అంకగణితం  

(i) నిష్పత్తి - అనుపాతం

      ఒకరాశి రెండోరాశిలో ఎన్ని రెట్లు ఉంది లేదా ఒక రాశి రెండోరాశిలో ఎన్ని భాగాలుందో తెలిపితే ఆ రెండు రాశుల మధ్య ఉన్న సంబంధాన్ని నిష్పత్తి అంటారు.
                                                                   (లేదా)
      ఒకే ప్రమాణం ఉన్న రెండు రాశులను భాగహారంతో పోలిస్తే ఆ రెండు రాశుల మధ్య ఉండే సంబంధాన్ని నిష్పత్తి అంటారు.
* నిష్పత్తిలోని రాశుల ప్రమాణాలు ఒక్కటే.
* నిష్పత్తికి ప్రమాణాలు ఉండవు.
* a, bల నిష్పత్తిని a : bగా సంకేత రూపంలో రాస్తాం.
* a : bలో aను మొదటి పదం లేదా పూర్వపదం అని bను రెండో పదం లేదా పరపదం అంటారు.
* నిష్పత్తిలోని పదాలకు 1 తప్ప వేరే ఉమ్మడి కారణాంకం లేకపోతే నిష్పత్తి కనిష్ఠ పదాల్లో ఉంది లేదా సామాన్య రూపంలో ఉంది అని అంటారు.
ఉదా: 45 : 63 అనే నిష్పత్తి కనిష్ఠ రూపం లేదా సామాన్య రూపం
            9 × 5 : 9 × 7 = 5 : 7

బహుళ నిష్పత్తి/మిశ్రమ నిష్పత్తి/సంయుక్త నిష్పత్తి:
      రెండు నిష్పత్తులను ఒకే నిష్పత్తిగా తెలపడానికి ఆ రెండు నిష్పత్తుల పూర్వపదాల లబ్ధాన్ని, పరపదాల లబ్ధాన్ని నిష్పత్తిగా రాస్తే దాన్నే ఆ రెండు నిష్పత్తుల బహుళ నిష్పత్తి అంటారు.
ఉదా: a : b, x : yల బహుళ నిష్పత్తి ax : by
* a : b యొక్క విలోమ నిష్పత్తి b : a
* a : b : c యొక్క విలోమ నిష్పత్తి  =  :

 :   = bc : ac : ab
 

ఏకవస్తు మార్గం:
      ఒక రాశి విలువను కనుక్కుని దాని ద్వారా కావలసినన్ని రాశుల విలువలను కనుక్కునే విధానాన్ని ఏకవస్తు మార్గం అంటారు.
ఉదా: 4 కేజీల చక్కెర కొన్నవెల 120 రూపాయలు అయితే 195 రూపాయలకు ఎన్ని కేజీల చక్కెర వస్తుంది?
120 రూపాయలు - 4 కేజీలు
195 రూ.   -   ?
 × 4 = 6.5 కేజీలు.
అనుపాతం: నిష్పత్తుల సమానత్వాన్ని అనుపాతం అంటారు. సాధారణంగా 'a', 'b'ల నిష్పత్తి 'c', 'd'ల నిష్పత్తికి సమానమైతే 'a', 'b', 'c', 'd'లు అనుపాతంలో ఉన్నాయి అంటారు. దీన్ని a : b :: c : dగా రాస్తారు.

* a, b, c, dలు అనుపాతంలో ఉంటే
    a : b = c : d
    

 ad = bc
అంత్య పదాల లబ్ధం = మధ్యపదాల లబ్ధం  → అనుపాత ధర్మం
చతుర్థ అనుపాతం లేదా అనుపాత చతుర్థ పదం d =  
* a, b, cలు అనుపాతంలో ఉంటే
a : b = b : c

b² = ac
అనుపాత మధ్యమం  b = 
తృతీయ అనుపాతం లేదా అనుపాత తృతీయ పదం  c = 

అనులోమానుపాతం:
      ఒక రాశిలోని పెరుగుదల (తగ్గుదల) మరొక రాశిలో పెరుగుదల (తగ్గుదల)కు కారణం అయితే ఆ రెండు రాశులు అనులోమానుపాతంలో ఉన్నాయి లేదా అనులోమ చరత్వాన్ని కలిగి ఉన్నాయి అంటారు.
x, yలు అనులోమానుపాతంలో ఉంటే
x ∝ y
 x = ky
 k  → అనుపాత స్థిరాంకం
 = k (స్థిరాంకం)

