1. చతురస్రాకార భూమి ఉన్న పిరమిడ్ ఎత్తు 12 సెం.మీ. దాని ఘనపరిమాణం 400 ఘ.సెం.మీ. అయితే పిరమిడ్ పక్కతల వైశాల్యం ఎంత?
జ: 260 చ.సెం.మీ.
వివరణ: దత్తాంశం నుంచి,
OP = పిరమిడ్ఎత్తు = 12 సెం.మీ.
PA = 1/2 పిరమిడ్ భూభుజం
= సెం.మీ.
పిరమిడ్ ఘ.ప. = భూ వైశాల్యం × ఎత్తు
= × a2 × 12 = 400
∴ 4a2 = 400
a2 = 100
∴ a = 10
∴ Δ OPA లంబకోణ త్రిభుజం నుంచి
OA2 = OP2+ AP2 = 122 +
= 144 + 25
= 169
∴ OA = 13
పిరమిడ్ పక్కతల వైశాల్యం = 1/2 × భూమి చుట్టుకొలత × ఏటవాలు ఎత్తు
= 1/2 × 4a × 13
= 2 × 10 × 13
= 260 సెం.మీ2
2. భూ భుజాలు 3 : 2 నిష్పత్తిలో ఉన్న దీర్ఘఘన చతురస్రాకార పట్టకం ఎత్తు 12 సెం.మీ. దాని పక్కతలానికి రంగు వేయడానికి చదరపు సెంటీమీటరుకు 5 పైసల వంతున రూ. 90 ఖర్చవుతుంది. అయితే దాని ఘనఫలం ఎంత?
జ: 16,200 సెం.మీ.3
వివరణ: దీర్ఘఘన చతురస్రాకార పట్టకానికి భూ భుజాలు l = 3x, b = 2x (సెం.మీ.)
పక్కతల వైశాల్యం =
=
= 1800 చ.సెం.మీ.
2h(l + b) = 1800
2 × 12 (3x + 2x) = 1800
120 x = 1800
∴ x = 15
దీర్ఘఘన చతురస్రాకార పట్టకం ఘ.ప. = lbh
= 3x × 2x × 12
= 45 × 30× 12
= 16,200 సెం.మీ.3
3. ఒక దీర్ఘ చతురస్రాకార చెరువు పొడవు 100 మీ., వెడల్పు 80 మీ. దానిలోకి 1 చ.మీ. వైశాల్యం ఉన్న తూము ద్వారా నీరు నిమిషానికి 40 మీ. వేగంతో ప్రవహిస్తే ఆ చెరువులోకి 1.5 మీ. లోతు వరకు నీరు రావడానికి ఎంత కాలం పడుతుంది?
జ: 5 గంటలు
వివరణ: చెరువును l = 100 మీ., b = 80 మీ., h = 1.5 మీ. కొలతలున్న పట్టకంగా ఊహిస్తే
చెరువు ఘ.ప. = l × b × h = 100× 80 × 1.5
= 80 × 150 మీ3
నిమిషంలో ఒక చదరపుమీటరు వైశాల్యం ఉన్న తూము ద్వారా చెరువులోకి ప్రవహించే నీటి ఘన పరిమాణం = తూము ముఖ వైశాల్యం × ప్రవాహ వేగం
= 1 × 40 = 40 మీ3
1.5 మీ. లోతువరకు చెరువు నిండటానికి పట్టే కాలం = చెరువు ఘనపరిమాణం ÷ తూము ద్వారా ప్రవహించే నీటి ఘ.ప. =
= 300 నిమిషాలు లేదా 5 గంటలు.
4. త్రిభుజాకార పట్టకం భూ భుజాలు 12 సెం.మీ., 16 సెం.మీ., 20 సెం.మీ. దాని ఎత్తు 15 సెం.మీ. అయితే దాని ఘనఫలం ఎంత?
జ: 1440 ఘనపు సెం.మీ.
వివరణ: త్రిభుజాకార పట్టకంలో
AB = 12, AC = 16, BC = 20 అనుకుంటే,
122 + 162 = 202
i.e., AB2 + AC2 = BC2
కాబట్టి, ΔABC లంబకోణ త్రిభుజం అవుతుంది.
పట్టకం భూ వైశాల్యం = 1/2 AB × AC
= 1/2 × 12 × 16
= 96 సెం.మీ2
త్రిభుజాకార పట్టకం ఘ.ప. = భూవైశాల్యం × ఎత్తు
= 96 × 15
= 1440 సెం.మీ3
5. రెండు స్తూపాల పక్కతల వైశాల్యాలు సమానం. అయితే వాటి ఘనపరిమాణాల నిష్పత్తి దేనికి సమానం?
జ: వ్యాసార్ధాల నిష్పత్తికి
వివరణ: దత్తాంశం నుంచి
6. రెండు శంకువుల భూ వ్యాసార్ధాలు సమానం. అయితే వాటి ఘనపరిమాణాల నిష్పత్తి దేనికి సమానం?
జ: వాటి ఎత్తుల నిష్పత్తికి
వివరణ: దత్తాంశం నుంచి r1 = r2
7. రెండు శంకువుల పక్కతల వైశాల్యాలు సమానమైతే, వాటి వ్యాసార్ధాలు, ఏటవాలు ఎత్తుల మధ్య సంబంధాన్నితెలపండి?
