• facebook
  • whatsapp
  • telegram

సమితులు

           సునిర్వచిత వస్తువుల సముదాయాన్ని 'సమితి' అంటారు. సాధారణంగా సమితులను ఇంగ్లిష్ భాషలోని పెద్ద అక్షరాలతో (A, B, X, Y ...) సూచిస్తారు.
ఉదా: A అనేది ఒక సమితి. ఆ సమితిలో 2, 4, 6, 8 అనే సంఖ్యలు మూలకాలు. దీన్ని ఈ కింది విధంగా సూచిస్తారు. A = {2, 4, 6, 8}
* 1 నుంచి 50 వరకు ఉన్న బేసి సంఖ్యల సమితిని రాయడానికి A = {1, 3, 5, 7,.. 49}
* సహజ సంఖ్య సమితిని N అనే అక్షరంతో సూచిస్తారు. N = {1, 2, 3, 4, ....}
* పూర్ణసంఖ్య సమితిని Z తో సూచిస్తారు. Z = {...., -2, -1, 0, 1, 2, 3, ....}
 

సమితి నిర్మాణ రూపం లేదా లాక్షణిక రూపం
C = {2, 3, 5, 7, 11}. C అనేది 13 కంటే తక్కువైన ప్రధాన సంఖ్యల సమితి. దీన్ని C = {x / x < 13 కంటే తక్కువైన ప్రధాన సంఖ్య}
అని మూలకాల సామాన్య ధర్మాన్ని వర్ణించడాన్ని 'సమితి నిర్మాణ రూపం లేదా 'లాక్షణిక రూపం అంటారు.
పై ఉదాహరణలో 1) x అనేది సమితిలోని ప్రతి మూలకానికి సంకేతం.
                         2) గీత తర్వాత సమితిలో ఉన్న సామాన్య ధర్మాన్ని సూచిస్తుంది.

జాబితా రూపం (లేదా) రోస్టర్ రూపం
     a, a, b, b, c, c, c, d అనే మూలకాలున్న సమితిని రాయడానికి ప్రతి మూలకాన్ని రెండు లేదా మూడు సార్లు పేర్కొనకుండా ఒక్కసారి మాత్రమే రాస్తారు. పై అక్షరాల సమితిని {a, b, c, d} అని రాస్తారు. ఈ విధంగా సమితులను రాయడాన్ని జాబితా రూపం లేదా రోస్టర్ రూపం అంటారు.
ఉదా: 1 నుంచి 100 వరకు ఉన్న సహజ సంఖ్యల సమితిని రాయడానికి A = {1, 2, 3, 4, ...100}.
* ఏక మూలక సమితి: ఏదైనా ఒక సమితిలో ఒకేఒక మూలకం ఉంటే ఆ సమితిని 'ఏక మూలక సమితి' అంటారు.
ఉదా: సరి ప్రధానాంకాల సమితి = {2}. ఇది ఏక మూలక సమితి.
* పరిమిత సమితి - అపరిమిత సమితి: B = {4, 5, 7, 9, 11} సమితిలో ఉన్న మూలకాల సంఖ్య 5. దీనిలో పరిమితమైన మూలకాలు ఉన్నాయి కాబట్టి ఇలాంటి సమితిని పరిమిత సమితి అంటారు.
* సహజ సంఖ్యా సమితి N = {1, 2, 3, ......} దీనిలో మూలకాల సంఖ్య అపరిమితం (లెక్కించడానికి వీలు కాదు) కాబట్టి ఇలాంటి సమితిని అపరిమిత సమితి అంటారు.
 

కార్డినల్ సంఖ్య
     సమితిలో ఉన్న మూలకాల సంఖ్యను ఆ సమితి కార్డినల్ సంఖ్య అంటారు.
A సమితి కార్డినల్ సంఖ్యను n(A) తో సూచిస్తారు.
ఉదా: 1) A = {6, 7, 8, 10, 11}. A సమితిలోని మూలకాల సంఖ్య 5 అయితే n(A) = 5.