విలోమానుపాతం:
        ఒక రాశిలో పెరుగుదల (తగ్గుదల), రెండో రాశిలో తగ్గుదల (పెరుగుదల) ఉండి అవి అనుపాతంలో ఉంటే ఆ రాశులు విలోమానుపాతంలో ఉన్నాయి అంటారు.
x, yలు విలోమానుపాతంలో ఉంటే
x  ∝ 

x =  ; k → అనుపాత స్థిరాంకం
xy = k (స్థిరాంకం)
x₁y₁ = x₂y₂
 

మిశ్రమానుపాతం:
i) ఒకరాశి మిగిలిన రాశులతో అనులోమానుపాతంలో
ii) ఒకరాశి మిగిలిన రాశులతో విలోమానుపాతంలో
iii) ఒకరాశి మిగిలిన రెండు రాశుల్లో ఒకదానితో అనులోమానుపాతంలోనూ, రెండోదానితో విలోమానుపాతంలోనూ ఉండొచ్చు.
       పై మూడింటిలో ఏ ఒక్కదాన్నైనా మిశ్రమానుపాతం అంటారు.

* కంటికి ఇంపుగా కనిపించే ఆకారాలకు ఉండాల్సిన పొడవు, వెడల్పుల నిష్పత్తిని గోల్డెన్ రేషియో అంటారు. ఇది 1.615 : 1
ఉదా: పార్దెవాన్ దేవాలయం, తాజ్‌మహల్
 

భాగస్వామ్యం:
* ఇద్దరు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ మంది వ్యక్తులు కలిసి ఒక వ్యాపారం చేస్తే దాన్నే ఉమ్మడి వ్యాపారం లేదా భాగస్వామ్యం అంటారు.
* ఇద్దరు వ్యక్తులు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ మంది సమాన కాలవ్యవధుల పాటు వ్యాపారం చేస్తే ఆ భాగస్వామ్యాన్ని సామాన్య భాగస్వామ్యం అంటారు.
* వేర్వేరు కాలవ్యవధులపాటు వ్యాపారం చేస్తే ఆ భాగస్వామ్యాన్ని సంయుక్త భాగస్వామ్యం లేదా మిశ్రమ భాగస్వామ్యం అంటారు.
* లాభాల నిష్పత్తి = పెట్టుబడుల నిష్పత్తి × కాలాల నిష్పత్తి
* సామాన్య భాగస్వామ్యంలో లాభాల నిష్పత్తి, పెట్టుబడుల నిష్పత్తి అనుపాతంలో (సమానంగా) ఉంటాయి.

(ii) శాతాలు 

* వంద హారంగా ఉన్న దశాంశ భిన్నాన్ని శాతం అంటారు.
* శాతం అంటే నూటికి అని అర్థం. శాతాన్ని '%' తో సూచిస్తారు.
% = 
* నిష్పత్తుల పోలికలో శాతాలను వాడటం అర్థవంతంగా ఉంటుంది.
* నిత్యజీవితంలో లాభనష్టాలు, రుసుములు, వడ్డీలను గణించడంలో శాతాలను ఉపయోగిస్తారు.
* ఇచ్చిన భిన్నాన్ని శాతంగా మార్చాలంటే దాన్ని 100తో గుణించాలి.
* ఇచ్చిన శాతాన్ని భిన్నంగా మార్చాలంటే దాన్ని 100తో భాగించాలి.
10% =              20% =             25% =

33  % =          50% =            66% = 

75% =              80% =             100% = 1
xలో y విలువ  

* a అనే రాశిని r% అధికం చేస్తే 

* a అనే రాశిని r% తక్కువ చేస్తే 
* ఒక రాశి x% పెరిగి (తగ్గి) తర్వాత x% తగ్గితే (పెరిగితే) మొత్తం మీద ఆ రాశిలో  % నష్టం వస్తుంది.
ఉదా: 1) 250ను 20% అధికం చేయగా ఏర్పడిన సంఖ్య
సాధన: 250 ×   = 300
         2) ఒక సైకిల్ వెల 960 రూపాయలు. ధర 10% తగ్గిస్తే సైకిల్ వెల ఎంత?
సాధన: 960 ×  = 864 రూపాయలు.
3) ఒక దీర్ఘచతురస్రాకార నల్లబల్ల పొడవును 10% పెంచి, వెడల్పును 10% తగ్గిస్తే వైశాల్యంలోని మార్పు?
సాధన: పెరుగుదల, తరుగుదల సమానంగా ఉన్నాయి కాబట్టి
   నష్టం  =

  =   = 1%
(తగ్గుదల)

* ఒక రాశి మొదట x% మార్పు చెంది తర్వాత y% మార్పు చెందితే మొత్తం మీద వచ్చే మార్పును కనుక్కోవడానికి సూత్రం
x + y + 
ఉదా: 1) ఒక దీర్ఘచతురస్ర పొడవును 20% పెంచి, వెడల్పును 30% తగ్గిసే వైశాల్యంలో మార్పు?

