శుద్ధ గతిశాస్త్రం

I. సమత్వరణంతో ప్రయాణిస్తున్న వస్తువుల చలనానికి సంబంధించిన సమీకరణాలు
(Equations of Motion for a body moving under uniform acceleration)
         ఒక వస్తువు 'u' తొలివేగం, 'a' సమత్వరణంతో సరళరేఖలో చలిస్తోంది. అనుకుంటే, 't' కాలంలో ఆ వస్తువు ప్రయాణించిన దూరం 's', దాని తుదివేగం 'v' అయితే ఆ వస్తువు చలన సమీకరణాలు

                                                   
                ఆ వస్తువు 'n' వ సెకన్‌లో ప్రయాణించిన దూరం 's_n' అయితే..

II. గురుత్వాకర్షణ ప్రభావంతో ప్రయాణించే వస్తువులు - గురుత్వత్వరణం 'g'
(Motion of Body Under Gravity - Acceleration due to Gravity)
గురుత్వత్వరణం: ఒక వస్తువుపై గురుత్వాకర్షణబలం చర్యవల్ల ఆ వస్తువులో కలిగిన త్వరణాన్ని 'గురుత్వత్వరణం' అంటారు. దీన్ని 'g' తో సూచిస్తారు. 'g' ప్రమాణాలు మీ/సె² (లేదా) సెం.మీ./ సె²
       వస్తువు భూఉపరితలం వైపు ప్రయాణిస్తున్నప్పుడు, అది భూమి నుంచి దూరంగా వెళ్లేటప్పుడు గురుత్వాకర్షణ ప్రభావానికి లోనవుతుంది.
 

స్వేచ్ఛాపతన వస్తువు విషయంలో చలన సమీకరణాలు:
(Equations of Motion for a freely falling Body):
         కొంత ఎత్తునుంచి భూఉపరితలం వైపు ప్రయాణిస్తున్న వస్తువు (స్వేచ్ఛా పతనవస్తువు)కు తొలివేగం (u) = 0 అవుతుంది. వస్తువు గమన దిశ, గురుత్వత్వరణ దిశ ఒకే వైపు కావడంవల్ల 'g' ధనాత్మకమౌతుంది. కాబట్టి చలన సమీకరణాలు కింది విధంగా ఉంటాయి.

                                         
            స్వేచ్ఛా పతన వస్తువు 'n' వ సెకనులో ప్రయాణించిన దూరం 's_n' అయితే

భూతలం నుంచి నిట్ట నిలువుగా పైకి ప్రక్షిప్తం చేసిన వస్తువు విషయంలో చలన సమీకరణాలు:
(Equations of motion for a body thrown vertically upwards)
           భూతలం నుంచి నిట్ట నిలువుగా పైకి ప్రక్షిప్తం చేసిన వస్తువుకు తుదివేగం (v) = 0 అవుతుంది. వస్తువు గమన దిశకు వ్యతిరేకదిశలో గురుత్వరణం పని చేస్తుంది. కాబట్టి, 'g' విలువ రుణాత్మకమౌతుంది. కాబట్టి చలన సమీకరణాలు కింది విధంగా ఉంటాయి.

                                               
           నిట్ట నిలువుగా పైకి ప్రక్షిప్తం చేసిన వస్తువు 'n' వ సెకనులో ప్రయాణించిన దూరం

                          
గమనిక: స్వేచ్ఛాపతన వస్తువు (లేదా) విరామ స్థితి నుంచి బయలుదేరిన వస్తువు విషయంలో u = 0, 'g' ధనాత్మకం అవుతుంది.

1. మొదటి చలన సమీకరణం నుంచి అవుతుంది.
    కాలం t = 1, 2, 3, .... సెకన్ల వద్ద వేగాల నిష్పత్తి v1: v2 : v3 : .... = 1 : 2 : 3 : ... అవుతుంది.

   కాలం t = 1, 2, 3, ... సెకన్ల వద్ద స్థాన భ్రంశాల నిష్పత్తి

  1వ సెకను, 2వ సెకను, 3వ సెకను .... ల వద్ద ఆ వస్తువు స్థాన భ్రంశాల నిష్పత్తి 1 : 3 : 5 : 7 : ... అవుతుంది.
4. స్వేచ్ఛా పతన వస్తువు 'n' వ సెకనులో 's' భ్రంశం పొందితే అది (n + 1) సెకనులో (s + g) స్థానభ్రంశం పొందుతుంది.
 

