రేఖాగణితం

ప్రాథమిక జ్యామితీయ భావనలు

* రేఖాగణితాన్ని ఆంగ్లంలో బి’్న్ఝ’్మ౯్వ అని పిలుస్తారు. ఈ ఆంగ్ల పదం జియో, మెట్రియన్‌ అనే రెండు గ్రీకు పదాల నుంచి వచ్చింది. జియో అంటే భూమి. మెట్రియన్‌ అంటే కొలవడం. రేఖా గణితాన్ని తెలుగులో ‘జ్యామితి’ అని కూడా పిలుస్తారు.

* జ్యామితిని మొదటిసారిగా ప్రాచీన ఈజిప్షియన్లు అధ్యయనం చేశారు. వీరు ప్రధానంగా త్రిభుజం, దీర్ఘచతురస్రం, సమతల పట వైశాల్యానికి సంబంధించిన సమస్యలను పరిష్కరించేవారు. తర్వాతి కాలంలో బాబిలోనియన్లు విభిన్న జ్యామితీయ పటాల వైశాల్యానికి సూత్రాలను కనుక్కున్నారు.

రేఖాగణిత అభివృద్ధి క్రమం

అనిర్వచిత పదాలు (Undefined terms):

ఎలాంటి నిర్వచనం అవసరంలేని ప్రాథమిక జ్యామితీయ భావనలను ‘అనిర్వచిత పదాలు’ అంటారు. ఉదా: బిందువు, సరళరేఖ, తలం మొదలైనవి 

నిర్వచిత పదాలు (Defined terms): 

అనిర్వచిత పదాల సహాయంతో నిర్వచితమైన పదాలను ‘నిర్వచిత పదాలు’ అంటారు. ఉదా: రేఖాఖండం, కోణం, త్రిభుజం, చతుర్భుజం మొదలైనవి. 

స్వీకృతాలు (Axioms):

ఎలాంటి నిరూపణ అవసరం లేని స్వతఃసిద్ధ సత్యాలను ‘స్వీకృతాలు’ అంటారు. ఉదా: ఒక బిందువు నుంచి మరొక బిందువుకు ఒకే ఒక సరళరేఖ గీయగలం. 

* రేఖాగణిత నిర్మాణానికి పునాది రాళ్లలాంటివి - స్వీకృతాలు

* యూక్లిడియన్‌ రేఖాగణితానికి మూలస్తంభాలు - స్వీకృతాలు

సిద్ధాంతాలు (Theorems):

అనిర్వచిత పదాలు, నిర్వచిత పదాలు, స్వీకృతాల సహాయంతో ఏర్పరిచిన నూతన సంబంధాలను ‘సిద్ధాంతాలు’ అంటారు. ఉదా: పైథాగరస్‌ సిద్ధాంతం, థేల్స్‌ సిద్ధాంతం

* ఒక సిద్ధాంతాన్ని తార్కిక సోపానాల క్రమంలో నిరూపిస్తారు.

బిందువు: ఏదైనా ఒక స్థానం ఉనికిని గురించి తెలిపే ప్రాథమిక జ్యామితీయ భావనను ‘బిందువు’ అంటారు. 

* చైనాలోని మోహి (మోజి) తత్వవేత్తలు ‘ఒక రేఖను విభజించుకుంటూ వెళ్తే చివరగా మిగిలిన అవిభాజ్య భాగాన్ని బిందువు’గా పేర్కొన్నారు.

* రెండు రేఖలు ఖండించుకునే చోటును ‘బిందువు’ అంటారు. 

* బిందువుకు పొడవు, వెడల్పు, మందం ఉండవు. 

* బిందువులను ఆంగ్ల అక్షర క్రమంలోని పెద్ద అక్షరాలతో (A, B, C ...)  సూచిస్తారు. 

* బిందువు అంటే ఎలాంటి భాగాలు లేనిది. 

రేఖా ఖండం (Line Segment) 

* రెండు బిందువులను కనిష్ఠంగా రుజుమార్గంలో కలపడం వల్ల రేఖా ఖండం ఏర్పడుతుంది. ఇది నిర్దిష్టమైన పొడవును కలిగి ఉంటుంది. దీని పొడవును కొలవవచ్చు.

