కొల‌త‌లు, ప్ర‌మాణాలు, మితులు

* కొలత అంటే తెలియని పరిమాణాన్ని తెలిసిన ప్రామాణిక ప్రమాణంతో పోల్చడం అని అర్థం.
     భౌతికరాసి పరిమాణం = సంఖ్యాత్మక × విలువ ప్రమాణం
* మనం ఉపయోగించే ప్రమాణానికి తగు పరిమాణం ఉండాలి, కచ్చితంగా నిర్వచించాలి. అలాగే అది పునరుత్పాదనకు వీలుగా, మార్చడానికి వీలు లేకుండా ఉండాలి.
* భౌతికశాస్త్రం విజ్ఞానశాస్త్రంలో ఒక ముఖ్యమైన విభాగం. భౌతిక శాస్త్రం భౌతిక ప్రకృతి (Physical Nature), విశ్వం (Universe) గురించి వర్ణిస్తుంది. కాబట్టి కొలతలు అతి ముఖ్యమైన పాత్ర నిర్వహిస్తాయి. ఏదైనా వస్తువు లేదా దృగ్విషయాన్ని వర్ణించడానికి కావాల్సిన భౌతిక రాశులను ఎంచుకోవాలి. తర్వాత వాటిని వివరించడానికి తగు ప్రమాణాలను ఎంచుకోవాలి. భౌతిక రాశులను కచ్చితంగా కొలవడానికి సున్నితమైన పరికరాలు కావాలి.
* కొలవాలనుకునే భౌతికరాశిని నిర్దిష్టమైన, అనియతంగా ఎంచుకున్న, అంతర్జాతీయంగా ఆమోదం పొందిన ఒక ప్రామాణిక విలువతో పోల్చుతారు. ఈ ప్రామాణిక విలువనే ప్రమాణం (unit) అంటారు.
* ఈ ప్రకృతిని అర్థం చేసుకోవాలన్నా, శాస్త్రీయ విషయాలు తెలుసుకోవాలన్నా మూడు మూల రాశుల కొలతలు అవసరమవుతాయి. పొడవు, ద్రవ్యరాశి, కాలం అనే వాటిని మూలరాశులు అంటారు. ఎందువల్లనంటే ఇవి ఒకదానిపై ఒకటి ఆధారపడవు. వీటిని ఇంకా మరింత సూక్ష్మరాశులతో వివరించలేం. వైశాల్యం, ఘనపరిమాణం, సాంద్రత, వేగం లాంటి వాటిని ఉత్పన్న రాశులు అంటాం. వీటిని మూలరాశుల సహాయంతో వివరించగలం.
ఉదా: వైశాల్యం = పొడవు × వెడల్పు
ఘనపరిమాణం = పొడవు × వెడల్పు × ఎత్తు
* మూలరాశుల ప్రమాణాలను 'మూల ప్రమాణాలు' అంటారు. ఉత్పన్న రాశుల ప్రమాణాలను 'ఉత్పన్న ప్రమాణాలు' అంటారు. ఉత్పన్న ప్రమాణాలను మూల ప్రమాణాల నుంచి ఉత్పాదించవచ్చు. మూల, ఉత్పన్న ప్రమాణాల సంపూర్ణ సమితినే ప్రమాణాల వ్యవస్థ అంటారు.
* ప్రస్తుతం మూడు పద్ధతుల ప్రమాణాలు వాడుకలో ఉన్నాయి.
అవి: 1) సి.జి.యస్. పద్ధతి (C.G.S. System)
         2) యం.కె.యస్. పద్ధతి (M.K.S. System)
         3) బ్రిటిష్ పద్ధతి (F.P.S. System)
* ఈ పద్ధతుల్లో పొడవు, ద్రవ్యరాశి, కాలం ఆధార (మూల) ప్రమాణాలు కింది విధంగా ఉన్నాయి.
* C.G.S. పద్ధతిలో వరుసగా సెంటీమీటర్, గ్రాము, సెకను.
* F.P.S. పద్ధతిలో వరుసగా అడుగు, పౌండు, సెకను.
* M.K.S. పద్ధతిలో వరుసగా మీటర్, కిలోగ్రాము, సెకను.
* ప్రస్తుతం అంతర్జాతీయంగా ఆమోదించిన ప్రమాణాల వ్యవస్థను సంక్షిప్తంగా SI పద్ధతి అని పిలుస్తారు. దీన్ని ఫ్రెంచి భాషలో System Internationals d' unites అంటారు. ఈ SI పద్ధతిలో సంకేత రూపాలు, ప్రమాణాలు, సంక్షిప్త రూపాలకు ఒక ప్రామాణిక విధానం ఉంది. దీన్ని వైజ్ఞానిక, సాంకేతిక, పారిశ్రామిక, వ్యాపార ప్రయోజనాల కోసం అంతర్జాతీయంగా వాడటానికి బరువులు, కొలతలపై 1971లో జరిగిన సాధారణ సదస్సులో ఈ విధానాన్ని వృద్ధిపరిచి సిఫారసు చేశారు. ఈ SI ప్రమాణాలు దశాంశ పద్ధతిని ఉపయోగిస్తాయి. కాబట్టి ఈ వ్యవస్థలో అంతర్గతంగా చేయగలిగే పరివర్తనలు సరళంగా, సౌకర్యంగా ఉంటాయి.
* SI పద్ధతిలో ప్రాథమిక రాశులు, ప్రమాణాలు

* సాధారణ వాడుకలో ఇప్పటికీ ఉన్న కొన్ని ప్రమాణాలు (SI పద్ధతిలో వాడనివి)

కాల ప్రమాణం: కాలానికి ప్రమాణం అన్ని పద్ధతుల్లోనూ సెకనుగా తీసుకున్నారు. సెకనును మాధ్యమిక సౌర దినంలో 86,400వ వంతుగా నిర్వచించారు. సౌర దినం అంటే రెండు వరుస మిట్ట మధ్యాహ్నాల మధ్య కాలం. మాధ్యమిక సౌర దినం అంటే ఒక సంవత్సరంలోని సౌర దినాల సగటు విలువ. ఇంకా కచ్చితంగా నిర్వచించాలంటే సీజియం - 133 పరమాణువు 9,192,631,770 కంపనాలు చేయడానికి పట్టే కాలాన్ని సెకను అంటారు.

పొడవును కొలవడం:
* ఒక బల్ల పొడవు, గది పొడవు కొలవాలంటే మీటరు స్కేలు ఉపయోగిస్తాం. ఆటస్థలం పొడవు కొలవాలంటే టేపును ఉపయోగిస్తాం. అదేవిధంగా గాజు పలక మందం, కాగితం మందం, తీగ మందం లాంటి వాటిని కొలవాలంటే సునిశితమైన (కచ్చితమైన) సాధనాలు కావాలి. వెర్నియర్ కాలిపర్స్, స్క్రూగేజి వీటికి ఉదాహరణలు.
* 10^-3 m నుంచి 10² m వరకు ఉండే పొడవులకు మీటరు స్కేలు ఉపయోగిస్తారు. వెర్నియర్ కాలిపర్స్ ఉపయోగించి పొడవులను 10^-4 m యధార్థత వరకు కొలవవచ్చు. ఒక స్క్రూగేజి లేదా స్పెరోమీటర్ సహాయంతో 10^-5 m లాంటి అతి తక్కువ పొడవులను కొలవవచ్చు.

* భూమి నుంచి గ్రహం లేదా నక్షత్రం వరకు ఉండే సుదూర దూరాలను నేరుగా మీటరు స్కేలుతో కొలవలేం. ఇలాంటి సందర్భాల్లో ఉపయోగించే ముఖ్యమైన పద్ధతి 'దృష్టి విక్షేప పద్ధతి' (Parallax Method). నీకు ఎదురుగా ఉన్న (గోడ లాంటి) నేపథ్యంపై ఉండే ఏదో ఒక నిర్దిష్ట బిందువు పరంగా నీవు ఒక పెన్సిల్‌ను పట్టుకుని మొదట కుడి కన్నును మూసి నీ ఎడమ కన్ను B తో, ఎడమ కన్నును మూసి కుడి కన్ను Aతో పెన్సిల్‌ను చూస్తే దాని స్థానం గోడపై ఎంచుకున్న బిందువు దృష్ట్యా మారుతున్నట్లు గమనిస్తాం. దీన్నే దృష్టి విక్షేపం అంటారు. పరిశీలించే రెండు బిందువుల మధ్య దూరాన్ని ప్రాతిపదిక (basis) అంటారు.
* ఒక గ్రహం S, దాని దూరం Dని దృష్టి విక్షేప పద్ధతి ద్వారా కొలవడానికి భూమిపై తీసుకున్న రెండు భిన్న స్థానాలు (అబ్జర్వేటరీలు) A, B నుంచి ఏక కాలంలో గ్రహాన్ని పరిశీలిస్తారు.
* A, B మధ్య దూరం AB = b. గ్రహాన్ని చూసిన రెండు దిశల మధ్య కోణం θ. పటంలో చూపినట్లు ASB అంటే θ ను దృష్టి విక్షేప కోణం లేదా పారలాక్టిక్ కోణం అంటారు. గ్రహం చాలా దూరంలో ఉంటుంది కాబట్టి <<1 అవుతుంది. దీని ప్రకారం θ అత్యల్పం. అప్పుడు AB (b)ని S కేంద్రంగా ఉండే వృత్త చాపం పొడవుగా, దూరం D ని దాని వ్యాసార్ధంగా (ఉజ్జాయింపుగా) తీసుకోవచ్చు. కాబట్టి
AS = BS అయితే
AB = b = D θ (θ రేడియన్లలో)

