• facebook
  • whatsapp
  • telegram

క్షేత్రగణితం

1. చతురస్రాకార భూమి ఉన్న పిరమిడ్ ఎత్తు 12 సెం.మీ. దాని ఘనపరిమాణం 400 ఘ.సెం.మీ. అయితే పిరమిడ్ పక్కతల వైశాల్యం ఎంత?  

జ:   260 చ.సెం.మీ. 

వివరణ:  దత్తాంశం నుంచి,

OP = పిరమిడ్ఎత్తు = 12 సెం.మీ.

PA = 1/2 పిరమిడ్ భూభుజం

    =   సెం.మీ.

పిరమిడ్ ఘ.ప. =   భూ వైశాల్యం × ఎత్తు     

               =  × a2 × 12 = 400
∴ 4a2 = 400

   a2 = 100

∴  a = 10

∴  Δ OPA లంబకోణ త్రిభుజం నుంచి

OA2 = OP2+ AP2 = 122 +  

                   = 144 + 25

                   = 169

∴  OA = 13

పిరమిడ్ పక్కతల వైశాల్యం = 1/2 × భూమి చుట్టుకొలత × ఏటవాలు ఎత్తు

                          = 1/2 × 4a × 13

                         = 2 × 10 × 13

                         = 260 సెం.మీ2

2. భూ భుజాలు 3 : 2 నిష్పత్తిలో ఉన్న దీర్ఘఘన చతురస్రాకార పట్టకం ఎత్తు 12 సెం.మీ. దాని పక్కతలానికి రంగు వేయడానికి చదరపు సెంటీమీటరుకు 5 పైసల వంతున రూ. 90 ఖర్చవుతుంది. అయితే దాని ఘనఫలం  ఎంత?
జ: 16,200 సెం.మీ.3
వివరణ: దీర్ఘఘన చతురస్రాకార పట్టకానికి భూ భుజాలు l = 3x, b = 2x (సెం.మీ.)
పక్కతల వైశాల్యం =  
                 =    
                 = 1800 చ.సెం.మీ. 
 2h(l + b) = 1800
 2 × 12 (3x + 2x) = 1800 
 120 x = 1800 
∴ x = 15 
దీర్ఘఘన చతురస్రాకార పట్టకం ఘ.ప. = lbh
                                   = 3x × 2x × 12 
                                   = 45 × 30× 12
                                   = 16,200 సెం.మీ.3

3. ఒక దీర్ఘ చతురస్రాకార చెరువు పొడవు 100 మీ., వెడల్పు 80 మీ. దానిలోకి 1 చ.మీ. వైశాల్యం ఉన్న తూము ద్వారా నీరు నిమిషానికి 40 మీ. వేగంతో ప్రవహిస్తే ఆ చెరువులోకి 1.5 మీ. లోతు వరకు నీరు రావడానికి ఎంత కాలం పడుతుంది?
జ:  5 గంటలు
వివరణ: చెరువును  l = 100 మీ., b = 80 మీ., h = 1.5 మీ. కొలతలున్న పట్టకంగా ఊహిస్తే
     చెరువు ఘ.ప. = l × b × h = 100× 80 × 1.5 
                                = 80 × 150 మీ3
నిమిషంలో ఒక చదరపుమీటరు వైశాల్యం ఉన్న తూము ద్వారా చెరువులోకి ప్రవహించే నీటి ఘన పరిమాణం = తూము ముఖ వైశాల్యం × ప్రవాహ వేగం
                                                                                                 = 1 × 40 = 40 మీ3
1.5 మీ. లోతువరకు చెరువు నిండటానికి పట్టే కాలం = చెరువు ఘనపరిమాణం ÷ తూము ద్వారా ప్రవహించే నీటి ఘ.ప. =  
                     = 300 నిమిషాలు లేదా 5 గంటలు.

4. త్రిభుజాకార పట్టకం భూ భుజాలు 12 సెం.మీ., 16 సెం.మీ., 20 సెం.మీ. దాని ఎత్తు 15 సెం.మీ. అయితే దాని ఘనఫలం ఎంత?
జ:  1440 ఘనపు సెం.మీ. 
వివరణ:  త్రిభుజాకార పట్టకంలో
AB = 12, AC = 16, BC = 20 అనుకుంటే,                                                             
122 + 162 = 202 
i.e., AB2 + AC2 = BC2 
కాబట్టి,  ΔABC లంబకోణ త్రిభుజం అవుతుంది.     