గమనిక: శూన్య సమితిలో ఉన్న మూలకాల సంఖ్య = 0.
కాబట్టి n (ϕ) = 0.

ఉపసమితి
      A సమితిలో ఉన్న ప్రతి మూలకం B సమితిలో ఉంటే A సమితిని B సమితికి చెందిన ఉపసమితి అంటారు.
ఉదా: A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} అయితే A సమితిలో ఉన్న ప్రతి మూలకం B సమితిలో ఉంది. కాబట్టి A సమితి B సమితికి ఉపసమితి అవుతుంది. దీన్ని A   B గా రాస్తారు.
గమనిక: శూన్యసమితి ప్రతి సమితికి ఉపసమితి అవుతుంది.
* A = {1, 2, 3} అనే సమితికి ఉన్న ఉపసమితుల సంఖ్య = 8
అవి { }, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}.
గమనిక: ఒక సమితిలోని మూలకాల సంఖ్య n అయితే దానికి ఉన్న ఉపసమితుల సంఖ్య = 2n
 

క్రమోపసమితి
       Y  X, Y ≠ X అయితే Y ని X కి క్రమోపసమితి అంటారు.
* A = {1, 2, 3} అనే సమితికి ఉన్న క్రమోపసమితుల సంఖ్య = 7. అవి
    { }, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}.
గమనిక: ఒక సమితిలోని మూలకాల సంఖ్య n అయితే దానికి ఉన్న క్రమోపసమితుల సంఖ్య = 2n − 1.

ఘాత సమితి
      దత్త సమితి A కి ఉన్న ఉపసమితులన్నీ మూలకాలుగా ఉన్న సమితిని A సమితికి చెందిన ఘాతసమితి అంటారు. దీన్ని P(A) తో సూచిస్తారు.
* సమితిలో n మూలకాలుంటే దాని ఘాతసమితిలో 2n మూలకాలు ఉంటాయి.
 

విశ్వసమితి లేదా సార్వత్రిక సమితి
     దీన్ని μ (లేదా) Ω అనే అక్షరాలతో సూచిస్తారు. సమతల జ్యామితికి సంబంధించిన చర్చల్లో, తలంలోని అన్ని బిందువుల సమితి సార్వత్రిక సమితి అవుతుంది.
* విశ్వసమితిలో మనం పరిశీలించే సమితులన్నీ ఉపసమితులుగా ఉంటాయి.

వియుక్త సమితులు
A, B సమితుల్లో ఉమ్మడి మూలకాలు లేకుంటే A, B సమితులను వియుక్త సమితులు అంటారు.
A, B లు వియుక్త సమితులైతే, A  B = ϕ అవుతుంది.

సమితులు - వెన్ చిత్రాలు
* సమితులను సూచించడానికి సరళ సంవృత పటాలను ఉపయోగిస్తారు.
* ఇలాంటి పటాలను జాన్‌వెన్ అనే ఆంగ్ల గణిత శాస్త్రవేత్త మొదటిసారిగా ప్రయోగించాడు.
* స్విట్జర్లాండ్‌కు చెందిన లెనార్డ్ ఆయిలర్ కూడా వీటిని ఉపయోగించాడు.
* కాబట్టి వీటిని వెన్-ఆయిలర్ చిత్రాలు అని అంటారు. వీటినే వెన్ చిత్రాలు అని కూడా అంటారు.

* విశ్వసమితిని సూచించడానికి సాధారణంగా దీర్ఘచతురస్రాన్ని వాడుతుంటారు.