* D ని కనుక్కున్న తర్వాత ఇదే పద్ధతిలో మనం గ్రహం పరిమాణం లేదా కోణీయ వ్యాసాన్ని కనుకోవచ్చు. d గ్రహం వ్యాసం,  గ్రహం కోణీయ పరిమాణం (భూమిపై d చేసే కోణం) అయితే
 = 
కోణం  ను భూమిపై అదే స్థానం నుంచి కొలవవచ్చు. దూరదర్శిని ద్వారా గ్రహం వ్యాసం రెండు వ్యతిరేక చివరలను రెండు దిశల్లో చూసినప్పుడు ఆ రెండు దిశల మధ్య కోణం  కు సమానం. D విలువ తెలుసు కాబట్టి 

పరికరం కనీసపు కొలత (Least Count): ఏదైనా ఒక పరికరం సునిశితత్వం లేదా సున్నితత్వం దాని కనీస కొలతపై ఆధారపడి ఉంటుంది. ఒక పరికరంతో కచ్చితంగా కొలవగలిగిన అతి తక్కువ కొలతను దాని కనీసపు కొలత అంటారు.
  ఉదాహరణకు సాధారణ మీటరు స్కేలుతో దాని అతి చిన్న విభాగమైన ఒక మిల్లీమీటరు వరకు కచ్చితంగా వస్తువుల పొడవు కొలవగలం. కాబట్టి దాని కనీసపు కొలత ఒక మిల్లీమీటరు. అదేవిధంగా మన చేతి గడియారంతో లేదా టేబుల్ గడియారంతో కాలాన్ని ఒక సెకను వరకూ కచ్చితంగా కొలవగలం. కాబట్టి వాటి కనీసపు కొలత ఒక సెకను.
 

వెర్నియర్ కాలిపర్సు:
 ఇది వస్తువుల పొడవును అతి కచ్చితంగా కొలవడానికి ఉపయోగించే సున్నితమైన పరికరం. దీనిలో 1) ప్రధాన స్కేలు 2) వెర్నియర్ స్కేలు అనే రెండు స్కేళ్లు ఉంటాయి. ఈ పరికరాన్ని పాల్ వెర్నియర్ అనే శాస్త్రవేత్త 1630లో నిర్మించాడు.

                                 
* ప్రధాన స్కేలు, వెర్నియర్ స్కేలు కలసి ఉండే యాంత్రిక వ్యవస్థను వెర్నియర్ కాలిపర్స్ అంటారు. దీనిలోని ప్రధాన స్కేలులో ప్రతి సెంటీమీటరును 10 సమ విభాగాలుగా విభజిస్తారు. అందువల్ల ప్రతి ఒక చిన్న విభాగం  సెం.మీ. లేదా 1 మి.మీ.కు సమానం కాబట్టి ఒక ప్రధాన స్కేలు (Main Scale Division) లేదా (ప్ర.స్కే.వి.)
1 MSD = 1 mm.
వెర్నియర్ స్కేలులో 9 మి.మీ. పొడవును పది సమ విభాగాలుగా చేస్తారు. కాబట్టి ప్రతి విభాగపు విలువ  మి.మీ.కు సమానం.
1 వెర్నియరు స్కేలు విభాగం లేదా వె.స్కే.వి. = 1 VSD =  మి.మీ.
* N వెర్నియర్ స్కేలు విభాగాలను (V.S.D.), (N − 1) ప్రధాన స్కేలు విభాగాలకు (M.S.D.) సమానం చేయడమే వెర్నియర్ సూత్రం.
N వెర్నియర్ స్కేలు విభాగాలు (V.S.D.) = (N − 1) ప్రధాన స్కేలు విభాగాలు (M.S.D.)
1 ప్రధాన స్కేలు విభాగాన్ని S గానూ, 1 వెర్నియర్ స్కేలు విభాగాన్ని V గానూ అనుకుంటే
(N − 1)S = NV
NS − S = NV
NS − NV = S
N(S − V) = S

* ప్రధాన స్కేలుకు కలిపిన వెర్నియర్ స్కేలును ఉపయోగించి కొలవగలిగే అతి తక్కువ కొలతను 'వెర్నియర్ కనీసపు కొలత' (L.C.) అంటారు.
a) కనీసపు కొలత (L.C.) = 1 ప్ర.స్కే.వి. 1 వె.స్కే.వి.
L.C. = 1 MSD − 1 VSD
L.C. = 1 మి.మీ. - మి.మీ = 0.1 మి.మీ. (లేదా) 0.01 సెం.మీ.

* వస్తువు పొడవు = ప్రధాన స్కేలు రీడింగు + (ఏకీభవించే వెర్నియర్ స్కేలు విభాగం × కనీసపు కొలత)
                            = MSR + (VSR × LC)
* వెర్నియర్ కాలిపర్స్‌లో 2 సెం.మీ. వెడల్పు గల ఒక పొడవాటి లోహపు బద్ద ఉంటుంది. ఈ లోహపు బద్ద ఒక చివరకు ఒక దవడ (J₁) బిగించి ఉంటుంది. 1 మి.మీ. వరకు క్రమాంతం చేసిన ఒక స్కేలు సెంటీమీటర్లలో గుర్తించి ఉంటుంది. దీన్నే ప్రధాన స్కేలు అంటారు. చివర ఉన్న దవడను స్థిర దవడ అంటారు. ఒక లోహపు చట్రం 'V' స్థిర దవడలు బిగించిన ప్రధాన స్కేలు మీద జారుతూ ఉంటుంది. ఈ లోహ చట్రం 'V' మరో కదిలే దవడను కలిగి ఉంటుంది. దీన్ని కదిలే దవడ J₂ అంటారు. లోహ చట్రం (V) అడుగుభాగం మీద తగిన కొలతలు చెక్కి ఉంటాయి. సాధారణంగా ఈ కొలతలు 10 సమాన భాగాలుగా ఉంటాయి. ఇది వెర్నియర్ స్కేలు అవుతుంది. ప్రధాన స్కేలు మీద కావాల్సిన స్థానం వద్ద వెర్నియర్ స్కేలును బిగించడానికి వీలుగా ఒక బటన్ 'P' స్ప్రింగ్ సాయంతో అమర్చి ఉంటుంది.

ఈ పరికరం మరో రెండు పొట్టి దవడలు J₃, J₄లు ప్రధాన స్కేలు, వెర్నియర్ స్కేళ్లకు వరుసగా బిగించి ఉంటాయి. వీటిని (J₃, J₄) లోపల (అంతర) దవడలు అంటారు. పొడుగు దవడలను (J₁, J₂) బాహ్య దవడలు అంటారు. J₃ దవడను స్థిర దవడ, J₄ దవడను కదిలే దవడ అంటారు.
                    
అంతర దవడలు (J₃, J₄)లను ఉపయోగించి బోలుగా ఉండే గొట్టాలు, పరీక్షనాళిక లాంటి లోపలి వ్యాసాలను కొలవవచ్చు.

* బాహ్య దవడలు (J₁, J₂) ఉపయోగించి దవడల సాయంతో వస్తువులను గట్టిగా బిగించి పట్టుకుని, వాటి పొడవులను కొలుస్తారు.
* ఇదే కాకుండా ఒక పొడవాటి లోహపు బద్ద S₁ ఒకటి వెర్నియర్ స్కేలు వెనుక భాగాన బిగించి ఉంటుంది. దీని సాయంతో పరీక్షనాళికల లాంటి వాటి లోతులను కూడా కొలవవచ్చు.
 