పట్టకం భూ వైశాల్యం = 1/2 AB × AC       

                    = 1/2 × 12 × 16
                    = 96 సెం.మీ2
త్రిభుజాకార పట్టకం ఘ.ప. =  భూవైశాల్యం × ఎత్తు
                         = 96 × 15 
                         = 1440 సెం.మీ3

5. రెండు స్తూపాల పక్కతల వైశాల్యాలు సమానం. అయితే వాటి ఘనపరిమాణాల నిష్పత్తి దేనికి సమానం?
జ:  వ్యాసార్ధాల నిష్పత్తికి
వివరణ:  దత్తాంశం నుంచి  

6. రెండు శంకువుల భూ వ్యాసార్ధాలు సమానం. అయితే వాటి ఘనపరిమాణాల నిష్పత్తి దేనికి సమానం?
జ:  వాటి ఎత్తుల నిష్పత్తికి
వివరణ:  దత్తాంశం నుంచి r1 = r2

7. రెండు శంకువుల పక్కతల వైశాల్యాలు సమానమైతే, వాటి వ్యాసార్ధాలు, ఏటవాలు ఎత్తుల మధ్య సంబంధాన్నితెలపండి? 
జ:  వ్యాసార్ధాలు, ఏటవాలు ఎత్తులు  విలోమానుపాతంలో ఉంటాయి.
వివరణ: దత్తాంశం నుంచి,  

i.e. వ్యాసార్ధాలు, ఏటవాలు ఎత్తులు విలోమానుపాతంలో ఉంటాయి.   
 

8. శంకాకార పాత్ర ఏటవాలు ఎత్తు 28 మీ. పాత్ర పక్కతలానికి రంగు వేయడానికి ఒక చదరపు సెంటీమీటరుకు రూ.5 చొప్పున రూ.3520 ఖర్చయితే దాని దాని నిలువుటెత్తు ఎంత?
జ:   సెం.మీ.
వివరణ:  శంకాకార పాత్ర పక్కతల వైశాల్యం 

శంకువుకు l2 = r2+ h2  కాబట్టి
             282 = 82 + h2 i.e., h2 = 784 - 64 = 720
 ∴ h =  సెం.మీ.

9. 7 సెం.మీ. వ్యాసం ఉన్న స్తూపాకార జాడీలో కొంతభాగం నీరుంది. 0.5 వ్యాసం ఉన్న 294 సీసం గుళ్లను ఒక్కోటిగా ఆ జాడీలో వేస్తే అందులోని నీటి మట్టం ఎంత పెరుగుతుంది? 
జ:  0.5 సెం.మీ.
వివరణ: 7 సెం.మీ. వ్యాసంతో ఉన్న స్తూపాకార జాడీలో సీసపు గుళ్లను జారవిడిచిన తర్వాత పెరిగిన నీటి మట్టం = h సెం.మీ. అనుకుందాం.     
సీసపు గుండు వ్యాసార్ధం =   సెం.మీ.
ఒక్కొక్క సీసపు  గుండు ఘనపరిమాణం =  
                                     =   సెం.మీ.3

294 సీసపు గుళ్ల ఘనపరిమాణం =  సెం.మీ.3
పెరిగిన నీటి ఘ.ప. =  
                              సెం.మీ.3
ఆర్కిమెడిస్ సూత్రం నుంచి, సీసపు గుండ్లు తొలగించిన ద్రవ ఘనపరిమాణం = సీసపు గుండ్లు ఘ.ప.
                                            
            
                         h = 0.5 సెం.మీ.
 

10. 4 సెం.మీ. వ్యాసం ఉన్న స్తూపాకార జాడీని కొంతవరకు నీటితో నింపారు. అందులో ఒకే పరిమాణం ఉన్న 300 గోళాకార సీసం గుళ్లను వేస్తే, జాడీలోని నీటిమట్టం 0.8 సెం.మీ పెరిగింది. అయితే ఒక్కో గుండు వ్యాసార్ధం  ఎంత? 
జ:  0.2 సెం.మీ.

