సంఖ్యలు

లెక్కలకు కొలతలకు శాస్త్రీయ వ్యక్తీకరణలు!

లెక్కించడానికి, కొలవడానికి, పరిమాణాలను సూచించడానికి ఉపయోగించే కచ్చితమైన శాస్త్రీయ గణిత వ్యక్తీకరణలు సంఖ్యలు. కూడటం, తీసివేయడం, గుణించడం, భాగించడం రోజూ అందరూ ఉపయోగించే ప్రాథమిక గణిత నైపుణ్యాలు. వీటిపై పట్టు పెరగాలంటే అంకెలు, సంఖ్యల గురించి తెలుసుకోవాలి. అప్పుడే నిత్య జీవితంలో డబ్బు నిర్వహణ, సమయపాలన, కొలతలు, అంచనాలు  మొదలైన పనులను సమర్థంగా నిర్వహించగలుగుతారు. బీజగణితం, రేఖాగణితం, సంఖ్యల సిద్ధాంతం తదితర అధ్యాయాలను అర్థం చేసుకోగలుగుతారు.  సంఖ్యల నిర్మాణం, లక్షణాలపై భాజనీయతా సూత్రాలు లోతైన అవగాహన కల్పిస్తాయి. వాటి మధ్య సంబంధాలను గుర్తించడానికి సాయపడతాయి. అందుకే పోటీ పరీక్షార్థులు సంఖ్యలు, భాజనీయత పద్ధతుల గురించి సమగ్రంగా తెలుసుకోవాలి. 

సంఖ్యలు: హిందూ  అరబిక్‌ వ్యవస్థలో మనకు 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 అనే పది అంకెలు ఉంటాయి. ఏ సంఖ్యనైనా సూచించడానికి ఈ అంకెలు తప్పక ఉపయోగించాలి. 

సరి సంఖ్యలు: లెక్కించే సంఖ్యలు 2 తో నిశ్శేషంగా భాగించబడితే వాటిని  ‘సరి సంఖ్యలు’ అంటారు. 

ఉదా: 2, 4, 6, ... 2n 

*  మొదటి n సరి సంఖ్యల మొత్తం                  

= n(n + 1)

బేసి సంఖ్యలు: లెక్కించే సంఖ్యలు 2తో నిశ్శేషంగా భాగించబడకపోతే, వాటిని ‘బేసి సంఖ్యలు’ అంటారు.
ఉదా: 1, 3, 5,... 2n-1

*  మొదటి n బేసి సంఖ్యల మొత్తం = n²

*  మొదటి n సహజ సంఖ్యల మొత్తం 

* మొదటి n సహజ సంఖ్యల వర్గాల 

ప్రధాన సంఖ్యలు లేదా అవిభాజ్య సంఖ్యలు:  అదే సంఖ్య, అవే రెండే రెండు (1, అదే సంఖ్య) కారణాంకాలుగా ఉండే సంఖ్యను ‘ప్రధాన సంఖ్య’ అంటారు.ఉదా: 2, 3, 5,..

భాజనీయతా సూత్రాలు: ఒక పెద్ద సంఖ్యను చిన్న సంఖ్య భాగిస్తుందో లేదో భాగించకుండానే  చెప్పే సూత్రాలను ‘భాజనీయతా సూత్రాలు’ అంటారు.

2 యొక్క భాజనీయతా సూత్రం:  ఇచ్చిన సంఖ్య యొక్క ఒకట్ల స్థానంలో 0, 2, 4, 6, 8 ఉంటే ఆ సంఖ్య 2తో నిశ్శేషంగా భాగించబడుతుంది. 

ఉదా: 78694 కు ఒకట్ల స్థానంలో 4 ఉంది. కాబట్టి ఈ సంఖ్య 2తో నిశ్శేషంగా భాగించబడుతుంది. 

3 యొక్క భాజనీయతా సూత్రం:  ఇచ్చిన సంఖ్య యొక్క అంకెల మొత్తం 3 తో   నిశ్శేషంగా భాగించబడితే, ఆ సంఖ్య 3 తో నిశ్శేషంగా భాగించబడుతుంది. 

ఉదా: 124569 

1 + 2 + 4 + 5 + 6 + 9 = 27

27ను 3 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది. కాబట్టి మొత్తం సంఖ్య కూడా 3 తో నిశ్శేషంగా భాగించబడుతుంది.

4 యొక్క భాజనీయతా సూత్రం:  ఇచ్చిన సంఖ్య యొక్క చివరి రెండు స్థానాల్లోని (ఒకట్లు, పదుల) అంకెలతో ఏర్పడే సంఖ్యను 4 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది.