వెర్నియర్ కాలిపర్స్‌తో స్థూపం పొడవును నిర్ణయించడం:
* వస్తువు కొలతలను కొలిచే ముందు వెర్నియర్ కాలిపర్స్ కనీస కొలతను నిర్ధారించాలి. తర్వాత ప్రధాన స్కేలు, వెర్నియర్ స్కేలులో ఉన్న శూన్య విభాగాలు ఏకీభవిస్తున్నాయని నిర్ధారించుకోవాలి. కదిలే దవడను జరుపుతూ స్థూపాన్ని రెండు దవడల మధ్య స్థిరంగా ఉండేలా నొక్కిపట్టి ఉంచాలి. 'P' ను ఉపయోగించి స్థూపం కదలకుండా చేయాలి.
* వెర్నియర్ శూన్య విభాగం స్థానాన్ని ప్రధాన స్కేలు మీద గుర్తించాలి. వెర్నియర్ శూన్య విభాగం ముందున్న రీడింగునే ప్రధాన స్కేలు రీడింగు (M.S.R.) అంటారు. అంటే ప్రధాన స్కేలు రీడింగును గుర్తించడానికి వెర్నియర్ శూన్య విభాగం సూచికగా పనిచేస్తుంది.
* తర్వాత ప్రధాన స్కేలులోని ఏదైనా ఒక విభాగంలో ఏకీభవిస్తున్న వెర్నియర్ విభాగాన్ని గుర్తించాలి. అది ఎన్నో విభాగమో లెక్కించాలి. దీన్నే ఏకీభవించే వెర్నియర్ విభాగం (V.C.D.) అంటారు.
* స్థూపం పొడవు = ప్ర.స్కే.రీ. + (ఏ.వె.వి. ×  క.కొ.)
                           = [M.S.R. + (V.C.D. × L.C.)]
 

వెర్నియర్ కాలిపర్స్ స్థూపం వ్యాసాన్ని నిర్ణయించడం:
    స్థూపం వ్యాసాన్ని కూడా ఇదేవిధంగా కచ్చితంగా నిర్ణయించవచ్చు. ఈ సందర్భంలో స్థూపం వృత్తాకార తలాన్ని (వ్యాసం వెంబడి ఉండే విధంగా) వెర్నియర్ కాలిపర్స్ దవడల మధ్య P బటన్ సాయంతో బిగించి ఉంచాలి. తర్వాత ప్రధాన స్కేలు రీడింగును, ఏకీభవించే వెర్నియర్ విభాగాన్ని గుర్తించాలి.
        స్థూపం వ్యాసం = ప్ర.స్కే.రీ. + (ఏ.వె.వి. × క.కొ.)

వెర్నియర్ శూన్యాంశ దోశం:
* ముందుగా వెర్నియర్ కాలిపర్స్‌లో ఎలాంటి దోషం లేదని నిర్ధారించుకోవాలి. ఒక వేళ దోషం ఉంటే అది శూన్యాంశ దోషంగా భావించాలి. అందువల్ల కొలతలు కచ్చితంగా ఉండవు.
* వెర్నియర్ స్కేలులోని శూన్య విభాగం ప్రధాన స్కేలులోని శూన్య విభాగంతో రెండు దవడల మధ్య వస్తువు ఏదీ లేనప్పుడు ఏకీభవించుతుంటే దోషం లేదంటారు.
                                                    
* ప్రధాన స్కేలు శూన్య విభాగం, వెర్నియర్ స్కేలు శూన్య విభాగంతో ఏకీభవించకపోతే వెర్నియర్ కాలిపర్స్‌లో శూన్యాంశ దోషం ఉందని అర్థం. ఈ దోషం ధనాత్మకం లేదా రుణాత్మకంగా ఉండవచ్చు.
* ధన శూన్యాంశ దోషం: వెర్నియరు స్కేలులోని శూన్య విభాగం ప్రధాన స్కేలులోని శూన్య విభాగంతో ఏకీభవించకుండా కుడివైపు ఉంటే అలాంటి దోషాన్ని 'ధన శూన్యంశ దోషం' అంటారు. అప్పుడు సవరణ రుణాత్మకంగా ఉంటుంది. ఎందుకంటే కొలిచిన పొడవు, అసలు పొడవు కంటే ఎక్కువుగా ఉంటుంది.
                                              
దోషం = + (ఏ.వె.వి. ×  క.కొ.)
సరిచేసిన రీడింగ్ = గుర్తించిన రీడింగు - (ఏ.వె.వి. × క.కొ.)

* రుణ శూన్యాంశ దోషం: వెర్నియర్ శూన్య విభాగం, ప్రధాన స్కేలులోని శూన్య విభాగంతో ఏకీభవించక దానికి ఎడమవైపు ఉంటే దాన్ని రుణ శూన్యంశ దోషం అంటారు. అప్పుడు సవరణ ధనాత్మకంగా ఉంటుంది. ఎందుకంటే లెక్కించిన కొలత అసలు కొలత కంటే తక్కువుగా ఉంటుంది. ఈ దోషాన్ని లెక్కించాలంటే ఏకీభవించే వెర్నియర్ విభాగాన్ని గుర్తించి గమనించాలి.

దోషం = - (ఏ.వె.వి. × క.కొ.)
సవరించిన రీడింగు = గుర్తించిన రీడింగు + (ఏ.వె.వి. × క.కొ.)
* ఏ కొలతనైనా కొలిచేటప్పుడు మన కన్నును స్కేలు మీద ఉన్న విభాగాలపై నిలువుగా ఉంచి కొలవాలి. లేకపోతే దృష్టి విక్షేప దోషం ఏర్పడటం వల్ల రీడింగులు తప్పుగా గుర్తిస్తాం.
* స్వల్ప మందాలను, స్వల్ప వ్యాసాలను కచ్చితంగా (మి.మీ.లో వ వంతు వరకు) కొలవడానికి స్క్రూగేజీని ఉపయోగిస్తారు.
* స్క్రూగేజి ఉపయోగించి పలుచటి గాజు పలక మందాన్ని, సన్నని తీగ వ్యాసం లేదా చిన్న గోళ వ్యాసాలను కొలుస్తారు. ఇది మరసీల (Screw) నిర్మాణం మీద ఆధారపడి పనిచేస్తుంది. కాబట్టి దీన్ని స్క్రూగేజి అంటారు.
* ఒక లోహపు కడ్డీ మీద సర్పిలాకారంగా గాడులు చెక్కిన దాన్ని 'మరసీల' అంటారు. ఈ గాడులు దాని పొడవు వెంబడి ఏర్పడి ఉంటాయి. ఈ కడ్డీకి ఒక చివర తల, మరో చివర కొనభాగం ఉంటాయి.

* ఈ కడ్డీ తలభాగాన్ని తిప్పితే నట్టులోకి వెళ్తుంది. ప్రతి భ్రమణానికి, దాని గాడుల మధ్య దూరానికి సమానమైన దూరం ఈ మరసీల సమాంతరంగా కదులుతుంది. ఈ దూరాన్ని 'మరసీల పిచ్' అంటారు.
మరసీల ఒక పూర్తి భ్రమణం చేసినప్పుడు మర కదిలే దూరాన్ని 'మరసీల పిచ్' అంటారు.

                            
* మరసీల తల పూర్తి భ్రమణం చేయకుండా కొంత భాగమే భ్రమణం చేసినప్పుడు ఆ భ్రమణ భాగం తెలుసుకోవడానికి దాని తలమీద 'N' సమాన భాగాలు ఉంటాయి. దీన్నే 'తల స్కేలు' అంటారు.
* మరసీల దాని తలమీద గుర్తించిన అన్ని విభాగాలు N - ఒకసారి పూర్తిగా తిరిగినప్పుడు, అది దాని మర భ్రమణాంతరానికి సమానమైన దూరం కదులుతుంది.
* తల స్కేలు కదిలే అతి తక్కువ విభాగం స్క్రూగేజి కనీస కొలత అవుతుంది.

                           
* తల స్కేలు మీద ఉన్న విభాగాలు N = 100, మర భ్రమణాంతరం P = 1 మి.మీ. ఉన్నప్పుడు
కనీస కొలత =  = 0.01 మి.మీ. లేదా 0.001 సెం.మీ.

