నిష్పత్తి - అనుపాతం    

* ఒకే ప్రమాణాలున్న రాశులను భాగాహారం చేసి పోలిస్తే వచ్చే ఫలితాన్ని ఆ రాశుల 'నిష్పత్తి' అంటారు.
* a, b అనేవి రెండు సంఖ్యలైతే వాటి నిష్పత్తి (a/b) అవుతుంది. దీన్ని a : b అని రాస్తారు.
* a, b నిష్పత్తిలో 'a' ని పూర్వపదం అని, 'b' ని పరపదం అని అంటారు.
     ఉదా: 3 : 5 నిష్పత్తిలో 3 ను పూర్వపదం అని, 5 ను పరపదం అని అంటారు.
* నిష్పత్తిలోని రెండు పదాలను ఒకే సంఖ్యతో గుణించినా లేదా భాగించినా ఆ నిష్పత్తి విలువ మారదు. 
     ఉదా: 1) 4 : 5 నిష్పత్తిని 3తో గుణిస్తే 4×3 : 5×3 = 12 : 15 అవుతుంది. 
     ఉదా: 2) 4 : 6 నిష్పత్తిని 2తో భాగిస్తే   = 2 : 3 అవుతుంది.
* నిష్పత్తులను కనిష్ఠ పదాలొలో తెలపడానికి పూర్వ, పర పదాలను ఒకే సంఖ్యతో భాగించాలి. 
     ఉదా: 8 : 10 నిష్పత్తిని కనిష్ఠ పదాల్లో తెలపడానికి పూర్వ, పర పదాలను 2 తో భాగించాలి. 
      = 4 : 5 అవుతుంది.
* a : b కి విలోమ నిష్పత్తి   (లేదా) b : a అవుతుంది. 
     ఉదా: 3 : 5 కి విలోమ నిష్పత్తి    లేదా 5 : 3 అవుతుంది.
* a : b : c కి విలోమ నిష్పత్తి   (లేదా) be : ca : ab. 
    ఉదా: 2 : 3 :5 కి విలోమ నిష్పత్తి  (లేదా) 3×5 : 5×2 : 2×3 = 15 : 10 : 6 అవుతుంది.
* a : b ; c : d ; e : f  ల బహుళ నిష్పత్తి (Compounded Ratio)   (లేదా)  (ace : bdf) అవుతుంది.
     ఉదా: 1 : 2 ; 3 : 4 ; 5 : 6 ల బహుళ నిష్పత్తి  (లేదా) (1×3×5 : 2×4×6) = 15 : 48 (3తో భాగిస్తే) = 5 : 16 అవుతుంది.
* వర్గ నిష్పత్తి a : b కి వర్గ నిష్పత్తి a² : b² 
     ఉదా: 2 : 3 నిష్పత్తికి వర్గ నిష్పత్తి 2² : 3² = 4 : 9 అవుతుంది.
* వర్గమూల నిష్పత్తి a : b కి వర్గమూల నిష్పత్తి  

 ( లేదా) a^1/2 : b^1/2
     ఉదా: 16 : 9 నిష్పత్తికి వర్గమూల నిష్పత్తి   = 4 : 3 అవుతుంది.

* ఘన నిష్పత్తి a : b కి ఘన నిష్పత్తి a³ : b³ 
      ఉదా: 2 : 1 నిష్పత్తికి ఘన నిష్పత్తి 2³ : 1³ = 8 : 1 అవుతుంది.
* ఘనమూల నిష్పత్తి a : b కి ఘనమూల నిష్పత్తి a^1/3 : b^1/3 
      ఉదా: 27 : 64 నిష్పత్తికి ఘనమూల నిష్పత్తి (27)^1/3 : (64)^1/3 దాన్ని ( 33)^1/3 : (43)^1/3 
      = 3^3/3 : 4 ^3/3
      = 3¹ : 4¹ 
      = 3 : 4 [(aⁿ)^m = a^nm]