ఉదా: 7869376 లో 76 ను 4 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది.

5 యొక్క భాజనీయతా సూత్రం:  ఇచ్చిన సంఖ్య ఒకట్ల స్థానంలో 0 లేదా 5 ఉంటే ఆ సంఖ్య మొత్తాన్ని 5 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది.

ఉదా: 76895, 87690 లను 5 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది. 

6 యొక్క భాజనీయతా సూత్రం : ఇచ్చిన సంఖ్యను 2, 3 లు భాగిస్తే, ఆ సంఖ్యను 6 కూడా నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది.

ఉదా: 85752 ఒకట్ల స్థానంలో 2 ఉంది. 8 + 5 + 7 + 5 + 2 = 27ను 3 తో భాగించవచ్చు. కాబట్టి మొత్తం సంఖ్యను 6తో నిశ్శేషంగా భాగించవచ్చు.

7 యొక్క భాజనీయతా సూత్రం: ఇచ్చిన సంఖ్యను కుడి నుంచి మొదలుపెట్టి వీలైనన్ని మూడంకెల సముహాలుగా విభజించి, పెద్ద సముహం నుంచి చిన్న సముహం తీసివేయగా వచ్చే భేదాన్ని 7తో భాగిస్తే, ఆ సంఖ్య మొత్తాన్ని 7తో నిశ్శేషంగా భాగించవచ్చు.

ఉదా: 42581 సంఖ్యను 581, 42  సముహాలుగా విభజించవచ్చు. అప్పుడు 

581- 42 = 539 అనే దాన్ని 7తో భాగించవచ్చు. కాబట్టి పై సంఖ్య మొత్తాన్ని 7 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది. 

8 యొక్క భాజనీయతా సూత్రం: ఇచ్చిన సంఖ్య చివరి మూడు స్థానాల్లోని (ఒకట్లు, పదులు, వందలు) అంకెలతో ఏర్పడే సంఖ్య.. 8తో భాగించబడితే, ఆ మొత్తం సంఖ్యను కూడా 8తో నిశ్శేషంగా భాగించవచ్చు.

ఉదా: 61879352 లో 352 ను 8 భాగిస్తుంది. కాబట్టి మొత్తం సంఖ్యను 8 తో  నిశ్శేషంగా భాగించవచ్చు.

9 యొక్క భాజనీయతా సూత్రం: ఇచ్చిన సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తాన్ని 9 భాగిస్తే, ఆ మొత్తం సంఖ్యను కూడా 9 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది. ఉదా: 195642 

1 + 9 + 5 + 6 + 4 + 2 = 27

10 యొక్క భాజనీయతా సూత్రం: ఇచ్చిన సంఖ్యలోని సరిస్థానాల్లోని అంకెల మొత్తం, బేసి స్థానాల్లోని అంకెల మొత్తాల మధ్య భేదం 0 లేదా 11 యొక్క కారణాంకం అయితే ఆ సంఖ్య మొత్తాన్ని 11 తో   నిశ్శేషంగా భాగించవచ్చు.

ఉదా: 29435417

2 + 4 + 5 + 1 = 9 + 3 + 4 + 7 

12 = 23 భేదం 11

పై మొత్తం సంఖ్యను 11 తో నిశ్శేషంగా భాగించవచ్చు.

మాదిరి ప్రశ్నలు
 

1. రెండు సంఖ్యల మొత్తం 48. వాటి మధ్య భేదం 10 అయితే అందులో పెద్ద సంఖ్య ఎంత?

1) 19   2) 29   3) 39    4) 9

        

2. రెండు సంఖ్యల మొత్తం 33. వాటి మధ్య భేదం 15 అయితే అందులో చిన్న సంఖ్య ఎంత?

1) 9   2) 12   3) 15    4) 18

3. రెండు సంఖ్యల మొత్తం 20. వాటి మధ్య భేదం 8 అయితే వాటి వర్గాల మధ్య భేదం ఎంత?

1) 12   2) 28    3) 160    4) 180

4. రెండు సంఖ్యల మొత్తం 25, వాటి మధ్య భేదం 13 అయితే వాటి లబ్ధం ఎంత?

1) 140    2) 114   3) 104   4) 325

5. రెండు సంఖ్యల మొత్తం 40, వాటి మధ్య భేదం 4 అయితే  ఆ సంఖ్యల మధ్య నిష్పత్తి ఎంత?

1) 11 : 9 2) 11 : 18

3) 21 : 19 4) 22 : 9

 

 

రచయిత: బి. విష్ణువర్ధన్‌ రెడ్డి