               
     C - ఖాళీ స్తూపం
     S - మర
     B - గొట్టం
     P - పిచ్ స్కేలు
     H - తల స్కేలు
* స్క్రూగేజిలో U ఆకారపు లోహ చట్రం F ఉంటుంది. ఈ చట్రం ఒక చివర ఒక పొట్టి దండం (S₁) బిగించి ఉంటుంది. దీనికి ఎదురు దిశలో బోలుగా, పొడవుగా ఉన్న ఒక లోహపు స్తూపాకార గొట్టం C బిగించి ఉంటుంది. ఈ ఖాళీ స్తూపం లోపలి భాగంలో సర్పిలాకారపు గాడులు చెక్కి ఉండటం వల్ల అది ఒక నట్టు మాదిరిగా పనిచేస్తుంది. దాని బాహ్యతలం మీద పొడవుగా అక్షం వెంబడి ఒక సూచీ రేఖ సమ భాగాలుగా (1 మి.మీ. లేదా 0.5 మి.మీ.) విభజించి ఉంటుంది. ఇది 'పిచ్ స్కేలు' P మాదిరిగా పనిచేస్తుంది. పొట్టి దండానికి ఎదురుగా మరో దండం (S₂) ఉంటుంది. లోహపు స్థూపం C లోపల ఉన్న సర్పిలాకారపు గాడులు మాదిరిగానే ఉన్న గాడులు S₂ దండం మీద చెక్కి ఉంటాయి. దీనికి మరో చివర గాడులు చేసిన ఒక మరసీల తల (M) ఉంటుంది. దండం M మరో గొట్టానికి (B) కలిపి ఉంటుంది. B గొట్టం C కి కవచంలా ఉంటుంది. తల స్కేలు H స్తూపానికి మరో వైపుండి దానిపై 100 నుంచి 50 వరకు విభాగాలు ఉంటాయి.
* S₁, S₂ ఒకదానికి మరొకటి ఎదురుగా ఉన్నప్పుడు వాటి మధ్య దూరం సున్నా. ఈ సందర్భంలో తల స్కేలు అంచు పిచ్ స్కేలు '0' విభాగంతో ఏకీభవించాలి.
* స్క్రూగేజి ఉపయోగించి గాజు పలక మందాన్ని లేదా సీసపు గుండ్ల వ్యాసాన్ని కనుక్కోవాలంటే ముందుగా దాని కనీస కొలతను కనుక్కోవాలి. దీని కోసం నూళ్లు కోసిన తల Mను తిప్పుతూ సమతల దిమ్మె S₁, S₂ ఒకదానితో ఒకటి తాకే విధంగా చూడాలి. అప్పుడు తల స్కేలులోని శూన్య విభాగం పిచ్ స్కేలులోని సూచీ రేఖతో కచ్చితంగా ఏకీభవిస్తునట్లు ఉండాలి.
* తల లేదా పిడిని N పూర్తి చుట్లు తిప్పుతూ మరసీల కదిలిన దూరం xను సూచీ రేఖ సాయంతో కనుక్కోవాలి. అంటే తల స్కేలు, పిచ్ స్కేలు మీద ఎంత దూరం కదలిందీ పరిశీలించడం అన్నమాట. ఇది n భ్రమణాల వల్ల చేసిన దూరం x అవుతుంది.

      ఒకవేళ తలస్కేలు మీద N విభాగాలుంటే

    
* ఈ విధంగా కనీసపు కొలత కనుక్కున్న తర్వాత ఇచ్చిన వస్తువును సమతల దిమ్మెలు S₁, S₂ ల మధ్య ఉండేలా తలస్కేలును తిప్పుతూ బిగుతుగా ఉండేలా చేయాలి. పిచ్ స్కేలు మీద, తలస్కేలు ఏ విభాగం వద్ద ఆగిందో చూసి, ఆ రీడింగును గుర్తించాలి. ఇదే పిచ్‌స్కేలు రీడింగు (P.S.R.) అవుతుంది. అదేవిధంగా పిచ్‌స్కేలులో సూచీ రేఖ, తలస్కేలు మీద ఏ విభాగాన్ని సూచిస్తుందో గమనించి, తలస్కేలు మీద ఆ రీడింగును గుర్తించాలి. అదే తలస్కేలు రీడింగు (H.S.R.) అవుతుంది.

                                                  
స్క్రూగేజి ఉపయోగించి గోళీ వ్యాసాన్ని నిర్ధారించడం
P : పిచ్ స్కేలు
H : తల స్కేలు
వస్తువు వ్యాసం d అనుకుంటే
d = పిచ్ స్కేలు రీడింగ్ + (తలస్కేలు రీడింగ్ × కనీసపు కొలత)
* ఇక్కడ పిచ్ స్కేలు రీడింగు, కనీసపు కొలతలకు ఒకే ప్రమాణాలు ఉపయోగించాలి. ఈ విధంగా కనుక్కున్న d విలువలో, తలస్కేలు, సూచీరేఖలు కలవకపోయినట్లయితే ఏర్పడే దోషం కలిసి ఉంటుంది. అందువల్ల తలస్కేలు రీడింగును శూన్యాంశ దోషం నిర్ధారించిన తర్వాత సరిచేయాలి.
* తలస్కేలు మీద శూన్య విభాగం, పిచ్ స్కేలులోని సూచీ రేఖ కంటే ఎగువ లేదా దిగువ ఉండే విధానం ఆధారంగా శూన్యాంశ దోషాలు రెండు రకాలుగా ఉంటాయి.

* రుణ శూన్యాంశ దోషం: తలస్కేలులోని శూన్య విభాగం, పిచ్ స్కేలులోని సూచీ రేఖకు ఎగువగా ఉంటే ఆ దోషాన్ని రుణ శూన్యాంశ దోషం అంటారు. సవరణ ధనాత్మకంగా ఉంటుంది.
ఉదాహరణకు n తలస్కేలు విభాగాలు సూచీ రేఖకు ఎగువున ఉన్నాయనుకుందాం.
∴ సవరించిన తలస్కేలు రీడింగు = గుర్తించిన తలస్కేలు రీడింగు + n

* ధన శూన్యాంశ దోషం: తలస్కేలులోని శూన్య విభాగం, పిచ్ స్కేలులోని సూచీ రేఖకు కింద ఉంటే ఆ దోషాన్ని ధన శూన్యాంశ దోషం అంటారు. సవరణ రుణాత్మకంగా ఉంటుంది. అప్పుడు ఎన్ని విభాగాలు దిగువ ఉన్నాయో లెక్కించి గుర్తించాలి. దీన్ని గుర్తించిన తల స్కేలు రీడింగు నుంచి తీసివేయాలి. ఈ సందర్భంలో సవరించిన తలస్కేలు రీడింగు = [గుర్తించిన తలస్కేలు రీడింగు - n (దిగువ ఉన్న విభాగాల సంఖ్య)]
ఈ విధంగా లెక్కించి దోష సవరణ చేసి వస్తువు కొలతను కింది సూత్రం ద్వారా కనుక్కోవాలి.
d = పిచ్ స్కేలు రీడింగ్ + [(గుర్తించిన తలస్కేలు రీడింగు ± n) × కనీసపు కొలత]

               పొడవుల వ్యాప్తి వాటి క్రమం

* కొన్ని ప్రత్యేక పొడవు ప్రమాణాలను చిన్నవిగా ఉండే అధిక పొడవును కలిగి ఉండే వస్తువుల కోసం వాడతాం.
1 ఫెర్మి = 1 f = 10^-15 మీ.
1 ఆంగ్‌స్ట్రామ్ =1A°  = 10^-10 మీ.
1 ఖగోళ ప్రమాణం =1 AU = 1.496 × 10¹¹ మీ.
1 కాంతి సంవత్సరం = 1 ly = 9.46 × 10¹⁵ మీ.
1 పార్‌సెక్ = 3.08 × 10¹⁶ మీ.
* వక్రరేఖ పొడవును దారం, స్కేలు సాయంతో కొలవవచ్చు. 



పొడవైన దారాన్ని తీసుకుని దాన్ని ABCDEF అనే వక్రరేఖపై దానితో ఏకీభవించేలా అమర్చి A, F కొనలను దారంపై సిరాతో గుర్తించాలి. తర్వాత దాన్ని మీటరు స్కేలుపై తగిన విధంగా కొంచెం సాగదీసి F అనే కొన బిందువు రీడింగును స్కేలుపై గుర్తిస్తే అది వక్రరేఖ పొడవుకు సమానం అవుతుంది.

వైశాల్యం:
ఒక వస్తువు ఆవరించిన సమతలం కొలతనే 'వైశాల్యం' అంటారు. వైశాల్యం ఒక ఉత్పన్న రాశి. ఎందుకంటే దాని ప్రమాణాలను పొడవు అనే మూలరాశి ప్రమాణాల నుంచి ఉత్పాదిస్తారు.
క్రమాకార వస్తువుల ఉపరితల వైశాల్యం = పొడవు × వెడల్పు
వైశాల్యానికి C.G.S. ప్రమాణం చ.సెం.మీ.
1 చ.సెం.మీ. = 1 సెం.మీ. ×  1 సెం.మీ. = 1 సెం.మీ.²
వైశాల్యానికి M.K.S. ప్రమాణం చ.మీ.
1 చ.మీ. = 1 మీ × 1 మీ. = 1 మీ²
 

ప్రమాణాల మార్పిడి:
1 మీటరు² = 1 మీటరు × 1 మీటరు
                 = 100 సెం.మీ. × 100 సెం.మీ.
                 = 10,000 సెం.మీ.²
1 మీటరు2 = 104 సెం.మీ.²
                                              లేదా

అక్రమాకార వస్తువుల వైశాల్యాన్ని గ్రాఫ్ కాగితం సాయంతో కనుక్కోవచ్చు.
* ఒక ఆకు వైశాల్యాన్ని కనుక్కోవడానికి దాన్ని చ.మి.మీ. (మి.మీ.2) వైశాల్యం గల చిన్న చిన్న గడులు ఉన్న గ్రాఫ్ కాగితంపై పరచాలి. ఆకు అంచు చుట్టూ గ్రాఫ్ కాగితంపై రేఖ గీయాలి. తర్వాత ఆకును తీసేయాలి. ఇప్పుడు ఈ అంచురేఖ లోపల ఉండే పూర్తి చిన్న గడులను లెక్కించాలి.  తర్వాత సగం కంటే ఎక్కువ ఉండే చిన్న గడుల సంఖ్యను లెక్కించాలి. మొత్తం చిన్న గళ్ల సంఖ్యను కనుక్కుంటే ఆ అక్రమాకార వస్తువు(ఆకు) వైశాల్యం చ.మి.మీ.లలో వస్తుంది.