( పెరిగిన రాశికి + గుర్తును, తగ్గిన రాశికి ఉపయోగించి - గుర్తును గణించాలి)
కాబట్టి వైశాల్యంలో 16% నష్టం వస్తుంది.
 

2. ఒక ఆఫీసులో ఉద్యోగులను 40% తగ్గించి మిగిలినవారి జీతాలను 10% పెంచితే వార్షిక ఖర్చులో మార్పు?
- 40 + 10 -  
= - 30 - 4 = - 34%
34% నష్టం
స్థిర లబ్ధ భావన
వేగం × కాలం = దూరం,    పొడవు × వెడల్పు = వైశాల్యం

* ఇలాంటి లబ్ధాల్లోని ఒక కారణాంకం P% పెరిగితే మొత్తం విలువలో మార్పు రాకుండా రెండో కారణాంకాన్ని   తగ్గించాలి.
* ఒకవేళ మొదటి కారణాంకం P% తగ్గితే లబ్ధం స్థిరంగా ఉండటానికి రెండో కారణాంకాన్ని  పెంచాలి.
 

(iii) లాభ - నష్టాలు 

* ఒక వస్తువు తయారీ వెలను కొన్నవెల అంటారు.
* లాభం/నష్టం అనేది ఎల్లప్పుడూ కొన్నవెలపై లెక్కిస్తారు.
* లాభం అనేది కొన్నవెలపై పెరుగుదల.
* నష్టం అనేది కొన్నవెలపై తరుగుదల
కొన్నవెల = C.P. (Cost Price), అమ్మినవెల = S.P. (Selling Price)
లాభం = P (Profit), నష్టం = L (loss)
* P = S.P. - C.P.   ¤ L = C.P. - S.P.

* రెండు వస్తువులను ఒకే ధరకు కొని అమ్మితే మొదటి దానిపై వచ్చిన లాభశాతం రెండోదానిపై వచ్చిన నష్టశాతానికి సమానంగా ఉంటే మొత్తం మీద లాభం లేదా నష్టం ఉండదు.

* రెండు వస్తువులను ఒకే ధరకు అమ్మితే మొదటిదానిపై వచ్చిన లాభశాతం (x%) రెండోదానిపై వచ్చిన నష్టశాతం (x%) సమానంగా ఉంటే మొత్తం మీద వచ్చే నష్టం =  

 %
 

VAT (Value added tax)/ అమ్మకపు పన్ను/ విలువ ఆధారిత పన్ను:
* వస్తువుల అమ్మకాలపై ప్రభుత్వం పన్ను వసూలు చేస్తుంది. దీన్నే విలువ ఆధారిత పన్ను అంటారు.
* VAT అనేది కేవలం సరుకులపై వేసే పన్ను, సేవలపై వేసే పన్ను.
* నిత్యావసర వస్తువులపై VAT ఉండదు.
* బంగారం, వజ్రాలు మొదలైన వాటిపై 1% VAT విధిస్తారు.
* పారిశ్రామిక ఉత్పత్తులు, పెట్టుబడి సరుకులు, ఎక్కువ వినియోగం ఉన్న వస్తువులపై 5% VAT.
* ఇతర వస్తువులపై 14.5% VATను కేంద్ర ప్రభుత్వం నిర్ణయించింది.
* ఒక వస్తువు అసలు వెల x రూ., VAT r% అయితే VATతో కలిపిన వెల = x × 
* ఒక వస్తువు వెల VATతో కలిపి y రూ. VAT r% అయితే అసలు వెల = y × 

డిస్కౌంటు (రుసుం)
* ఒక వస్తువును తయారు చేయడానికి కావాల్సిన వెలను తయారీ వెల లేదా కొన్న వెల లేదా గిట్టుబాటు వెల అంటారు.
* కొన్నవెలపై కొంత లాభం వేసుకుని తెలిపే వెలను ప్రకటన వెల లేదా పట్టీవెల లేదా క్యాటలాగు వెల లేదా లిఖిత మూల్యం లేదా గుర్తించిన వెల అంటారు.
* డిస్కౌంట్‌ను ఎప్పుడూ ప్రకటన వెలపై లెక్కిస్తారు.
అమ్మిన వెల = ప్రకటన వెల 