రేఖాఖండాన్ని  లేదా

 తో సూచిస్తారు 

* రేఖా ఖండం అనంత బిందువుల సముదాయం 

* రేఖా ఖండం రెండు అంత్య బిందువులతో ఉంటుంది. దీని పొడవును కొలవడానికి వాడే పరికరం: స్కేలు

* రెండు రేఖా ఖండాలను పోల్చడంలో ఉపయోగించే పద్ధతులు: పరిశీలన, ట్రేసింగ్‌ పద్ధతి  

* రేఖా ఖండాలను పోల్చడానికి ఉపయోగించే జ్యామితీయ పరికరాలు - స్కేలు, విభాగిని. 

* రేఖా ఖండాలను పోల్చడానికి ఉపయోగించే మేలైన జ్యామితీయ పరికరం - విభాగిని 

* రేఖా ఖండాలను స్కేలుతో పోల్చినప్పుడు తలెత్తే దోషం  - పారలాక్స్‌ దోషం.

* రేఖా ఖండాలను నిర్మించడంలో అవసరమయ్యే జ్యామితీయ పరికరాలు - స్కేలు, వృత్తలేఖిని. 

* సరేఖీయాలు కాని "n" బిందువుల గుండా గీయదగిన గరిష్ఠ రేఖాఖండాల సంఖ్య 

* సరేఖీయాలైన n బిందువుల ద్వారా గీయగల రేఖల సంఖ్య: 1 

* ఒకే రేఖపై ఉన్న బిందువులను ‘సరేఖీయాలు’ అంటారు. 

ఉదాహరణలు

* సరేఖీయాలు కాని 5 బిందువుల గుండా గీయగల రేఖాఖండాల సంఖ్య ఎంత? 

* సరేఖీయాలు కాని 7 బిందువుల ద్వారా గీయగల రేఖా ఖండాల సంఖ్య 

* సరేఖీయాలైన 17 బిందువుల ద్వారా గీయగల రేఖల సంఖ్య: 1   

గమనిక: n బిందువుల్లో ్ఝ బిందువులు సరేఖీయాలు అయితే వాటి ద్వారా గీయగల రేఖ ఖండాల సంఖ్య 

* 10 బిందువుల్లో 6 బిందువులు సరేఖీయాలు అయితే వీటి ద్వారా గీయగల రేఖల సంఖ్య 

* 15 బిందువుల్లో 10 బిందువులు సరేఖీయాలు అయితే వీటి ద్వారా గీయగల రేఖల సంఖ్య 

కిరణం (Ray): రేఖా ఖండాన్ని ఒక వైపు అపరిమితంగా పొడిగిస్తే కిరణం ఏర్పడుతుంది. 

* ఒక అంత్య బిందువు కలిగిన రేఖలోని భాగం - కిరణం 

* ఇది అనంత బిందువుల సముదాయం. 

* కిరణానికి ఒకే ఒక అంత్య బిందువు ఉంటుంది. 

* నిర్దిష్టమైన పొడవును కలిగి ఉండదు. దీన్ని కొలవలేం. 

సరళరేఖ (Straight Line)

* రేఖా ఖండాన్ని రెండు వైపులా అపరిమితంగా పొడిగిస్తే సరళరేఖ ఏర్పడుతుంది. 

* సరళరేఖకు అంత్య బిందువులు ఉండవు. 

* ఇది అనంత బిందువుల సముదాయం. 

* వీటిని ఆంగ్ల అక్షర క్రమంలో చిన్న అక్షరాలతో (l, m, n ...) సూచిస్తారు. 

* ఒక రేఖను 2 వ్యతిరేక కిరణాలుగా విభజించవచ్చు.

* ఒక రేఖను అనంత రేఖా ఖండాలుగా విభజించవచ్చు. 

* రేఖా ఖండం, కిరణం సరళరేఖలోని భాగాలు.

* ఒక బిందువు గుండా పోగలిగే సరళరేఖల సంఖ్య - అనంతం.

* రెండు బిందువుల గుండా పోగలిగే సరళరేఖల సంఖ్య: 1.

* 3 సరేఖీయ బిందువుల గుండా పోగలిగిన సరళరేఖల సంఖ్య: 1.

