ముఖ్యాంశాలు
a, b అనే సంఖ్యల నిష్పత్తి = a, b
a : b లో మొదటిపదం (పూర్వపదం) = a
రెండోపదం (పరపదం) = b
a : b = c : d అయితే a, b, c, d లు అనుపాతంలో ఉంటాయి.
a : b = c : d ⇒ a ని మొదటి పదం,
b ని రెండో పదం,
‘cని మూడో పదం,
dని నాలుగో పదం అంటారు.
a : b = c : d ⇒ a × d = b × c
a : b = b : c అయితేa, b, b, c లు అనుపాతంలో ఉంటాయి.
a, b, cలు అనుపాతంలో ఉంటేb2 = ac‘ అవుతుంది.
లేదా
్జ2
‘ = ౌ అవుతుంది.
్చ
మాదిరి సమస్యలు
1. 25, 255ల అనుపాత మధ్యమం ఎంత?
1్శ
2్శ 25 3్శ 75 4్శ 95
సాధన: ్చ, ్జ ల అనుపాతమధ్యమం = ఒ్చ్జౌ25 ల అనుపాతమధ్యమం = ఒౌ25 ´ 225
= ఒౌ25 ´ ఒౌ225 = 5 ´ 15
= 75 సమాధానం: 3
2. కిందివాటిలో కనిష్ఠ ్బ(్ఝ్చఃః’(్మ్శ నిష్పత్తి ఏది?
1్శ 41 : 92 2్శ 33 : 41 3్శ 42 : 49 4్శ 35 : 47
41
సాధన: 1్శ 41 : 92 = ౌ = 0.4456 = 0.45
92
33
2్శ 33 : 41 = ౌ = 0.8048 = 0.80
41
42
3్శ 42 : 49 = ౌ = 0.8571 = 0.86
49
35
4్శ 35 : 47 = ౌ = 0.7446 = 0.74
47
సమాధానం: 1
3. 24, 72 ల అనుపాత తృతీయ పదం....
1్శ 146 2్శ 176 3్శ 196 4్శ 216
సాధన: 24, 72 ల అనుపాత తృతీయ పదం = ్ల అనుకోండి.
Þ 24, 72, ్లలు అనుపాతంలో ఉంటాయి.
్చ, ్జ, ‘ లు అనుపాతంలో ఉంటే ్జ2 = ్చ‘
ఇక్కడ ్చ = 24, ్జ = 72, ‘ = ్ల
Þ ్బ72్శ2 = 24 ´ ్ల
72 ´ 72
Þ ౌౌౌ = ్ల Þ 72 ´ 3 = ్ల
24
Þ ్ల = 216 సమాధానం: 4
4. 16, 40ల అనుపాత తృతీయపదానికి; 10, 40ల అనుపాత మధ్యమానికి మధ్య నిష్పత్తి?
1్శ 4 : 1 2్శ 5 : 1 3్శ 2 : 1 4్శ 3 : 2
సాధన: 16, 40 ల అనుపాత తృతీయ పదం = ్ల అనుకోండి.
్చ = 16, ్జ = 40, ‘ = ్ల
్జ2 402 40 ´ 40
Þ ‘ = ౌ Þ ్ల = ౌ = ౌౌౌ = 100
్చ 16 16
10, 40 ల అనుపాత మధ్యమం = ఒ్చ్జౌ
్చ = 10, ్జ = 40
= ఒౌ10 ´ 40 = ఒౌ400 = 20
కావాల్సిన నిష్పత్తి = 100 : 20 = 5 : 1
సమాధానం: 2
5. 0.024, 0.12ల అనుపాత తృతీయపదం ........
1్శ 0.600 2్శ 6.000 3్శ 0.060 4్శ 0.006
సాదన: 0.024, 0.12ల అనుపాత తృతీయపదం = ్ల అనుకోండి
0.024, 0.12, ్లలు అనుపాతంలో ఉంటాయి.
్జ2
్చ, ్జ, ‘ లు అనుపాతంలో ఉంటే, ‘ = ౌ
్చ
ఇక్కడ ్చ = 0.024, ్జ = 0.12, ‘ = ్ల
0.122
్ల = ౌౌ
0.024
0.0144 144 3
్ల = ౌౌౌ = ౌౌ = ౌ = 0.6
0.024 240 5 సమాధానం: 1
6. ్చ : ్జ = 2 : 3, ్జ : ‘ = 6 : 7 అయితే ్చ : ్జ : ‘ = ........
1్శ 1 : 2 : 3 2్శ 3 : 2 : 1 3్శ 4 : 6 : 7 4్శ 4 : 3 : 2
సాదన: ్చ : ్జ = 2 : 3, ్జ : ‘ = 6 : 7
రెండు నిష్పత్తుల్లో ఉమ్మడి పదం = ్జ
3, 6ల క.సా.గు = 6
్చ : ్జ = 2 : 3 = 4 : 6, ్జ : ‘ = 6 : 7
్చ : ్జ : ‘ = 4 : 6 : 7
సమాధానం: 3
్వ ్ల
7. 1.5్ల = 0.04్వ అయితే ౌౌ విలువ ..........
