భిన్నం: ఒక మొత్తంలో కొంత భాగం లేదా ఒక సమూహంలో కొన్నింటిని భిన్నం అంటారు.
భిన్నాలు - రకాలు
i) క్రమ భిన్నం
ii) అపక్రమ భిన్నం
iii) మిశ్రమ భిన్నం
iv) సజాతి భిన్నం
v) విజాతి భిన్నం
vi) సమాన భిన్నాలు
క్రమ భిన్నం: లవం కంటే హారం (x < y) ఎక్కువగా ఉన్న భిన్నాలను క్రమ భిన్నాలు అంటారు.
అపక్రమ భిన్నం: హారం కంటే లవం (x > y) పెద్దదిగా ఉన్న భిన్నాలను అపక్రమ భిన్నాలు అంటారు.
మిశ్రమ భిన్నం: ఒక పూర్ణ సంఖ్య, ఒక క్రమభిన్నం కలిసి ఉండే సంఖ్యను మిశ్రమ భిన్నం అంటారు.
సజాతి భిన్నం: సమాన హారాలు ఉండే భిన్నాలను సజాతి భిన్నాలు అంటారు.
విజాతి భిన్నం: హారాలు అసమానంగా ఉండే భిన్నాలను విజాతి భిన్నాలు అంటారు.
భిన్నాలను పోల్చడం
హారాలు సమానమైనప్పుడు లవం విలువ పెరిగే కొద్దీ భిన్నం విలువ పెరుగుతుంది.
లవాలు సమానమైనప్పుడు హారం విలువ పెరిగేకొద్దీ భిన్నం విలువ తగ్గుతుంది.
మిశ్రమ భిన్నాన్ని అపక్రమ భిన్నంగా మార్చడం
ఒక భిన్నం యొక్క లవ, హారాలు రెండింటినీ ఒకే సంఖ్యతో గుణించినా లేదా భాగించినా ఆ భిన్నం విలువ మారదు.
ఒక క్రమ భిన్నం యొక్క లవ, హారాలు రెండింటికీ ఒకే సంఖ్యను కలిపితే ఆ భిన్నం విలువ పెరుగుతుంది.
ఒక క్రమ భిన్నం యొక్క లవ, హారాలు రెండింటి నుంచి ఒకే సంఖ్యను తీసివేస్తే ఆ భిన్నం విలువ తగ్గుతుంది.
భిన్నాల సంకలనం
హారాలు సమానమైనప్పుడు భిన్నాల కూడికలో పై లవాలను చూడాలి.
మిశ్రమ భిన్నాలను అపక్రమ భిన్నాలుగా మార్చి సంకలనం చేయవచ్చు.
భిన్నాల వ్యవకలనం
హారాలు సమానమైనప్పుడు భిన్నాల తీసివేతలో పై లవాలను చూడాలి.
మిశ్రమ భిన్నాలను అపక్రమ భిన్నాలుగా మార్చి వ్యవకలనం చేయవచ్చు.
భిన్నాల గుణకారం
ఒక భిన్నాన్ని ఒక పూర్ణాంకంతో లేదా మరొక భిన్నంతో గుణిస్తే వచ్చే భిన్నాన్ని లబ్ధ భిన్నం అంటారు.
రెండు భిన్నాలను గుణిస్తే వచ్చే లబ్ధ భిన్నంలోని లవం ఆ రెండు భిన్నాల్లోని లవాల లబ్ధానికి, హారం ఆ రెండు భిన్నాల్లోని హారాల లబ్ధానికి సమానంగా ఉంటాయి.
భిన్నాల భాగహారం
ఒక భిన్నాన్ని మరొక భిన్నంతో భాగించాలంటే మొదటి భిన్నాన్ని, భాగించే భిన్నం యొక్క గుణకార విలోమంతో గుణించాలి.
ఒక భిన్నాన్ని పూర్ణాంకంతో భాగిస్తే లవంలో మార్పు ఉండదు. ఇచ్చిన భిన్నంలోని హారం, భాగించే పూర్ణాంకాల లబ్ధం భిన్న హారమవుతుంది.