వివరణ: దత్తాంశం నుంచి స్తూపం వ్యాసం = 4 సెం.మీ., 

వ్యాసార్ధం = 2 సెం.మీ.
ఒకే ఆకారంలో ఉన్న 300 గోళాకారపు సీసపు గుండ్లను ఈ స్తూపంలో వేసినప్పుడు పెరిగిన నీటిమట్టం = 0.8 సెం.మీ.
సీసపు గుండు వ్యాసార్ధం = r సెం.మీ. అనుకుందాం.
ఆర్కిమెడిస్ సూత్రం నుంచి స్తూపాకార పాత్రలో గుండ్ల వల్ల తొలగిపోయిన నీటి ఘనపరిమాణం = 300 సీసపు గుండ్ల ఘ.ప.
                     × 2 × 2 × 0.8 = 300 ×   ×    × r3
                           100r3 = 0.8  లేదా   
                            సెం.మీ.

11. ఒక లోహ దీర్ఘఘనం కొలతలు 49 సెం.మీ. × 16 సెం.మీ. × 11 సెం.మీ. దాన్ని కరిగించి 42 సెం.మీ. ఎత్తున్న శంకాకార పాత్రను తయారు చేస్తే, దాని ఏటవాలు ఎత్తు ఎంత? 
జ:    సెం.మీ.
వివరణ:   దీర్ఘఘనం ఘనపరిమాణం = 49 × 16 × 11 ఘనపు సెం.మీ.
             శంకాకార పాత్ర ఎత్తు = 42 సెం.మీ.

ఈ పాత్ర ఘ.ప.
                           
            = 44 r2 సెం.మీ.3
ద్రవ్యాన్ని క‌రిగించిన‌పుడు అది నాశ‌నం చెంద‌దు, దాన్ని సృష్టించ‌లేం.
                       44 r2 = 49 × 16 × 11 
                  r2 = 49 × 16 ×    = 49 × 4 
                     r = 14 సెం.మీ.
శంకువుకు l2 = r2 + h2 = 142 + 422 = 1960
l =   సెం.మీ. 

12. 25 మీ. పొడవున్న దూలం మధ్యచ్ఛేదం 2.8 మీ. భుజం ఉన్న చతురస్రం. దాని నుంచి తయారయ్యే గరిష్ఠ స్తూప ఘనపరిమాణం ఎంత? 
జ:  154 ఘ.మీ
వివరణ:  గరిష్ఠ స్తూపం భూ వ్యాసం = చతురస్ర భుజం = 2.8 మీ.
గరిష్ఠ స్తూపం భూ వ్యాసార్ధం = 1.4 మీ.
గరిష్ఠ స్తూపం ఎత్తు = 25 మీ.
గరిష్ఠ స్తూపం ఘనపరిమాణం =   
                         =  × 1.4 × 1.4 × 25 
                           = 154 మీ.3

Posted Date : 18-12-2021

గమనిక : ప్రతిభ.ఈనాడు.నెట్‌లో కనిపించే వ్యాపార ప్రకటనలు వివిధ దేశాల్లోని వ్యాపారులు, సంస్థల నుంచి వస్తాయి. మరి కొన్ని ప్రకటనలు పాఠకుల అభిరుచి మేరకు కృత్రిమ మేధస్సు సాంకేతికత సాయంతో ప్రదర్శితమవుతుంటాయి. ఆ ప్రకటనల్లోని ఉత్పత్తులను లేదా సేవలను పాఠకులు స్వయంగా విచారించుకొని, జాగ్రత్తగా పరిశీలించి కొనుక్కోవాలి లేదా వినియోగించుకోవాలి. వాటి నాణ్యత లేదా లోపాలతో ఈనాడు యాజమాన్యానికి ఎలాంటి సంబంధం లేదు. ఈ విషయంలో ఉత్తర ప్రత్యుత్తరాలకు, ఈ-మెయిల్స్ కి, ఇంకా ఇతర రూపాల్లో సమాచార మార్పిడికి తావు లేదు. ఫిర్యాదులు స్వీకరించడం కుదరదు. పాఠకులు గమనించి, సహకరించాలని మనవి.

 

పేపర్ - II

పాత ప్రశ్నప‌త్రాలు

 

విద్యా ఉద్యోగ సమాచారం

 

నమూనా ప్రశ్నపత్రాలు

 

లేటెస్ట్ నోటిఫికేష‌న్స్‌