గరిష్ఠోన్నతి (Maximum Height (H)):
వస్తువును నిట్టనిలువుగా పైకి ప్రక్షిప్తం చేస్తే, ఏ ఎత్తువద్ద దాని తుదివేగం (v) సున్న అవుతుందో ఆ ఎత్తును ఆ వస్తువు పొందిన 'గరిష్ఠోన్నతి' అంటారు.

                  
                   ఇక్కడ u = వస్తువు తొలివేగం
                    g = గురుత్వత్వరణం

             పై సమీకరణం నుంచి గరిష్ఠోన్నతి దాని తొలివేగపు వర్గానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది. అంటే  అవుతుంది.
ఆరోహణ కాలం (t_a): ప్రక్షిప్త వస్తువు గరిష్ఠోన్నతిని చేరడానికి పట్టే కాలాన్ని 'ఆరోహణకాలం (t_a)' అంటారు.

 ఆరోహణకాలం (t_a) వస్తువు తొలివేగానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది. అంటే  అవుతుంది.
అవరోహణకాలం (t_d): గరిష్ఠోన్నతి బిందువు నుంచి వస్తువు భూమిని చేరడానికి పట్టేకాలాన్ని 'అవరోహణకాలం (t_d)'  అంటారు.

గమనిక: గురుత్వాకర్షణ ప్రభావంతో ప్రయాణించే వస్తువుల ఆరోహణకాలం, అవరోహణ కాలానికి సమానం.

                                      t_f = t_a + t_d

                                 
ఎత్తై న శిఖరం నుంచి వస్తువును ప్రక్షిప్తం చేసినపుడు సమీకరణం:
         'h' ఎత్తున్న శిఖరం నుంచి ఒక వస్తువును 'u' తొలివేగంతో నిట్టనిలువుగా ప్రక్షిప్తం చేస్తే, అది 't' కాలం తరువాత భూమిని చేరిందనుకుందాం. తొలి, తుది స్థానాలు వరుసగా B, A అనుకుంటే ఆ వస్తువు స్థాన భ్రంశం 's = - h' అవుతుంది.
ఈ సందర్భంలో ప్రయాణ దూరాలను ఆరోహణ దిశలో ధనాత్మకంగా, అవరోహణ దిశలో రుణాత్మకంగా తీసుకుంటారు.

సమస్యలు:
1) భూమినుంచి ఒక వస్తువును 19.6 ms^-1 వేగంతో నిట్టనిలువుగా ప్రక్షిప్తం చేస్తే,
(A) అది చేరుకోగల గరిష్ఠోన్నతి,
(B) దాని ప్రయాణకాలం కనుక్కోండి?
సాధన: సమస్య ప్రకారం వస్తువు తొలివేగం (u) = 19.6 ms^-1

2) సమత్వరణంతో చలించే వస్తువు తన ప్రయాణంలో మొదటి సెకనులో 25 mts, 3 వ సెకనులో 35 mts దూరం ప్రయాణిస్తే 5వ సెకనులో ఎంత దూరం ప్రయాణిస్తుంది?

           మొదటి సెకనులో ప్రయాణించిన దూరం 25 mts

        
           3వ సెకనులో ప్రయాణించిన దూరం 35 mts

          
           (1), (2) సమీకరణాలను సాధించగా a = 5 ms^-2

           a = 5 ms^-2 ను (1) వ సమీకరణంలో రాయగా 2u + 5 = 50

4) 300 mts ఎత్తున ఉన్న ప్రదేశం నుంచి ఒక రాయిని కిందకి జారవిడిచారు. అదేక్షణంలో భూమినుంచి మరొక రాయిని ఊర్థ్వంగా 100 ms^-1 వేగంతో ప్రక్షిప్తం చేస్తే ఈ రెండు ఎక్కడ ఒక దాని కొకటి కలుసుకొంటాయి?
    Case - I                          Case - II
     AC                                   BC
    S₁ = AB - BC                S₂ = x
   S₁ = (300 - x)
   u₁ = 0 m/s                     u₂ = 100 m/s
   a₁ = +g                          a₂ = - g
   t₁ = t sec                        t₂ = t sec