* సరేఖీయాలు కాని n బిందువుల ద్వారా పోయే సరళరేఖల సంఖ్య:  

* రేఖ అంటే వెడల్పు లేని పొడవు.

సమతలం (Plane)

* అన్ని వైపులా అపరిమితంగా విస్తరించిన చదునైన ప్రదేశాన్ని ‘సమతలం’ అంటారు.

* ఇది అపరిమిత బిందువుల సముదాయం.

* సమతలం ఏర్పడటానికి కావాల్సిన కనీస సరళరేఖల సంఖ్య: 3.

* కే సమతలానికి చెందిన బిందువులు: సతలీయాలు.

* ఒకే తలానికి చెందిన రేఖలు: సతలీయ రేఖలు

వక్రం: పెన్సిల్‌ కొన ఎత్తకుండా గీయగలిగిన దేనినైనా సాధారణ వక్రం అంటారు. 

ఉదా: గణితపరంగా సరళరేఖ కూడా వక్రమే.

సంవృత వక్రం: పూర్తిగా మూసి ఉన్న వక్రాన్ని సంవృత వక్రం అంటారు.

వికృత వక్రం: పూర్తిగా మూసివేయని వక్రాన్ని వికృత వక్రం అంటారు.

కోణం (Angle)

  ఒకే తొలి బిందువును కలిగిన రెండు కిరణాల సమ్మేళనాన్ని కోణం అంటారు.

* ఒక కిరణం తొలి స్థానం నుంచి తుది స్థానానికి భ్రమణం చేయడం వల్ల కోణం ఏర్పడుతుంది. 

* కోణానికి ప్రమాణం - డిగ్రీ (^o).

షష్ట్యాంశమాన పద్ధతిలో కోణాన్ని ‘డిగ్రీల్లో’ కొలుస్తారు. 

* ఒక సంపూర్ణ భ్రమణంలో 360^oవ భాగాన్ని 1^o అంటారు.

* కోణాన్ని కొలిచే పరికరం: కోణమానిని.

* కోణమానినిలోని సమ విభాగాల సంఖ్య: 180^o. 

*  గడియారంలో ముల్లు తిరిగే దిశను ‘సవ్య దిశ’ అంటారు.

* గడియారంలో ముల్లు తిరిగే దిశకు వ్యతిరేక దిశను ‘అపసవ్య దిశ’ అంటారు.

* ధన కోణం: తొలి కిరణం అపసవ్య దిశలో భ్రమిస్తే ఏర్పడే కోణాన్ని ధన కోణం అంటారు.

* రుణ కోణం: తొలి కిరణం సవ్య దిశలో భ్రమిస్తే ఏర్పడే కోణాన్ని రుణ కోణం అంటారు.

అభ్యాస ప్రశ్నలు

1. రెండు పూరక కోణాల నిష్పత్తి 4 : 5 అయితే ఆ కోణాలను కనుక్కోండి. 

సాధన: రెండు కోణాలు 4x, 5x 

  ఇచ్చిన రెండు కోణాలు పూరక కోణాలు కాబట్టి 4x + 5x = 90

9x = 90

x = 10

ఆ కోణాలు 4x = 4(10) = 40^o

5x = 5(10) = 50^o

2. 73^o యొక్క పూరక కోణం ఎంత?

సాధన: కోణం = x, పూరక కోణం = 90  - x

73^o  పూరక కోణం = 90 - 73 = 17^o

3. 3x^o, (2x - 5)^o లు పూరక కోణాలైతే 'x' విలువ?

సాధన: ఇచ్చిన కోణాలు పూరక కోణాలు కాబట్టి  
3x + 2x - 5 = 90

5x = 90 + 5

5x = 95

x = 19

4. రెండు పూరక కోణాల భేదం 42^o అయితే వాటిలో పెద్ద కోణం?

సాధన: కోణం = x, పూరక కోణం = 90 - x

దత్తాంశం ప్రకారం (90 - x) - (x) = 42

90 - 2x = 42

90 - 42 = 2x

2x = 48

x = 12

పూరక కోణం = 90 - 24

= 66

పెద్ద కోణం = 66

యూక్లిడ్‌

* ఈయన ఈజిప్ట్‌లోని అలెగ్జాండ్రియాకు చెందినవారు. క్రీ.పూ. 325  265 మధ్య కాలంలో నివసించారు. టాలమీ ప్రారంభించిన అలెగ్జాండ్రియా రాజ విశ్వవిద్యాలయంలో గణితాన్ని బోధించేవారు.