ఘనపరిమాణం:
* ఒక వస్తువు ఆక్రమించే స్థలాన్ని ఆ వస్తువు ఘనపరిమాణం అంటారు.
* ఒక ఘనం ఘనపరిమాణం = పొడవు × వెడల్పు × ఎత్తు
    దీర్ఘచతురస్రాకార అట్ట పెట్టె ఘనపరిమాణం = పొడవు × వెడల్పు × ఎత్తు
* ఘనాకార వస్తువుల ఘనపరిమాణం ఘ.మీ. లేదా ఘ.సెం.మీ.లలోనూ; ద్రవాల ఘనపరిమాణాలను మి.లీ.లలోనూ కొలుస్తారు.
* ఘనపరిమాణం ఒక ఉత్పన్న రాశి. ఎందుకంటే దీని ప్రమాణాలను పొడవు ప్రమాణాల నుంచి ఉత్పాదిస్తాం.
* ఘనపరిమాణం సి.జి.యస్. ప్రమాణం సెం.మీ.³ లేదా ఘన సెం.మీ.
* 1 ఘ.సెం.మీ. లేదా 1 సెం.మీ.³ = 1 సెం.మీ. × 1 సెం.మీ. × 1 సెం.మీ.
* ఘనపరిమాణం యం.కె.యస్. ప్రమాణం మీ.³ లేదా ఘ.మీ.
 

ప్రమాణాల మార్పిడి:
 1 మీటరు³ = 1 మీటరు × 1 మీటరు × 1 మీటరు
= 100 సెం.మీ. ×100 సెం.మీ. × 100 సెం.మీ.
1 మీటరు3 = 10⁶ సెం.మీ.³
               లేదా
1 సెం.మీ.3 = 10^-6 మీ.³
ద్రవాల ఘనపరిమాణాలను లీటర్లలో కొలుస్తారు.
1 లీటరు = 1000 సెం.మీ.³

* ద్రవాల ఘనపరిమాణాలను వివిధ రకాల కొలపాత్రలను ఉపయోగించి లీటర్లు, మిల్లీ లీటర్లలో కొలుస్తారు. కొలజాడీ, కొల ఫ్లాస్కు, పిపెట్టు, బ్యూరెట్టులను ఉపయోగించి ద్రవాల ఘనపరిమాణాలను కొలుస్తారు.

* పిపెట్టును స్థిర ఘనపరిమాణం గల ద్రవాలను ఒక పాత్ర నుంచి మరో పాత్రలోకి మార్చేందుకు ఉపయోగిస్తారు.
* కావాల్సిన ఘనపరిమాణం ఉన్న ద్రవాన్ని కచ్చితంగా కొలిచేందుకు బ్యూరెట్టు బాగా ఉపయోగపడుతుంది.
* బ్యూరెట్టు లేదా పిపెట్టులో ద్రవ తలాన్ని పరిశీలిస్తే అది పైకి వంపు తిరిగి ఉంటుంది. ఈ వంపు తిరిగిన పై తల భాగాన్ని 'మినిష్కస్' (m) అంటారు. ఈ పరికరాలతో ద్రవ ఘన పరిమాణం కొలిచేటప్పుడు మినిష్కస్ అడుగు తలం రీడింగులను మాత్రమే తీసుకోవాలి.
 

ద్రవ్యరాశి
* వస్తువులోని పదార్థ పరిమాణాన్ని తెలియజేసే భౌతికరాశిని ద్రవ్యరాశి అంటారు. ఒక వస్తువు ద్రవ్యరాశి ఎప్పుడూ స్థిరంగా ఉంటుంది.
* రెండో ప్రధాన మూలరాశి ద్రవ్యరాశి.
* ద్రవ్యరాశి SI ప్రమాణం కి.గ్రా.
* వస్తువు ద్రవ్యరాశిని ప్రమాణ ద్రవ్యరాశితో పోల్చి సాధారణ త్రాసుతో కొలుస్తారు.

* త్రాసు దండం మధ్య ఆధార బిందువు నుంచి సమాన దూరాల్లో సమాన ద్రవ్యరాశులను వేలాడదీస్తే అది క్షితిజ సమాంతరంగా ఉంటుంది. ఇదే సాధారణ త్రాసు పనిచేసే సూత్రం.
* వస్తువుల ద్రవ్యరాశులను మరింత కచ్చితంగా (మిల్లీగ్రాము వరకు) కొలవడానికి ప్రయోగశాలలో సున్నితపు త్రాసును ఉపయోగిస్తారు.
* ప్రస్తుతం వస్తువుల ద్రవ్యరాశులను మిల్లీగ్రాము వరకు కచ్చితంగా కొలవగల ఎలక్ట్రానిక్ త్రాసులను ఉపయోగిస్తున్నారు.

* ద్రవ్యానికి ప్రాథమిక ధర్మం ద్రవ్యరాశి. ఇది ఉష్ణోగ్రత, పీడనం లేదా అంతరాళంలో వస్తువు స్థానంపై ఆధారపడదు.
* పరమాణువులు, అణువుల ద్రవ్యరాశి చాలా స్వల్పంగా ఉంటుంది కాబట్టి కిలోగ్రాముల్లో కొలవలేం. ఈ సందర్భంలో ఒక ముఖ్యమైన ద్రవ్యరాశి ప్రమాణం ఉంది. దీనికోసం ఏకీకృత పరమాణు ద్రవ్యరాశి ప్రమాణం (unified atomic mass unit) -a.m.u. ను ఉపయోగిస్తారు.

* విశ్వంలోని గ్రహాలు, నక్షత్రాలు లాంటి అధిక ద్రవ్యరాశులను న్యూటన్ గురుత్వాకర్షణ నియమం ఆధారంగా గురుత్వాకర్షణ పద్ధతి ఉపయోగించి కొలవవచ్చు. పరమాణు, ఉపపరమాణు కణాలు లాంటి అల్ప ద్రవ్యరాశులను కొలవడం కోసం ద్రవ్యరాశి వర్ణపట గ్రాహకాన్ని (mass spectrograph) ఉపయోగిస్తారు.

                  ఈ ద్రవ్యరాశుల వ్యాప్తి, క్రమం

సాంద్రత
* పదార్థ ద్రవ్యరాశికి, దాని ఘనపరిమాణానికి గల నిష్పత్తిని సాంద్రత అంటారు (లేదా) సాంద్రతను ప్రమాణ ఘనపరిమాణం గల పదార్థ ద్రవ్యరాశిగా నిర్వచించవచ్చు. సాంద్రత ఒక ఉత్పన్న రాశి.
* M.K.S. లేదా S.I. పద్ధతిలో సాంద్రతకు ప్రమాణం కి.గ్రా./ మీ.3.
* C.G.S. పద్ధతిలో సాంద్రతకు ప్రమాణం గ్రాము/ ఘ.సెం.మీ.

తారతమ్య సాంద్రత లేదా సాపేక్ష సాంద్రత:
* ఒక పదార్థ తారతమ్య సాంద్రత లేదా సాపేక్ష సాంద్రతను ఆ పదార్థ సాంద్రతకు, నీటి సాంద్రతకు మధ్య గల నిష్పత్తిగా నిర్వచించవచ్చు.

* సాపేక్ష సాంద్రత ప్రమాణాలు లేని సంఖ్య మాత్రమే.
* పాదరసం (Hg) సాపేక్ష సాంద్రత 13.6.
* సాంద్రత బుడ్డిని సాధారణంగా ద్రవాల తారతమ్య సాంద్రతను నిర్ణయించడానికి ఉపయోగిస్తారు.
* సాధారణంగా 15 మి.లీ., 20 మి.లీ., 25 మి.లీ., 50 మి.లీ.
     ఘనపరిమాణం గల సాంద్రత బుడ్డీలను వాడతారు.

* కొన్ని పదార్థాల సాంద్రతలు

* వస్తువుపై పనిచేసే భూమ్యాకర్షణ బలాన్ని భారం అంటారు.
* ఒక వస్తువు భారాన్ని కనుక్కోవడానికి స్ప్రింగ్ త్రాసు ఉపయోగిస్తారు.
* వ్యక్తుల భారాలను త్వరగా కనుక్కోవడానికి డాక్టర్లు సంపీడన స్ప్రింగ్ త్రాసులను ఉపయోగిస్తారు.
* తపాలా కార్యాలయాల్లో పోస్టల్ త్రాసులను ఉపయోగిస్తారు. ఫ్యాన్సీ షాపులు, మిఠాయి దుకాణాల్లో టేబుల్ త్రాసులు లేదా స్కేలు త్రాసులను ఉపయోగిస్తారు.
* రైల్వేస్టేషన్లు, ఉక్కు గోదాములు, పార్సిల్ ఆఫీసుల్లో బరువైన వస్తువులను తూచేందుకు ప్లాట్‌ఫారమ్ కాటాను ఉపయోగిస్తారు.
* అసమాన భుజాలతో స్థిరమైన లేదా అస్థిరమైన ఆధారాలతో ఉండే తూనికోలలు రోమన్ స్టీలుయార్డు, డేవిష్ స్టీలుయార్డు.
 