జ: వ్యాసార్ధాలు, ఏటవాలు ఎత్తులు విలోమానుపాతంలో ఉంటాయి.
వివరణ: దత్తాంశం నుంచి,
i.e. వ్యాసార్ధాలు, ఏటవాలు ఎత్తులు విలోమానుపాతంలో ఉంటాయి.
8. శంకాకార పాత్ర ఏటవాలు ఎత్తు 28 మీ. పాత్ర పక్కతలానికి రంగు వేయడానికి ఒక చదరపు సెంటీమీటరుకు రూ.5 చొప్పున రూ.3520 ఖర్చయితే దాని దాని నిలువుటెత్తు ఎంత?
జ: సెం.మీ.
వివరణ: శంకాకార పాత్ర పక్కతల వైశాల్యం
శంకువుకు l2 = r2+ h2 కాబట్టి
282 = 82 + h2 i.e., h2 = 784 - 64 = 720
∴ h = సెం.మీ.
9. 7 సెం.మీ. వ్యాసం ఉన్న స్తూపాకార జాడీలో కొంతభాగం నీరుంది. 0.5 వ్యాసం ఉన్న 294 సీసం గుళ్లను ఒక్కోటిగా ఆ జాడీలో వేస్తే అందులోని నీటి మట్టం ఎంత పెరుగుతుంది?
జ: 0.5 సెం.మీ.
వివరణ: 7 సెం.మీ. వ్యాసంతో ఉన్న స్తూపాకార జాడీలో సీసపు గుళ్లను జారవిడిచిన తర్వాత పెరిగిన నీటి మట్టం = h సెం.మీ. అనుకుందాం.
సీసపు గుండు వ్యాసార్ధం = సెం.మీ.
ఒక్కొక్క సీసపు గుండు ఘనపరిమాణం =
= సెం.మీ.3
294 సీసపు గుళ్ల ఘనపరిమాణం =
పెరిగిన నీటి ఘ.ప. =
సెం.మీ.3
ఆర్కిమెడిస్ సూత్రం నుంచి, సీసపు గుండ్లు తొలగించిన ద్రవ ఘనపరిమాణం = సీసపు గుండ్లు ఘ.ప.
h = 0.5 సెం.మీ.
10. 4 సెం.మీ. వ్యాసం ఉన్న స్తూపాకార జాడీని కొంతవరకు నీటితో నింపారు. అందులో ఒకే పరిమాణం ఉన్న 300 గోళాకార సీసం గుళ్లను వేస్తే, జాడీలోని నీటిమట్టం 0.8 సెం.మీ పెరిగింది. అయితే ఒక్కో గుండు వ్యాసార్ధం ఎంత?
జ: 0.2 సెం.మీ.
వివరణ: దత్తాంశం నుంచి స్తూపం వ్యాసం = 4 సెం.మీ.,
వ్యాసార్ధం = 2 సెం.మీ.
ఒకే ఆకారంలో ఉన్న 300 గోళాకారపు సీసపు గుండ్లను ఈ స్తూపంలో వేసినప్పుడు పెరిగిన నీటిమట్టం = 0.8 సెం.మీ.
సీసపు గుండు వ్యాసార్ధం = r సెం.మీ. అనుకుందాం.
ఆర్కిమెడిస్ సూత్రం నుంచి స్తూపాకార పాత్రలో గుండ్ల వల్ల తొలగిపోయిన నీటి ఘనపరిమాణం = 300 సీసపు గుండ్ల ఘ.ప.
× 2 × 2 × 0.8 = 300 × × × r3
సెం.మీ.
11. ఒక లోహ దీర్ఘఘనం కొలతలు 49 సెం.మీ. × 16 సెం.మీ. × 11 సెం.మీ. దాన్ని కరిగించి 42 సెం.మీ. ఎత్తున్న శంకాకార పాత్రను తయారు చేస్తే, దాని ఏటవాలు ఎత్తు ఎంత?
జ: సెం.మీ.
వివరణ: దీర్ఘఘనం ఘనపరిమాణం = 49 × 16 × 11 ఘనపు సెం.మీ.
శంకాకార పాత్ర ఎత్తు = 42 సెం.మీ.
ఈ పాత్ర ఘ.ప.
= 44 r2 సెం.మీ.3
ద్రవ్యాన్ని కరిగించినపుడు అది నాశనం చెందదు, దాన్ని సృష్టించలేం.
44 r2 = 49 × 16 × 11
r2 = 49 × 16 × = 49 × 4
r = 14 సెం.మీ.
శంకువుకు I2 = r2 + h2 = 142 + 422 = 1960
l =
12. 25 మీ. పొడవున్న దూలం మధ్యచ్ఛేదం 2.8 మీ. భుజం ఉన్న చతురస్రం. దాని నుంచి తయారయ్యే గరిష్ఠ స్తూప ఘనపరిమాణం ఎంత?
జ: 154 ఘ.మీ
వివరణ: గరిష్ఠ స్తూపం భూ వ్యాసం = చతురస్ర భుజం = 2.8 మీ.
గరిష్ఠ స్తూపం భూ వ్యాసార్ధం = 1.4 మీ.
గరిష్ఠ స్తూపం ఎత్తు = 25 మీ.
గరిష్ఠ స్తూపం ఘనపరిమాణం =
= × 1.4 × 1.4 × 25
= 154 మీ.3