్వ ్ఘ ్ల
77 77 72 73
1్శ ౌ 2్శ ౌ 3్శ ౌ 4్శ ౌ
73 72 77 77
సాదన: 1.5్ల = 0.04్వ
1.5 ్వ
Þ ౌౌ = ౌ
0.04 ్ల
్వ 150 75
Þ ౌ = ౌౌ = ౌ
్ల 4 2
్వ ్ల 75 2 73
Þ ౌౌ = ౌౌ = ౌ
్వ ్ఘ ్ల 75 ్ఘ 2 77 సమాధానం: 4
8. రూ.1050ను ్చ, ్జ, ‘ అనే వ్యక్తులు ్చ : ్జ = 3 : 4,
్జ : ‘ = 6 : 7 నిష్పత్తిలో పంచుకున్నారు. అయితే అందులో ‘ వాటా ఎంత?
1్శ రూ.420 2్శ రూ.360 3్శ రూ.270 4్శ రూ.450
సాదన: ్చ : ్జ = 3 : 4, ్జ : ‘ = 6 : 7
4, 6 ల క.సా.గు. = 12
్చ : ్జ = 3 : 4 = 9 : 12; ్జ : ‘ = 6 : 7 = 12 : 14
్చ : ్జ : ‘ = 9 : 12 : 14
14
‘ వాటా = 1050 ´ ౌౌౌౌౌ
్బ9 ్ఘ 12 ్ఘ 14్శ
14
= 1050 ´ ౌ = రూ.420
35 సమాధానం: 1
9. 3, 9ల అనుపాత తృతీయపదం ్ప అయితే 6, ్ప, 4ల అనుపాత చతుర్థపదం ఎంత?
1్శ 12 2్శ 15 3్శ 18 4్శ 21
సాదన: 3, 9ల అనుపాత తృతీయపదం = ్ప
్జ2 92 81
్ప = ౌ = ౌ = ౌ = 27
్చ 3 3
్క ్ప = 27
6, ్ప, 4ల అనుపాత చతుర్థపదం = ్ల అనుకోండి
6 : ్ప = 4 : ్ల Þ 6 : 27 = 4 : ్ల
Þ 6 ´ ్ల = 27 ´ 4
27 ´ 4
్ల = ౌౌౌ = 18
6
్క ్ల = 18 సమాధానం: 3
10. 4్ప = 6్స = 9౯ అయితే ్ప : ్స : ౯ = .......
1్శ 4 : 6 : 9 2్శ 9 : 6 : 4 3్శ 2 : 3 : 4 4్శ 4 : 3 : 2
సాదన: 4్ప = 6్స = 9౯
4్ప 6్స 9౯
ౌ = ౌ = ౌ ్బ... 4, 6, 9 ల క.సా.గు. = 36్శ
36 36 36
్ప ్స ౯
ౌ = ౌ = ౌ
9 6 4
్ప : ్స : ౯ = 9 : 6 : 4 సమాధానం: 2
11. ్చ : ్జ = 5 : 7, ్జ : ‘ = 8 : 15 అయితే 8‘ : 5్చ = ......
1్శ 7 : 3 2్శ 21 : 5 3్శ 21 : 17 4్శ 8 : 5
సాదన: ్చ : ్జ = 5 : 7, ్జ : ‘ = 8 : 15
7, 8ల క.సా.గు. = 56
్చ : ్జ = 5 : 7 = 5 ´ 8 : 7 ´ 8 = 40 : 56
్జ : ‘ = 8 : 15 = 8 ´ 7 : 15 ´ 7 = 56 : 105
్చ : ్జ : ‘ = 40 : 56 : 105
8‘ : 5్చ = 8 ´ 105 : 5 ´ 40
= 21 : 5
సమాధానం: 2
12. 12, 18, 6ల అనుపాత చతుర్థపదం; 4, ఁల అనుపాత తృతీయపదం సమానం. అయితే ఁ విలువ.....
1్శ 9 2్శ 8 3్శ 7 4్శ 6
సాదన: 12, 18, 6ల అనుపాత చతుర్థపదం = ్ల అనుకోండి
12, 18, 6, ్లలు అనుపాతంలో ఉంటాయి.
12 : 18 = 6 : ్ల
12 ´ ్ల = 18 ´ 6
18 ´ 6
్ల = ౌౌౌ = 9
12
్క ్ల = 9
లెక్కప్రకారం, 4, ఁల అనుపాత తృతీయపదం = 12, 18, 6ల అనుపాత చతుర్థపదం
ఁ2
ౌ = 9
4
ఁ2 = 9 ´ 4 = 36
ఁ = 6
సమాధానం: 4
్చ ్ఘ ్జ
13. ్చ = 2్జ అయితే ౌౌ విలువ.....
్చ ్జ
1్శ 5 2్శ 4 3్శ 3 2్శ 2
సాదన: ్చ = 2్జ
్చ 2
ౌ = 2 = ౌ
్జ 1
్చ ్ఘ ్జ 2 ్ఘ 1 3
ౌౌ = ౌౌ = ౌ = 3
్చ ్జ 2 1 1
సమాధానం: 3
రచయితసీ‡హెచ్‌. రాధాకృష్ణ