కాలాన్ని కొలవడం:
* రెండు సంఘటనల మధ్య సమయాన్ని 'కాలం' అంటారు. ఆ సంఘటనలు పునరావృతం కావచ్చు (లేదా) పునరావృతం కాకపోవచ్చు.
* వస్తువుల ఆవర్తన చలనం ఆధారంగా అనేక కాలమాన సాధనాలను (గడియారాలు) తయారుచేశారు.
* సన్‌డయల్, నీటి గడియారం, లోలక గడియారం, అనేక రకాలైన చేతి గడియారాలు, పరమాణు గడియారాలు కాలాన్ని కొలవడానికి ఉపయోగపడతాయి.
* కాలానికి ప్రమాణం ఒక సెకను. (అన్ని పద్ధతుల్లోనూ కాలానికి ప్రమాణం ఒక్కటే)
*  సగటు సౌర దినంలో

వ వంతును ఒక సెకనుగా నిర్వచించారు.
* 1956లో తూనికలు, కొలతల అంతర్జాతీయ సంస్థ సూర్యుడి చుట్టూ భూచలనం ఆధారంగా సెకనును  పునర్‌నిర్వచించారు. ఉష్ణమండలపు 1900 సంవత్సరంలో వంతును ఒక సెకనుగా నిర్వచించారు.
* 1967లో సెకనును ఇంకా కచ్చితంగా నిర్వచించారు. 133 అటామిక్ మాస్ నెంబర్ ఉన్న సీజియం పరమాణువు 9,192,631,770 కంపనాలు చేయడానికి పట్టిన సమయాన్ని ఒక సెకనుగా తీసుకున్నారు.
* అధిక గడియారాల్లో అంతర్నిర్మితమైన గతిపాలక చక్రం ఆవర్తన చలనాన్ని కాల వ్యవధి కొలవడానికి ఉపయోగిస్తారు.
* సాధారణ చేతి గడియారంలో సంతులన చక్రం కంపనాలు దాని రేటు (కాలాన్ని)ను ఎలా క్రమబద్దీకరిస్తాయో.. క్వార్ట్జ్ చేతి గడియారంలోని చిన్న క్వార్ట్జ్ స్ఫటికం కంపనాలు దాని రేటును (కాలాన్ని) ఎలా క్రమబద్దీకరిస్తాయో.. అలాగే సీజియం పరమాణు గడియారంలోని సీజియం పరమాణువు కంపనాలే దాని రేటును (కాలాన్ని) క్రమబద్దీకరిస్తాయి. సీజియం పరమాణు గడియారాలకు అత్యంత కచ్చితత్వం ఉంటుంది.
* భారతీయ ప్రామాణికతను నిర్ణయించడానికి సీజియం పరమాణు గడియారాన్ని నేషనల్ ఫిజికల్ ల్యాబొరేటరీ (ఎన్‌పీఎల్) న్యూదిల్లీలో ఉంచి క్రమబద్దీకరిస్తున్నారు.
* కాలవ్యవధుల వ్యాప్తి, క్రమం

              కాలవ్యవధుల వ్యాప్తి, క్రమం

* గోడ గడియారాల్లో లోలకాల డోలనాలను ఉపయోగించి కాల వ్యవధిని కొలుస్తారు.
* ఒక పురి లేని సన్నని దారం చివర బరువైన గోళము ఉండి, ఒక ఆధారం నుంచి వేలాడదీసిన వ్యవస్థను సామాన్య లోలకం అంటారు.
* లోలకపు డోలనావర్తన కాలానికి, కంపన పరిమితి, గోళం బరువు, లోలకం పొడవులకు గల సంబంధాన్ని మూడు సూత్రాలుగా చెప్పవచ్చు. వీటినే లోలక సూత్రాలు అంటారు.
లోలక సూత్రం 1: స్థిరమైన పొడవు గల లోలకం డోలనావర్తన కాలం కంపన పరిమితిపై ఆధారపడి ఉండదు. (కంపన విస్తార కోణం 5º మించకూడదు)
లోలక సూత్రం 2: స్థిరమైన పొడవు గల లోలకం డోలనావర్తన కాలం గోళం బరువు, ఆకారం, పరిమాణం, అవి తయారైనలోహంపై ఆధారపడి ఉండదు. (బెండులా తేలికగా ఉండకూడదు)
లోలక సూత్రం 3: లోలకం  పొడవు (l) డోలనావర్తన కాలపు వర్గం (T₂) సమసంబంధ సామ్యంలో ఉంటాయి.
    
* ఒక్కో డోలనానికి 2 సెకండ్లు పట్టే లోలకాన్ని సెకండ్ల లోలకం అంటారు. అంటే కంపనానికి 1 సెకను పడుతుంది.

భౌతిక రాశుల మితులు
* ఒక భౌతికరాశికి ఉండే స్వభావాన్ని దాని మితులు వర్ణిస్తాయి. ఉత్పన్న ప్రమాణాలతో సూచించే అన్ని భౌతికరాశులను ఏడు ప్రాథమిక లేదా మూల (ఆధార) భౌతికరాశుల్లో ఏదో ఒక సంయోగంగా వ్యక్తపరచవచ్చు. ఈ ఏడు మూలరాశులను భౌతిక ప్రపంచం యొక్క ఏడు మితులుగా పిలుస్తారు. ఈ మితులను స్క్వేర్ బ్రాకెట్ [ ] లతో సూచిస్తారు. కాబట్టి
పొడవుకు మితి [L]
ద్రవ్యరాశికి మితి [M]
కాలానికి మితి[T]
విద్యుత్ ప్రవాహానికి మితి [A]
ఉష్ణగతిక ఉష్ణోగ్రతకు [K]
దీప్తిద (ప్రకాశ) తీవ్రతకు [cd]
పదార్థ పరిమాణానికి మితి [mol]
అనే మితులు ఉంటాయి.
* ఒక భౌతికరాశికి ఉండే మితులు ఆ భౌతికరాశిని సూచించడానికి ఏ మూలరాశులనైతే ఏ ఘాతాలకు పెంచుతామో ఆ ఘాతాలే అవుతాయి. ఒక రాశికి దాని చుట్టూ స్క్వేర్ బ్రాకెట్‌ను ఉపయోగించడంలో అర్థం ఆ రాశి మితులతో వ్యవహరిస్తుందని.
* యాంత్రిక శాస్త్రంలోని అన్ని భౌతిక రాశులను [L], [M], [T] మితులలో రాయవచ్చు.
ఉదా: వస్తువు ఆక్రమించే ఘనపరిమాణాన్ని పొడవు, వెడల్పు, ఎత్తులు లేదా మూడు పొడవుల లబ్ధంగా వ్యక్తపరుస్తారు. కాబట్టి ఘనపరిమాణానికి మితులు [L] × [L] × [L] = [L]³ = [L³], ఘనపరిమాణం ద్రవ్యరాశి కాలాలపై ఆధారపడదు. అందుకే ఘనపరిమాణానికి ద్రవ్యరాశి, కాలం మితులు శూన్యం [M°], [T°] కాగా పొడవులో మితులు మూడు ఉంటాయి.
 బలం = ద్రవ్యరాశి × త్వరణం
          

అంటే బలం ద్రవ్యరాశికి ఒక మితిని, పొడవుకు ఒకమితిని, కాలానికి 2 మితులనూ కలిగి ఉంటుంది. బలంలో మిగతా అన్ని మూల రాశుల మితులు శూన్యం.
* పై విధమైన వ్యక్తీకరణలో రాశుల పరిమాణాలు పరిగణించ లేదు. కేవలం భౌతికరాశి గుణం మాత్రమే దీనిలో చేరుతుంది. కాబట్టి వేగంలో మార్పు, తొలివేగం, సగటువేగం, తుది వేగం, వడి లాంటివి అన్నీ మితుల దృష్ట్యా ఈ సందర్భానికి తుల్యమైనవి.