కొన్నవెల = ప్రకటన వెల 
+ x → లాభశాతం
- x → నష్టశాతం
ఒక వ్యాపారి త‌న వ‌స్తువుల‌పై వ‌రుస‌గా d₁%, d₂% రుసుములు ఇస్తే మొత్తం మీద రుసుం శాతం
= d₁ + d₂ - 

(iv) బారువడ్డీ లేదా సాధారణ వడ్డీ 

* నెల వడ్డీని సంవత్సరం వడ్డీగా మార్చడానికి 12తో గుణించాలి.
* సంవత్సరం వడ్డీని నెలవడ్డీగా మార్చడానికి 12తో భాగించాలి.
* సాధారణ వడ్డీ అనేది అసలుపై పెరుగుదల శాతం

మొత్తం A = అసలు + వడ్డీ
                = P + I

               

* సాధారణ వడ్డీ గణించేటప్పుడు కాలం సంవత్సరాల్లోనే ఉండాలి. ఒకవేళ అలా లేనప్పుడు సంవత్సరాల్లోకి మార్చాలి.
ఉదా: 2 సంవత్సరాల 4 నెలలు = 2  సంవత్సరాలు
* ఒక సమస్యలో మొత్తానికి, అసలుకు మధ్య సంబంధాన్ని ఇస్తే
* మొత్తం అసలుకు రెట్టింపు అయితే P = 1, I = 1
* మొత్తం అసలుకు 3 రెట్లు అయితే P = 1, I = 2
* మొత్తం అసలుకు 5 రెట్లు అయితే P = 1, I = 4
* మొత్తం అసలుకు n రెట్లు అయితే P = 1, I = n - 1
* రెండు సందర్భాల్లో వచ్చిన బారువడ్డీలు సమానమైతే
    P₁ T₁ R₁ = P₂ T₂ R₂
* కాలాలు సమానమైతే

     
* వడ్డీరేట్లు సమానమైతే

    

(V) చక్రవడ్డీ 

* చక్రవడ్డీ అనేది వడ్డీపై వడ్డీని లెక్కిస్తుంది.
* సంవత్సరానికొకసారి తిరిగి వడ్డీ కట్టే పద్ధతిలో చక్రవడ్డీ ప్రకారం n సంవత్సరాలకు అయ్యే మొత్తం

* ఎంతకాలం తర్వాత వడ్డీని అసలుకు కలుపుతామో దాన్ని తిరిగి వడ్డీ కట్టే కాల వ్యవధి అంటారు.
* సంవత్సరానికొకసారి వడ్డీ తిరగగడితే వడ్డీరేటు = R%
* అర్ధ సంవత్సరానికోసారి వడ్డీ తిరగగడితే వడ్డీరేటు =  %
* రెండు సంవత్సరాలకొకసారి వడ్డీ తిరగగడితే వడ్డీరేటు = 2R%

చక్రవడ్డీ మొత్తం 
చక్రవడ్డీ = A- P
P  → అసలు
R  → వడ్డీ రేటు
n → వడ్డీ తిరగగట్టే పర్యాయాల సంఖ్య

P రూపాయ‌లు అస‌లుపై మొద‌టి ఏడాది R₁%, రెండో సంవ‌త్సరం R₂% వ‌డ్డీరేటు చొప్పున ఏడాదికి ఒక‌సారి వ‌డ్డీ తిరిగి గ‌ట్టే ప‌ద్ధతిలో 2 సంవ‌త్సరాల‌కు అయ్యే మొత్తం  
* మొదటి సంవత్సరంలో బారువడ్డీ, చక్రవడ్డీల మధ్య వ్యత్యాసం ఉండదు.
* 2 సంవత్సరాల కాలానికి బారువడ్డీ, చక్రవడ్డీల మధ్య వ్యత్యాసం కనుక్కోవడానికి సూత్రం

     
* మూడేళ్ల కాలానికి బారువడ్డీ, చక్రవడ్డీల మధ్య వ్యత్యాసం కనుక్కోవడానికి సూత్రం

     
 

(VI) గడియారాలు 

* గడియారంలోని గంటల ముల్లు ఒక గంటలో చేసే కోణం: 30°
* గడియారంలోని గంటల ముల్లు ఒక నిమిషంలో చేసే కోణం : 

* గడియారంలోని నిమిషాల ముల్లు ఒక నిమిషంలో చేసే కోణం : 6°

* గడియారంలో గంటల, నిమిషాల ముల్లుల మధ్య సాపేక్ష వేగం 1 నిమిషానికి: 5  
* గడియారంలో రెండు ముళ్ల మధ్య కోణం 
     H  → గంటలు, M  → నిమిషాలు
* గడియారంలోని రెండు ముళ్ల మధ్య 'θ' కోణం ఉండే సమయం
     M =   (30 H ± θ)

 

* ఇచ్చిన సమయం యొక్క ప్రతిబింబ సమయం కనుక్కోవడానికి దాన్ని 12 గంటలు లేదా 24 గంటల నుంచి తీసివేయాలి.

