గడియారం

జనరల్ స్టడీస్‌లోని 'విశ్లేషణ సామర్థ్యం'లో భాగంగా 'గడియారం' అధ్యాయం నుంచి ప్రశ్నలు వచ్చే అవకాశం ఉంది. కోణాలపై కొద్దిపాటి పరిజ్ఞానం, గణిత ప్రక్రియలపై కాస్త అవగాహన ఉంటే ఈ సమస్యలకు సమాధానాలను సులభంగా గుర్తించవచ్చు.

  గ‌డియారం ముఖ భాగం వృత్తాకారంలో ఉంటుంది. ఈ వృత్త ప‌రిధిని 12 స‌మ భాగాల‌గా విభ‌జించి, ఒక్కో విభాగాన్ని 'గంట‌'గా వ్యవ‌హ‌రిస్తారు. గంట అవ‌ధిని 5 స‌మ‌భాగాలుగా విభ‌జించి, ఒక్కో విభాగాన్ని 'నిమిషం'గా పిలుస్తారు. ఈ విధంగా వృత్త ప‌రిధి (గ‌డియారం ముఖ భాగం) 12 x 5 = 60 నిమిష అవ‌ధులుగా విభ‌జించ‌వ‌చ్చు.

  గ‌డియారంలో పెద్ద ముల్లును నిమిషాల ముల్లుగా, చిన్న ముల్లును గంట‌ల ముల్లుగా సూచిస్తారు.

  గ‌డియారంలో గంట‌ల‌ను వ‌రుస‌గా 1 నుంచి 12 సంఖ్యతో సూచిస్తారు. గంట‌ల ముల్లు 12 గంట‌ల కాలంలో ఒక సంపూర్ణ భ్రమ‌ణం (360°) చేస్తుంది. కాబ‌ట్టి 12 గంట‌ల్లో చిన్న ముల్లు (గంట‌ల ముల్లు) చేసే కోణం = 360°.

12 గంటల కాలంలో
* రెండు ముళ్లు 11 సార్లు ఏకీభవిస్తాయి.
* రెండు ముళ్లు సరళరేఖా మార్గంలో 11 సార్లు ఉంటాయి.
* 90° లేదా ఏదైనా ఇతర కోణం 22 సార్లు ఉంటుంది.
* 60 నిమిషాల వ్యవధిలో నిమిషాల ముల్లు 60 నిమిష భాగాలు తిరుగుతుంది. అదే సమయంలో గంటల ముల్లు కేవలం 5 నిమిష భాగాలు మాత్రమే తిరుగుతుంది. కాబట్టి నిమిషాల ముల్లు 60 నిమిషాల వ్యవధిలో గంటల ముల్లు కంటే 55 నిమిష భాగాలు ఎక్కువగా తిరుగుతుంది.

రెండు ముళ్ల మధ్య లంబకోణం ఏర్పడటం
1. 4, 5 గంటల మధ్య ఏయే సమయాల్లో 2 ముళ్ల మధ్య లంబకోణాలు ఏర్పడతాయి?
సాధన: 4 గంటల సమయంలో నిమిషాల ముల్లు, గంటల ముల్లు కంటే 20 నిమిషాలు వెనుకబడి ఉంటుంది.
రెండు ముళ్లు లంబంగా ఉండాలంటే వాటి మధ్య 15 నిమిష భాగాలు ఇమిడి ఉండాలి. అయితే 4, 5 గంటల మధ్య కింది సందర్భాల్లో అవి లంబంగా ఉంటాయి.
సందర్భం-1: పెద్ద ముల్లు, చిన్న ముల్లు కంటే 15 నిమిషాలు వెనుక ఉండాలి. అంటే పెద్ద ముల్లు (20 - 15) = 5 నిమిష భాగాలు ఎక్కువగా తిరిగితే అవి లంబంగా ఉంటాయి.
నిమిషాల ముల్లు 55 నిమిష భాగాలు అధికంగా తిరగడానికి పట్టే కాలం = 60 నిమిషాలు

సందర్భం-2: పెద్ద ముల్లు, చిన్న ముల్లు కంటే 15 నిమిషాలు ముందు ఉండాలి. అంటే పెద్ద ముల్లు (20 + 15) = 35 నిమిష భాగాలు ఎక్కువగా తిరిగితే అవి లంబంగా ఉంటాయి.

సంక్షిప్త పద్ధతి: x, x + 1 గంటల మధ్య లంబకోణం ఏర్పడే సందర్భాలు

రెండు ముళ్ల మధ్య సరళకోణం ఏర్పడటం
1. 8, 9 గంటల మధ్య ఏయే సమయాల్లో రెండు ముళ్ల మధ్య సరళకోణం ఏర్పడుతుంది?
సాధన: 8 గంటలకు గంటల ముల్లు 8 మీద, నిమిషాల ముల్లు 12 మీద ఉంటాయి. వాటి మధ్య 20 నిమిషాల వ్యవధి ఉంటుంది. అవి ఒకే సరళరేఖపై ఉండటానికి (ఏకీభవించకుండా) వాటి మధ్య వ్యవధి 30 నిమిషాలు ఉండాలి.
అంటే, గంటల ముల్లు కంటే నిమిషాల ముల్లు 10 (30 - 20) నిమిషాలు ముందుగా పోవాలి.
నిమిషాల ముల్లు, 55 నిమిష భాగాలు అధికంగా తిరిగేందుకు పట్టే కాలం = 60 నిమిషాలు

సంక్షిప్త పద్ధతి: x, x + 1 గంటల మధ్య రెండు ముళ్ల మధ్య సరళ కోణం ఏర్పడే సందర్భాలు.

2. 2, 3 గంటల మధ్య ఏయే సమయాల్లో రెండు ముళ్లు సరళకోణాన్ని ఏర్పరుస్తాయి?

సాధన: పై సమస్యలో x = 2 అంటే x < 6 కాబట్టి