మితీయ ఫార్ములాలు, మితీయ సమీకరణాలు:
* ఏ మూల రాశులు, ఏ విధంగా ఒక భౌతికరాశి మితులను సూచిస్తాయో తెలిపే సమాసాన్ని ఆ భౌతికరాశి 'మితీయ ఫార్ములా' అంటారు.
ఉదా: ఘనపరిమాణానికి మితీయ ఫార్ములా [M°L³T°] అదేవిధంగా
వడి లేదా వేగానికి [M°LT⁻¹]
త్వరణానికి [M°LT⁻²]
ద్రవ్యరాశి సాంద్రతకు మితీయ ఫార్ములా [ML⁻³T°]
* ఒక భౌతికరాశిని, దాని మితీయ ఫార్ములాకు సమానం చేసినప్పుడు వచ్చే సమీకరణాన్ని ఆ భౌతికరాశికి 'మితీయ సమీకరణం' అంటారు. అంటే భౌతికరాశి మితులను మూలరాశుల పదాల్లో సూచించే సమీకరణాలను మితీయ సమీకరణాలు అంటారు.
ఉదా: ఘనపరిమాణం [V], వడి [ν], బలం [F], ద్రవ్యరాశి సాంద్రత [P]ల మితీయ సమీకరణాలను ఈ విధంగా వ్యక్తపరచవచ్చు.
[V] = [M°L3T°]
[ν] = [M°LT⁻¹]
[F] = [MLT⁻²]
[P] = [ML⁻³T°]
 

మితీయ విశ్లేషణ, దాని అనువర్తనాలు:
* రాశుల భౌతిక ప్రవర్తనను వివరించడానికి మితుల భావనలను గుర్తించడం అనేది మార్గదర్శనం చేయడమే కాకుండా ఒకే మితులు కలిగిన భౌతికరాశులను మాత్రమే కలపడం, లేదా వ్యవకలనం చేయడం గానీ సాధ్యమవుతుంది కాబట్టి అది ప్రాథమిక ప్రాధాన్యం సంతరించుకుంటుంది.
* మితీయ విశ్లేషణపై సరైన అవగాహన, పట్టు ఉండటం, భిన్న భౌతికరాశుల మధ్య కొన్ని నిర్దిష్ట సంబంధాలను రాబట్టడానికి, తత్సంబంధమైన ఉత్పాదనను, దానిలోని అనేక గణిత సమాసాల యథార్థత, మితిపరమైన సుసంగతిని లేదా వాటిలో సజాతీయతను సరిచూడటానికి తోడ్పడుతుంది.
* రెండు లేదా అంత కంటే ఎక్కువ భౌతికరాశుల పరిమాణాలను గుణించేటప్పుడు వాటి ప్రమాణాలను సాధారణ బీజీయ సంకేతాలతో ఎలా వ్యవహరిస్తామో అదేవిధంగా వ్యవహరించాలి.
* భిన్నంలోని లవ, హారాల్లో ఉండే ఒకే రకమైన ప్రమాణాలను రద్దు చేయవచ్చు. ఇదే నియమం ఒక భౌతికరాశి మితులకు కూడా వర్తిస్తుంది.
* అదేవిధంగా ఒక గణిత సమీకరణానికి ఇరువైపులా సంకేతాలతో సూచించిన భౌతిక రాశులన్నింటికీ ఒకే మితులు ఉంటాయి.
 

భౌతిక రాశుల మధ్య సంబంధాన్ని రాబట్టడం:
* మితుల పద్ధతిని ఉపయోగించి భౌతికరాశుల మధ్య సంబంధాన్ని కొన్నిసార్లు రాబట్టవచ్చు. దీనికోసం భౌతికరాశి ఇతర రాశులపై ఆధారపడుతుందో లేదో తెలిసి ఉండాలి. (మూడు భౌతిక రాశులు లేదా మూడు రేఖీయంగా స్వతంత్రమైన చలరాశుల వరకు) రాశుల మధ్య సంబంధం లబ్ధం ఆధారిత రకం (product type dependence) అని భావించాలి. కింది ఉదాహరణను పరిశీలించండి.
ఉదా: దారానికి గుండు తగిలించిన లఘలోలకాన్ని పరిగణించండి. గురుత్వబల చర్యవల్ల ఇది డోలనాలను చేస్తుంది. లోలకం డోలనా వర్తన కాలం (T), పొడవు (l) గుండు ద్రవ్యరాశి (m), గురుత్వ త్వరణంపై ఆధారపడుతుందని అనుకుందాం. మితుల పద్ధతిని ఉపయోగించి దాని డోలనావర్తన కాలానికి సమాసాన్ని ఉత్పాదించిన
l, g, m రాశులపై డోలనావర్తనకాలం T ఆధారపడటాన్ని వాటి లబ్ధంగా రాయవచ్చు.
T = K l^x g^y m^z
ఇక్కడ k మితరహిత స్థిరాంకం. x, y, zలు ఘాతాంకాలు. ఇరువైపులా మితులను తీసుకుంటే
[L°M°T¹] = [L¹]^x [L¹ T⁻²]^y [M¹]^z
                  = L^{x + y} T^−2y M^z
ఇరువైపులా ఉన్న మితులను సమానం చేస్తే
x + y = 0 ; − 2y = 1 ; z = 0
అందువల్ల x = ,  y =  , z = 0

K విలువను మితుల పద్ధతి ద్వారా కనుక్కోలేమని గమనించాలి. ఇక్కడ కుడివైపు ఉన్న ఫార్ములాను ఏదో ఒక సంఖ్యతో గుణించినంత మాత్రాన ఎలాంటి ప్రభావం ఉండదు. ఎందుకంటే ఆ సంఖ్య దాని మితులను ప్రభావితం చేయదు.

* పరస్పర ఆధారిత భౌతిక రాశుల మధ్య సంబంధాలను రాబట్టడంలో మితీయ విశ్లేషణ ఎంతగానో ఉపయోగపడుతుంది. అయితే మితరహిత స్థిరాంకాలను మాత్రం ఈ పద్ధతి ద్వారా పొందలేం. మితుల పద్ధతి ఏ సమీకరణంలో అయినా మితుల చెల్లుబాటును మాత్రమే పరీక్షిస్తుంది. అంతేకానీ సమీకరణంలోని భౌతికరాశుల మధ్య ఉండే యథార్థ సంబంధాన్ని పరీక్షించదు. ఒకే మితులుండే భౌతిక రాశుల మధ్య తేడాను ఇది గుర్తించదు.

                                          భౌతికరాశుల మితీయ ఫార్ములాలు

మితులపరంగా సదృశ భౌతికరాశులు: ఏవైనా రెండు భౌతిక రాశులను మితులపరంగా పోల్చినపుడు వాటి మితులు సమానమైతే వాటిని మితులపరంగా 'సదృశ భౌతిక రాశులు అంటారు.
ఉదా: 1) పని, టార్క్‌ల మితీయ ఫార్ములా [ML²T⁻²] (మితులు 1, 2, -2)
          2) ప్రచోదనం, రేఖీయ ద్రవ్యవేగాల మితీయఫార్ములా [MLT⁻¹](మితులు 1, 1, -1)

                                 ఒకే రకమైన మితిఫార్ములాలు ఉన్న భౌతిక రాశులు:

మితిస్థిరాంకాలు: మితులు ఉన్న స్థిరాంకాలను 'మితి స్థిరాంకాలు' అంటారు.
ఉదా: 1) ప్లాంక్ స్థిరాంకం, మితీయ ఫార్ములా [ML²T⁻¹]
         2) విశ్వగురుత్వ స్థిరాంకం మితీయ ఫార్ములా [M⁻¹L³T²]
         3) విశ్వవాయు స్థిరాంకం మితీయ ఫార్ములా [ML²T⁻²K⁻¹ mole⁻¹]
         4) బోల్ట్జ్‌మన్ స్థిరాంకం మితీయ ఫార్ములా [ML²T⁻²K⁻¹]
         5) హబుల్ స్థిరాంకం మితీయ ఫార్ములా [M⁰L⁰T⁻¹]
         6) స్టీఫెన్ స్థిరాంకం మితీయ ఫార్ములా [ML⁰T⁻³K⁻⁴]
         7) విఘటన స్థిరాంకం మితీయ ఫార్ములా [ML⁰T⁻¹]
         8) ఫారడే స్థిరాంకం మితీయ ఫార్ములా [M⁰L⁰TA mole⁻¹]
         9) పెర్మిటివిటి స్థిరాంకం మితీయ ఫార్ములా [M⁻¹L⁻³T⁴A²]
        10) ప్రవేశ శీల్యత స్థిరాంకం మితీయ ఫార్ములా [MLT⁻²A⁻²]
 

మితిరహిత స్థిరాంకాలు: మితులు సున్నాగా ఉన్నప్పుడు స్థిరాంకాలను 'మితిరహిత స్థిరాంకాలు' అంటారు.
ఉదా: 1. కోణం, కోణీయస్థానభ్రంశం మితిఫార్ములా[M⁰L⁰T⁰] 'మితిరహిత స్థిరాంకాలు' అంటారు.
         2. త్రికోణమితి నిష్పత్తి మితీయ ఫార్ములా [M⁰L⁰T⁰]
         3. వికృత్తి మితీయ ఫార్ములా [M⁰L⁰T⁰]
         4. వక్రీభవన గుణకం మితీయ ఫార్ములా [M⁰L⁰T⁰]
         5. దక్షత మితీయ ఫార్ములా [M⁰L⁰T⁰]
         6. సాపేక్ష ప్రదీపకత మితీయ ఫార్ములా [M⁰L⁰T⁰]
         7. ప్రదీపక దక్షత మితీయ ఫార్ములా [M⁰L⁰T⁰]
        8. ఆవర్థనం మితీయ ఫార్ములా [M⁰L⁰T⁰]

సమస్యలు

1. వెర్నియర్ కాలిపర్స్‌లో 20 వెర్నియర్ స్కేలు విభాగాలు ఉన్నాయి. ప్రధాన స్కేలు మీద ఒక సెం.మీ.ను 20 సమాన భాగాలుగా చేశారు. అయితే దాని కనీసపు కొలతను కనుక్కోండి?