* రెండు నిష్పత్తులు సమానమైతే ఆ రెండు నిష్పత్తుల్లో ఉన నాలుగు రాశులు క్రమంగా 'అనుపాతం'లో ఉన్నాయంటాం.
* అంటే a : b = c : d అయితే a, b, c ,d లు అనుపాతంలో ఉన్నాయంటాం.
* a : b = c : d అనే అనుపాతాన్ని అని  లేదా a : b : c : d అని కూడా సూచిస్తారు.
* అనుపాతంలోని నాలుగు సంఖ్యలు ఒకే జాతికి చెందినవి కావచ్చు లేదా మొదటి నిష్పత్తికి చెందిన రెండు రాశులు ఒకే జాతికి చెందినవి, రెండో నిష్పత్తికి చెందిన రెండు రాశులు వేరొక సదృశజాతికి చెందినవి కావచ్చు.
*  అయితే a, b, c, d లను వరుసగా అనుపాతం మొదటి, రెండో, మూడో, నాలుగో పదాలు అంటారు.

* అనుపాతం మొదటి, నాలుగో పదాలైన a, d లను ' అంత్యాలు ', రెండో, మూడో పదాలైన c, d లను ' మధ్యాలు ' అంటారు.       
* నాలుగు సంఖ్యలు అనుపాతంలో ఉంటే అంత్యాల లబ్ధం = మధ్యాల లబ్ధం. అంటే a : d = c : b అయితే ad = bc
     ఉదా:  అనే అనుపాతంలో అంత్యాలు = 2, 25 మధ్యాలు = 5, 10 
     అంత్యాల లబ్ధం = 2 × 25 = 50 
     మధ్యాల లబ్ధం = 5 × 10 = 50 
     అంత్యాల లబ్ధం = మధ్యాల లబ్ధం
* నాలుగు సంఖ్యలు అనుపాతంలో లేకపోతే అంత్యాల లబ్ధం ≠ మధ్యాల లబ్ధం. అంటే a : b = c : d అయితే ad ≠ bc.
     ఉదా: 2, 3, 30, 40 అనే సంఖ్యలు అనుపాతంలో ఉండవు. 
     వీటి అంత్యాల లబ్ధం = 2 × 40 = 80 
     మధ్యాల లబ్ధం 3 × 30 = 90
     అంత్యాల లబ్ధం ≠ మధ్యాల లబ్ధం
* a, bలు అనుపాతంలో ఉంటే 'b'ను a,b ల అనుపాత మధ్యమం అంటారు. అప్పుడు b² = ac అవుతుంది.
* x, y అనే రెండు చలరాశుల మధ్య నిష్పత్తి  ఎప్పుడూ ఒక స్థిరాంకం K అయ్యేలా చెరిస్తే అవి 'అనులోమానుచరత్వం' కలిగి ఉన్నాయని అంటాం. K ను చరత్వ స్థిరాంకం అంటాం.
  x, y లు అనులోమ చరత్వం కలిగి ఉంటే  

 = K, లేదా x = Ky దీన్ని x ∝ y తో సూచిస్తాం.
* x, y లు విలోమానుపాతంలో ఉంటే x, 1/y లు y, 1/x లు అనులోమానుపాతంలో ఉంటాయి. లేదా x, y లు విలోమాను పాతంలో ఉంటే x ∝ 1/4, y ∝ 1/x అవుతుంది.
* a : b = c : d అయితే 'd' ను 'అనుపాతచతుర్థం' అంటాం. అంటే నాలుగు పదాలు అనుపాతంలో ఉంటే నాలుగో పదాన్ని మొదటి మూడు పదాలకు అనుపాతచతుర్థం అంటాం. అప్పుడు d = bc/a 
¤* a : b = c : d అయితే 'c' ను a, b ల అనుపాత తృతీయ అంటాం. అప్పుడు  
¤*  a : b, c : d ల బహుళ నిష్పత్తి ac : bd అవుతుంది.