, సంస్థల నుంచి వస్తాయి. మరి కొన్ని ప్రకటనలు పాఠకుల అభిరుచి మేరకు కృత్రిమ మేధస్సు సాంకేతికత సాయంతో ప్రదర్శితమవుతుంటాయి. ఆ ప్రకటనల్లోని ఉత్పత్తులను లేదా సేవలను పాఠకులు స్వయంగా విచారించుకొని, జాగ్రత్తగా పరిశీలించి కొనుక్కోవాలి లేదా వినియోగించుకోవాలి. వాటి నాణ్యత లేదా లోపాలతో ఈనాడు యాజమాన్యానికి ఎలాంటి సంబంధం లేదు. ఈ విషయంలో ఉత్తర ప్రత్యుత్తరాలకు, ఈ-మెయిల్స్ కి, ఇంకా ఇతర రూపాల్లో సమాచార మార్పిడికి తావు లేదు. ఫిర్యాదులు స్వీకరించడం కుదరదు. పాఠకులు గమనించి, సహకరించాలని మనవి.

 

సెక్రటేరియల్ ఎబిలిటీస్

పాత ప్రశ్నప‌త్రాలు

 
 

నమూనా ప్రశ్నపత్రాలు