           వెర్నియర్ స్కేలు మీద విభాగాల సంఖ్య N = 20

           
2. వెర్నియర్ కాలిపర్స్‌ను ఉపయోగించి చాక్‌పీస్ (సుద్దముక్క) పొడవును కొలిచేటప్పుడు ప్రధానస్కేలు రీడింగు 4.6 సెం.మీ., ఏకీభవించే వెర్నియర్ విభాగం 6గా ఉంది. వెర్నియర్ కనీసపు కొలత 0.01 సెం.మీ.,శూన్యాంశ దోషం -0.02 సెం.మీ.గా ఉంటే, సుద్దముక్క పొడవును లెక్కించండి?
సాధన: ప్ర.స్కే.రీ. = 4.6 సెం.మీ.
           ఏ.వె.వి = 6
           క.కొలత = 0.01 సెం.మీ.
           దోషం = -0.02 సెం.మీ.
           ∴ సవరణ = 0.02 సెం.మీ.
సుద్దముక్క పొడవు = ప్ర.స్కే.రీ + (ఏ.వె.వి × క.కొ) + సవరణ
                                 = 4.6 + (6 × 0.01) + 0.02
                                 = 4.66 + 0.02
                                 = 4.68 సెం.మీ.

3. ఒక వెర్నియర్ కాలిపర్సు ప్రధానస్కేలు మి.మీ.లలో విభజించారు. 10 వెర్నియర్ స్కేలు విభాగాలు 9 ప్రధానస్కేలు విభాగాలతో ఏకీభవిస్తే దాని కనీసపు కొలతను కనుక్కోండి?
సాధన: ఒక ప్రధానస్కేలు విభాగం విలువ = 1 మి.మీ.
10 VSD = 9 MSD
1 VSD = MSD
L.C = 1 MSD - 1 VSD
       = 1 MSD - MSD
   
       =  MSD
      
       = 0.1 మి.మీ.

4. వెర్నియర్ కాలిపర్సుకు బిగించిన వెర్నియర్ స్కేలుపై 50 విభాగాలు ఉన్నాయి. ఈ 50 విభాగాల పొడవు ప్రధానస్కేలుపై ఉండే 49 విభాగాల పొడవుకు సమానం. ప్రతి ప్రధానస్కేలు విభాగపు విలువ 1/2 మి.మీ.కు సమానమైతే దాని కనీసపు కొలతను కనుక్కోండి.
సాధన: 1 ప్రధానస్కేలు విభాగపు విలువ =

మి.మీ.
            వెర్నియర్‌పై ఉన్న విభాగాల సంఖ్య = 50

                    = 0.01 మి.మీ.

5. తలస్కేలు విభాగాలు 200గానూ, మర 5 చుట్లు తిరిగినప్పుడు, మరదండం 5 మి.మీ. కదిలేలా ఉన్న ఒక స్క్రూగేజి కనీసపు కొలతను కనుక్కోండి.

6. ఒక స్క్రూగేజితో సీసపు గుండ్ల వ్యాసాన్ని కనుక్కునేటప్పుడు పిచ్‌స్కేలు రీడింగు 7.5 మి.మీ.గానూ, తలస్కేలు రీడింగు 48 గానూ ఉంది. కనీసపు కొలత 0.01 మి.మీ., శూన్యాంశ దోషం + 0.05 మి.మీ.గా ఉంటే, సీసపు గుండు వ్యాసం కనుక్కోండి?
సాధన: పి.స్కే.రీ = 7.5 మి.మీ.
           త.స్కే.రీ = 48
           కనీసపు కొలత = 0.01 మి.మీ.
           దోషం = + 0.05 మి.మీ.
            సవరణ = -0.05 మి.మీ.
సీసపు గుండు వ్యాసం = పి.స్కే.రీ. + (త.స్కే.రీ × క.కొ.) + సవరించిన కొలత
                                = 7.5 + (48 × 0.01) - 0.05
                                = 7.98 - 0.05
                                = 7.93 మి.మీ.

7. ఒక స్క్రూగేజి తలను 50 విభాగాలుగా విభజించారు. స్క్రూను రెండు భ్రమణాలు తిప్పినప్పుడు అది ఒక మి.మీ. ప్రయాణించింది. మరభ్రమణాంతరం, కనీసపు కొలతను కనుక్కోండి.
సాధన: స్క్రూ ప్రయాణించిన దూరం = ఒక మి.మీ.
           భ్రమణాల సంఖ్య = 2
           తలస్కేలు విభాగాల సంఖ్య = 50
        
                                      = 0.01 మి.మీ.

8. స్క్రూగేజి కనీసం కొలత 0.01 మి.మీ. స్క్రూగేజి ద్వారా ఒక స్తూపం యొక్క వ్యాసాన్ని కొలిచేటప్పుడు పిచ్‌స్కేలు రీడింగు 1.5 మి.మీ., తలస్కేలు రీడింగు 18 అయితే స్థూపం వ్యాసం ఎంత?
సాధన: స్క్రూగేజి కనీసపు కొలత = 0.01 మి.మీ.
           పి.స్కే.రీ = 1.5 మి.మీ.
         తలస్కేలు రీడింగు = 18
         స్తూపం వ్యాసం = పి.స్కే.రీ + (త.స్కే.రీ ×  క.కొ.)
                               = 1.5 + (18 ×  0.01)
                               = 1.5 + 0.18
                               = 1.68 మి.మీ.
 

9. 70 సెం.మీ. పొడవున్న సామాన్య లోలకం 33.6 సెకన్‌లలో 20 డోలనాలను చేస్తుంది. దాని పొడవును 80 సెం.మీ.కు పెంచితే దాని డోలనావర్తన కాలాన్ని కనుక్కోండి?
సాధన: L₁ = 70 సెం.మీ.
            L₂ = 80 సెం.మీ.
            

                    = 1.7959       = 1.8 సె.

10. ఒక సెకన్ లోలకం పొడవు 100 సెం.మీ. దాని పొడవును మార్చినా, డోలనావర్తనకాలం ఒక సెకన్‌కు మారినా ఇప్పుడు దాని పొడవు ఎంత?
సాధన: l₁ = 100 సెం.మీ.
          T₁ = 2 సెకన్‌లు
          T₂ = ఒక సెకన్
           l₂ = ?
        

         లోలకం కొత్త పొడవు l₂ = 25 సెం.మీ.

11. సెకన్ల లోలకం పొడవు 80 సెం.మీ. అయితే, 1.6 సెకన్‌ల డోలనావార్తన కాలం ఉన్న లోలకం పొడవు ఎంత ఉండాలి?
సాధన: l₁ = 80 సెం.మీ.
           T₁ = 2 సెకన్‌లు
          T₂ = 1.6సెకన్‌లు
           l₂ = ?
       
                   = 51.2 సెం.మీ.
         ∴ l₂ = 51.2 సెం.మీ.

12. భూమి వ్యాసంపై ఉండే రెండు వ్యతిరేక బిందువులు A, B  ల నుంచి, చంద్రుడిని పరిశీలించారు. చంద్రుడి వద్ద రెండు పరిశీలనా దిశలు ఏర్పరిచే కోణం  విలువ 1°54'. భూమి వ్యాసం సుమారుగా 1.276 × 10⁷మీ. అయితే, భూమి నుంచి చంద్రుడి దూరాన్ని లెక్కించండి.
సాధన: = 1°54' = 114'
               = (114 × 60)'' × (4.85 × 10⁻⁶) rad
          1'' = 4.85 × 10⁻⁶ rad కాబట్టి
          = 3.32 × 10⁻² rad 
        అంతే కాకుండా b = AB = 1.276 ×10⁷ మీ.
       
                     = 3.84 ×  10⁸ మీ.

13. సూర్యుడి కోణీయ వ్యాసం 1920'' అని కొలిచారు. భూమి నుంచి సూర్యుడి దూరం D విలువ 1.496 × 1011 మీ. అయితే సూర్యుడి వ్యాసం ఎంత?
సాధన: సూర్యుడి కోణీయ వ్యాసం  = 1920''
                                                       = 1920 × 4.85 × 10⁻⁶ rad
                                                       = 9.31 × 10⁻³ rad 
                         సూర్యుడి వ్యాసం d =  D
                                                     = (9.31 × 10^-3) × (1.496 × 10¹¹) మీ.
                                                     = 1.39 × 10⁹ మీ.