సంఖ్యాశ్రేణి

క్రమంలో అమరిన సంఖ్యల సమూహం!

 

నెలవారీ బడ్జెట్లు లేదా ఖర్చులను గణించడానికి, ఆర్థికపరమైన నిర్ణయాలు తీసుకోవడానికి సంఖ్యా నమూనాలపై అవగాహన ఉండాలి. పరీక్షలు, ఉద్యోగాల ఇంటర్వ్యూలు, ఇతర విద్యాసంబంధ అంశాల్లోనూ సంఖ్యలను అర్థం చేసుకోవాల్సి ఉంటుంది. అలాంటి అవసరాలను దృష్టిలో పెట్టుకొని అభ్యర్థుల్లోని తార్కిక, విమర్శనాత్మక ఆలోచనా నైపుణ్యాలను, నమూనాల గుర్తింపు సామర్థ్యాన్ని, సమస్యల పరిష్కార శక్తిని అంచనా వేయడానికి రీజనింగ్‌లో ‘సంఖ్యాశ్రేణి’ నుంచి ప్రశ్నలు అడుగుతారు.  

‘సంఖ్యాశ్రేణి’ అనే పాఠ్యాంశంలో అంకశ్రేఢి, గుణశ్రేఢి ముఖ్యమైనవి. వాటికి సంబంధించి ‘n’ పదాల మొత్తం, పదాల సంఖ్యను కనుక్కోవాల్సి ఉంటుంది. 

శ్రేఢి: ఒక నిర్దిష్టమైన నియమాన్ని పాటించే సంఖ్యల సమూహాన్ని శ్రేఢి అంటారు. 

ఉదా: 12, 19, 26, 33, .....

అంకశ్రేఢి: శ్రేఢిలో మొదటి పదాన్ని విస్మరించి, మిగిలిన అన్ని పదాలు దాని ముందున్న పదానికి ఒక స్థిరసంఖ్యను కలపడం ద్వారా ఏర్పడతాయి. 

    (లేదా) 

శ్రేఢిలో ప్రతి రెండు వరుస పదాల మధ్య భేదం సమానంగా ఉంటే అది ‘అంకశ్రేఢి’లో ఉంది అంటారు. 

ఉదా: 9, 17, 25, 33, .....

పై శ్రేఢిలో ప్రతి రెండు వరుస పదాల మధ్య భేదం 8 గా ఉంది. 

17  9 = 25  17 = 33  25 = 8 

అంకశ్రేఢి సాధారణ రూపం: 

a, a + d, a + 2d, a + 3d, .....- a + (n − 1)d

అంకశ్రేఢిలో  n పదం T_n = a + (n − 1)d

అంకశ్రేఢిలో n పదాల మొత్తం       

  

 a= మొదటి పదం 

d= పదాంతరం 

n= పదాల సంఖ్య 

గుణశ్రేఢి: శ్రేఢిలో ఏ రెండు వరుస పదాల మధ్య నిష్పత్తి అయినా సమానంగా ఉంటే అది ‘గుణశ్రేఢి’లో ఉందని అంటారు. 

ఉదా: 6, 12, 24, 48, ..... 

పై శ్రేఢిలో ప్రతి రెండు వరుస పదాల నిష్పత్తి 

గుణశ్రేఢి సాధారణ రూపం: 

a, ar, ar², ar³, .....arⁿ⁻¹     

గుణశ్రేఢిలో n పదం (T_n) = arⁿ⁻¹

గుణశ్రేఢిలో n పదాల మొత్తం 

 

మాదిరి ప్రశ్నలు 

 1. 44, 49, 54, 59, ..... శ్రేణిలో వచ్చే 80వ పదం ఏది? 

1) 440     2) 420     3) 400     4) 439

వివరణ: 44, 49, 54, 59, ..... 

a = 44, d = 49 − 44 = 5, n = 80  

T_n = a + (n − 1)d

 = 44 + (80 − 1)5 

= 44 + 79 × 5 = 44 + 395
= 439 

జ: 4 

 

2. 143, 152, 161, 170, . శ్రేణిలో వచ్చే 150వ పదం ఏది? 

1) 1484    2) 1548    3) 1448    4) 1884

వివరణ:  143, 152, 161, 170, ..... 

a = 143, d = 152 − 143 = 9, n = 150  

T_n = a + (n − 1)d

 = 143 + (150 − 1)9 

= 143 + 149 × 9

= 143 + 1341

= 1484

జ: 1

 

3. 13, 26, 52, 104, ...... శ్రేణిలో వచ్చే 16వ పదం ఏది? 

1) 12 × 2¹⁵    2) 13 × 3¹⁴   3) 13 × 2¹⁵    4) 13 × 15²

వివరణ:13, 26, 52, 104, .....

Tn = a.r^{n −1} 

= 13.2¹⁶⁻¹

 = 13.2¹⁵ 

జ: 3


4. 4, 12, 36, 108,..... శ్రేణిలో వచ్చే 20వ పదం ఏది? 

1) 4 × 3²⁰ 2) 4 × 3¹⁹ 3) 2 × 20³ 4) 4 × 19³

వివరణ: 4, 12, 36, 108, ..... 

Tn = a.r^{n −1} 

= 4.3²⁰⁻¹

 = 4.3¹⁹ 

జ: 2 

 

5. 9, 20, 31, 42 ..... శ్రేణిలో ఎన్నో పదం 438 అవుతుంది? 

1) 39    2) 41    3) 29   4) 40 

వివరణ: 9, 20, 31, 42, ..... a = 9, d = 20 − 9 = 11, T_n = 438 

T_n = a + (n − 1)d 

438 = 9 + (n − 1)11 

438 − 9 = (n − 1)11

429 = (n − 1)11

n − 1 = 39 n = 40వ పదం 

జ: 4


6. 6, 30, 150, 750, ..... శ్రేణిలో ఎన్నో పదం 9372/2 అవుతుంది?

1) 5వ  2) 6వ  3) 4వ     4) 8వ  

వివరణ:  6, 30, 150, 750, ..... 

5ⁿ −1 = 3124 

5ⁿ = 3125 

5n = 5⁵

 n = 5 వ పదం

జ: 1


7. 14, 21, 28, 35, ...... అనే శ్రేఢిలో 20 పదాల మొత్తం ఎంత?

1) 1600     2) 1520    3) 1610    4) 1590 

వివరణ:14, 21, 28, 35, .....

a = 14, d = 21 − 14 = 7, n = 20  

= 10 [28 + 133] 

= 10 × 161 

= 1610 

జ: 3 


8. 2, 7, 12,.... శ్రేణిలో ఎన్ని పదాల మొత్తం 297 అవుతుంది? 

1) 11    2) 10    3) 9     4) 12

వివరణ: 2, 7, 12, ..... a = 2, d = 7 − 2 = 5, S_n = 297 

1వ ఆప్షన్‌ని ప్రతిక్షేపించగా

594 = 11(5 × 11 − 1)
= 11(55 − 1) 

= 11 × 54 
= 594

జ:  1

 

9.    3, 9, 15, 21, .... శ్రేణిలో 21వ పదం ఏది?

1) 117     2) 123     3) 121     4) 119

వివరణ: 3, 9, 15, 21, ..... 

a = 3, d = 9 - 3 = 6, n = 21
T_n = a + (n - 1)d
= 3 + (21 - 1)6 = 3 + 120 = 123

జ: 2

10.  6, 12, 24, 48, ... శ్రేణిలో 11వ పదం ఏది? 

1) 3.210   2) 6.210   3) 6.211   4) 3.211

వివరణ: 6, 12, 24, 48, ...