                                                
        

ముఖ్యమైన సూత్రాలు 

* n(AB) = n(A) + n(B) − n(AB)
* A  ϕ = A
* AA = A
* A ∩ ϕ = ϕ
* A Δ B = (A − B)  (B − A)
                       (లేదా)
                 (A  B) − (A B)
* AC = μ − A
* A AC = ϕ
* AAC = μ
* A  (B C) = (A  B) (A  C)
* A (B  C) = (A B)  (A C)

మాదిరి సమస్యలు

1. A = {2, 5, 6, 7},  B = {5, 6, 8, 9), అయితే
i) A  B
ii) A B iii) A − B
iv) B − A v) A Δ B ఎంత?
సాధన: A = {2, 5, 6, 7}, B = {5, 6, 8, 9}
A  B = {2, 5, 6, 7}   {5, 6, 8, 9}
            = {2, 5, 6, 7, 8, 9}
A B = {2, 5, 6, 7} {5, 6, 8, 9}
           = {5, 6}
A − B = {2, 5, 6, 7} − (5, 6, 8, 9}
           = {2, 7}
B − A = {5, 6, 8, 9} − {2, 5, 6, 7}
           = {8, 9}
A Δ B = (A  B) − (A B) = {2, 5, 6, 7, 8, 9} − {5, 6}
                                            = {2, 7, 8, 9}

2. n(A  B) = 50, n(A) = 30, n(A B) = 15 అయితే n(B) = ......
     1) 25      2) 35      3) 80      4) 45
సాధన: n(A  B) = 50, n(A) = 30, n(A B) = 15, n(B) = ?
          n(A  B) = n(A) + n(B) − n(A B)
                      50 = 30 + n(B) − 15
                      50 = 15 + n(B)
             50 − 15 = n(B)
                      35 = n(B)
                 ∴  n(B) = 35
జవాబు: 2

3. ఒక పాఠశాలలో 600 మంది విద్యార్థులున్నారు. వీరిలో 400 మంది తెలుగు, 300 మంది హిందీ మాట్లాడగలరు. తెలుగు, హిందీ రెండు భాషలు మాట్లాడగలిగేవారు ఎంత మంది ఉన్నారు?
      1) 100       2) 150       3) 200       4) 50
సాధన: పాఠశాలలో తెలుగు మాట్లాడేవారు n(T) = 400
             పాఠశాలలో హిందీ మాట్లాడేవారు n(H) = 300

           పాఠశాలలోని విద్యార్థుల సంఖ్య n(T   H) = 600
                        రెండు భాషలు మాట్లాడగలిగేవారు = n(T H)
సూత్రం ప్రకారం: n(T  H) = n(T) + n(H) − n(T H)
                                 600 = 400 + 300 − n(T H)
                        n(T H) = 700 − 600 = 100
జవాబు: 1

Posted Date : 26-02-2021

గమనిక : ప్రతిభ.ఈనాడు.నెట్‌లో కనిపించే వ్యాపార ప్రకటనలు వివిధ దేశాల్లోని వ్యాపారులు, సంస్థల నుంచి వస్తాయి. మరి కొన్ని ప్రకటనలు పాఠకుల అభిరుచి మేరకు కృత్రిమ మేధస్సు సాంకేతికత సాయంతో ప్రదర్శితమవుతుంటాయి. ఆ ప్రకటనల్లోని ఉత్పత్తులను లేదా సేవలను పాఠకులు స్వయంగా విచారించుకొని, జాగ్రత్తగా పరిశీలించి కొనుక్కోవాలి లేదా వినియోగించుకోవాలి. వాటి నాణ్యత లేదా లోపాలతో ఈనాడు యాజమాన్యానికి ఎలాంటి సంబంధం లేదు. ఈ విషయంలో ఉత్తర ప్రత్యుత్తరాలకు, ఈ-మెయిల్స్ కి, ఇంకా ఇతర రూపాల్లో సమాచార మార్పిడికి తావు లేదు. ఫిర్యాదులు స్వీకరించడం కుదరదు. పాఠకులు గమనించి, సహకరించాలని మనవి.

 

పేపర్ - II

పాత ప్రశ్నప‌త్రాలు

 

విద్యా ఉద్యోగ సమాచారం

 

నమూనా ప్రశ్నపత్రాలు

 

లేటెస్ట్ నోటిఫికేష‌న్స్‌