* యూక్లిడ్‌ తన ముందు తరానికి చెందిన థేల్స్, పైథాగరస్, ప్లేటో తదితర ఈజిప్ట్‌ గ్రీకు గణిత మేధావులు కనిపెట్టిన విషయాలను తార్కిక పద్ధతిలో అమర్చి "The Elements" అనే గొప్ప గ్రంథాన్ని రాశాడు. ఇందులో 13 భాగాలు ఉన్నాయి. ఈ గ్రంథంలో యూక్లిడ్‌ ప్రాథమిక భావనలు, స్వీకృతాలు, ప్రతిపాదనలు, ప్రవచనాలు, సిద్ధాంతాలను ప్రస్తావించాడు. ఈయన రచించిన ఇతర గ్రంథాలు:  Data (విశ్లేషణ పద్ధతికి సంబంధించింది), స్పిరిట్‌ ఆఫ్‌ జామెట్రీ

* రేఖాగణిత పితామహుడు - యూక్లిడ్‌

కోణాల్లో రకాలు (Types Of Angles)

అల్ప కోణం (లఘు కోణం): ఒక కోణం విలువ 0^o నుంచి 90^o మధ్య విస్తరించి ఉంటే దాన్ని అల్ప కోణం అంటారు.

0^o < A < 90^o

లంబ కోణం: ఒక కోణం విలువ 90ా అయితే దాన్ని లంబ కోణం అంటారు.

A = 90^o

అధిక/గురు కోణం: ఒక కోణం విలువ 90ా, 180ా ల మధ్య విస్తరించి ఉంటే దాన్ని అధిక కోణం అంటారు.

సరళ కోణం: ఒక కోణం విలువ 180^o అయితే అది సరళ కోణం. 

1 సరళ కోణం = 180^o 

= 2 x లంబ కోణం

పరావర్తన కోణం (Reflex Angle): ఒక కోణం విలువ 180ా నుంచి 360ా ల మధ్య విస్తరించి ఉంటే అది ‘పరావర్తన కోణం’ అవుతుంది.

సంపూర్ణ కోణం (Complete Angle): ఒక కోణం విలువ 360ా లకు సమానమైతే అది ‘సంపూర్ణ కోణం’. 

1 సంపూర్ణ కోణం = 360^o

= 2 x సరళ కోణం = 4 x లంబకోణం

శూన్య కోణం (Zero Angle): ఒక కోణం విలువ 0ాగా ఉంటే అది ‘శూన్య కోణం’.

ఉదా: రెండు సమాంతర రేఖల మధ్య కోణం.

రెండు ఏకీభవించే రేఖల మధ్య కోణం.

ఆసన్న కోణం (Adjacent Angle): ఒక సమతలంలో ఉండే కోణాలకు ఒకే ఉమ్మడి శీర్షం, ఒకే ఉమ్మడి భుజం ఉంటే వాటిని ‘ఆసన్న కోణాలు’ అంటారు.

పూరక కోణాలు  (Complementary Angles):

రెండు కోణాల మొత్తం 90ా అయితే ఆ రెండు కోణాలు ఒకదానికొకటి ‘పూరక  కోణాలు’ అవుతాయి.

* పూరక కోణాల్లో ప్రతి కోణం అల్పకోణం కావాలి.

A, B లు పూరక కోణాలు అయితే

సంపూరక కోణాలు (Supplementary Angles):

 రెండు కోణాల మొత్తం 180^o అయితే ఆ రెండు కోణాలు ఒకదానికొకటి ‘సంపూరక కోణాలు’ అవుతాయి.

A, B లు సంపూరక కోణాలు అయితే

సంయుగ్మ కోణాలు (Conjugate Angles):

రెండు కోణాల మొత్తం 360ా అయితే ఆ రెండు కోణాలు ఒకదానికొకటి ‘సంయుగ్మ కోణాలు’ అవుతాయి.

A, B లు సంయుగ్మ కోణాలు అయితే

​​​​​​​