(VII) సరాసరి లేదా సగటు 

* సరాసరిని తారతమ్యాన్ని తెలపడానికి ఉపయోగిస్తారు.
* సరాసరి =  
* రాశుల మొత్తం (S) = సరాసరి × రాశుల సంఖ్య
                               S = A × N

* a యొక్క మొదటి n అంశాల సరాసరి = 

* m అంశాల సరాసరి x, n అంశాల సరాసరి y అయితే

    
* వరుస సహజ సంఖ్యలు/సరి సంఖ్యలు/బేసి సంఖ్యల సంఖ్య n అయితే
i) n బేసి సంఖ్య అయితే  వ రాశి సరాసరి

* దత్తాంశంలో ప్రతి అంశంలో ఏ మార్పు జరుగుతుందో సగటులో కూడా అదే మార్పు జరుగుతుంది.
* మొదటి n సహజ సంఖ్యల సరాసరి 
* మొదటి n సహజ సంఖ్యల వర్గాల సరాసరి    
* మొదటి n సహజ సంఖ్యల ఘనాల సరాసరి  

* మొదటి n సరిసంఖ్యల సరాసరి = n + 1
* మొదటి n బేసి సంఖ్యల సరాసరి = n

(vii) కాలం - పని

* ఒక వ్యక్తి మొత్తం పనిని x రోజుల్లో పూర్తి చేయగలిగితే అతడు ఒక రోజులో చేయగలిగే భాగం:  
* ఒక వ్యక్తి పనిలో   భాగం ఒక రోజులో చేయగలిగితే ఆ మొత్తం పనిచేయడానికి అతడికి y రోజులు పడుతుంది.
* A ఒక పనిని x రోజుల్లో, B అదే పనిని y రోజుల్లో చేయగలిగితే వారిద్దరూ కలిసి ఆ పనిని చేసే కాలం 

* A ఒక పనిని x రోజుల్లో; A, B ఇద్దరూ కలిసి ఆ పనిని y రోజుల్లో చేయగలిగితే B ఒక్కడే ఆ పనిని
   చేసే కాలం = 
* A ఒక పనిని x రోజుల్లో, B ఆ పనిని y రోజుల్లో, C అదే పనిని z రోజుల్లో విడివిడిగా చేయగలిగితే ఆ ముగ్గురూ కలిసి ఆ పనిని చేసే కాలం  
 

(viii) కాలం - దూరం 

దూరం = కాలం × వేగం

* కాలం, వేగం విలోమానుపాతంలో ఉంటాయి.
1 kmph =   mps
1 mps =

 kmph
సరాసరి వేగం (Average Speed) 

(i) రెండు సమాన దూరాలను వేర్వేరు వేగాలతో (x, y) ప్రయాణిస్తే మొత్తం ప్రయాణంలో సరాసరి వేగం = 
(ii) మూడు సమాన దూరాలను వేర్వేరు వేగాలతో (x, y, z) ప్రయాణిస్తే మొత్తం ప్రయాణంలో సరాసరి
వేగం = 
(iii) వేర్వేరు దూరాలను వేర్వేరు కాల వ్యవధుల్లో ప్రయాణిస్తే మొత్తం ప్రయాణంలో సరాసరి వేగం
    

సాపేక్ష వేగం (Relative Speed) 

* చలనంలోని రెండు వస్తువులు ఒకే దిశలో ప్రయాణిస్తే వాటి వేగాల భేదమే సాపేక్ష వేగం.
* చలనంలోని రెండు వస్తువులు ఒకదానికొకటి వ్యతిరేక దిశలో ప్రయాణిస్తే వాటి వేగాల మొత్తమే సాపేక్ష వేగం.
* ఒక రైలు పొడవు లేని వస్తువులైన మనిషి, చెట్లు, స్తంభం లాంటి వాటిని దాటినప్పుడు రైలు ప్రయాణించిన దూరం = రైలు పొడవు
* ఒక రైలు పొడవైన వస్తువులను (ప్లాట్‌ఫాం, వంతెన, మరో రైలు) దాటితే రైలు ప్రయాణించిన దూరం = రైలు పొడవు + దాటిన వస్తువు పొడవు.