దశాంశ భిన్నాలు
దశాంశ భిన్నాలు: 10, 100, 1000, 10000, ... హారాలుగా గల భిన్నాలను దశాంశ భిన్నాలు అంటారు.
* దశాంశ సంఖ్యలో దశాంశ బిందువుకు కుడివైపు భాగాన్ని దశాంశ భాగమనీ, ఎడమవైపు భాగాన్ని పూర్ణాంక భాగమనీ అంటారు.
ఉదా: 2.56లో 2 పూర్ణాంక భాగం, 56 దశాంశ భాగం అవుతాయి.
* దశాంశ భిన్నంలో దశాంశ భాగం విలువ < 1
దశాంశ స్థానాలు:
* స్థానాల విలువ ఎడమవైపు వెళ్లే కొద్దీ 1/10 రెట్లు అవుతుంది.
* స్థానాల విలువ కుడివైపు వెళ్లే కొద్దీ వంతు అవుతుంది.
దశాంశ భిన్నం యొక్క విస్తరణ రూపం:
దశాంశాన్ని సామాన్య భిన్న రూపంలో రాయడం
దశాంశాన్ని సామాన్య భిన్నంగా రాయడానికి దశాంశ బిందువును తొలగించి ఏర్పడిన సంఖ్యను లవంగా రాయాలి. దశాంశ భాగంలో ఎన్ని స్థానాలున్నాయో అన్ని సున్నాలను ఒకటి తర్వాత ఉంచి హారంగా రాయాలి.
దశాంశ భిన్నాల సంకలన, వ్యవకలనాలు
దశాంశ భిన్నాల సంకలన, వ్యవకలనాలను గణించేందుకు వాటిని ఒక దాని కింద మరొకటి రాసి (దశాంశ బిందువులను) సాధారణ సంకలన, వ్యవకలనాలు చేయాలి.
ఆవర్త దశాంశ భిన్నం: దశాంశ భాగంలోని అంకెలు పునరావృతమయ్యే దశాంశ భిన్నం.
ఉదా: 3.66666....
ఆవర్తన భాగాన్ని బార్ (-)తో సూచిస్తారు.
* దశాంశ భాగం పూర్తిగా ఆవర్తనమైతే అది శుద్ధ ఆవర్తన లేదా పూర్ణావర్త దశాంశం.
* దశాంశ భాగంలో కొద్ది భాగం మాత్రమే ఆవర్తనమైతే అది మిశ్రమ ఆవర్తన దశాంశం.
అవధి: దశాంశ భిన్నంలో ఆవర్తన భాగంలోని అంకెల సంఖ్యను అవధి అంటారు.
ఉదా:
యొక్క అవధి = 2
వ్యవధి: దశాంశ భిన్నంలో ఆవర్తన భాగంలోని అంకెల సమూహాన్ని వ్యవధి అంటారు.
ఉదా: 
యొక్క వ్యవధి = 35
ఆవర్తన దశాంశ భిన్నాన్ని అకరణీయ సంఖ్యగా మార్చడం
Step - I: ఆవర్తన దశాంశ భిన్నంలోని అంకెలన్నింటినీ సంఖ్యగా రాయాలి.
Step - II: ఆవర్తన భాగంలోని అంకెలను మినహాయించి మిగిలిన అంకెలతో ఏర్పడిన సంఖ్యను పై సంఖ్యలో నుంచి తీసివేయాలి.
Step - III: పై రెండు నియమాల ద్వారా ఏర్పడిన సంఖ్య లవం.
Step - IV: హారంలో దశాంశ భాగంలో గీత ఉండే అంకెకు బదులుగా '9', గీత లేని అంకె బదులుగా '0'ను రాస్తూ ఏర్పరచాలి (వెనక వైపు నుంచి)
జాన్ నేపియర్ (స్కాట్లాండ్)
→ సంవర్గమానాలను రూపొందించాడు.
→ గుణకారాలకు నేపియర్ పట్టీలను ప్రవేశపెట్టాడు.
→ దశాంశ భిన్నాలను ప్రవేశపెట్టిన గణిత శాస్త్రవేత్త.
