ద్విమితీయ ఆకారాలు: పొడవు, వెడల్పు మాత్రమే కలిగిన సమతల ఆకారాలను 'ద్విమితీయ ఆకారాలు' అంటారు.
ఉదా: త్రిభుజం, చతురస్రం, దీర్ఘచతురస్రం
త్రిభుజం: 3 భుజాలతో ఏర్పడే సరళ సంవృత పటాన్ని 'త్రిభుజం' అంటారు.
త్రిభుజంలో శీర్షాలు, భుజాలు, కోణాలు అనే భాగాలు ఉంటాయి.
త్రిభుజ రకాలు: భుజాల కొలతల ఆధారంగా త్రిభుజాలను 3 రకాలుగా విభజించారు.
1) సమబాహు త్రిభుజం
2) సమద్విబాహు త్రిభుజం
3) విషమబాహు త్రిభుజం
సమబాహు త్రిభుజం: త్రిభుజంలోని అన్ని భుజాల కొలతలు సమానంగా ఉంటాయి.
సమద్విబాహు త్రిభుజం: త్రిభుజంలోని ఏవైనా రెండు భుజాల కొలతలు సమానంగా ఉంటాయి.
విషమబాహు త్రిభుజం: త్రిభుజంలోని ఏ రెండు భుజాల కొలతలు సమానంగా ఉండవు.
కోణాల కొలతల ఆధారంగా త్రిభుజాలు
అల్పకోణ త్రిభుజం: అన్ని కోణాలు అల్పకోణాలు (< 90°).
లంబకోణ త్రిభుజం: ఒక కోణం లంబకోణం.
అధికకోణ త్రిభుజం: ఒక కోణం 900 కంటే ఎక్కువ (> 90°).
త్రిభుజ సర్వసమాన నియమాలు
i) భుజం భుజం భుజం సర్వసమానత్వ నియమం
ii) భుజం కోణం భుజం సర్వసమానత్వ నియమం
iii) కోణం భుజం భుజం సర్వసమానత్వ నియమం
iv) లంబకోణం కర్ణం భుజం సర్వసమానత్వ నియమం
త్రిభుజ సరూపతా సిద్ధాంతాలు
i) కో.కో.కో. సిద్ధాంతం
ii) భు.భు.భు. సిద్ధాంతం
iii) భు.కో.భు. సిద్ధాంతం
సమస్యలు
1. AB, CD, PQలు BD కి గీసిన లంబాలు. AB = x, CD = y, PQ = z అయితే అని చూపండి.
సాధన: PQD, ABD లలో QDP = BDA (ఉమ్మడి కోణం)
PQD = ABC = 90°
... PQD ~ ABD
ఇదేవిధంగా
2. ΔABCలో DE // BC, AC = 20 అయితే AE ని కనుక్కోండి.
3. పక్క పటం ΔABC లో LM // ABఅయితే x విలువను కనుక్కోండి.
సాధన: ΔABCలో LM // AB
(x - 3)(2x + 3) = 2x(x - 2)
2x2 + 3x - 6x - 9 = 2x2 - 4x
-3x - 9 = -4x
x = 9
త్రిభుజ వైశాల్యాలు
త్రిభుజ వైశాల్యం = × భూమి × ఎత్తు (చ.యూ.)
చుట్టుకొలత = AB + BC + CA
హార్నర్ పద్ధతి ద్వారా త్రిభుజ వైశాల్యం:
లంబకోణ త్రిభుజ వైశాల్యం = × b × a (చ.యూ.)
చుట్టుకొలత = a + b + c
లంబకోణ సమద్విబాహు త్రిభుజ వైశాల్యం = a2
చుట్టుకొలత =2a + d
1. ΔABC ~ ΔDEF, BC = 3 సెం.మీ., EF = 4 సెం.మీ., ΔABC వైశాల్యం 54 చ.సెం.మీ. అయితే ΔDEF వైశాల్యాన్ని కనుక్కోండి.
చతురస్రం: ఇది ఒక చతుర్భుజం. చతురస్రంలోని అన్ని భుజాలు, కోణాలు సమానంగా ఉంటాయి. రెండు కర్ణాలు సమానం. చతురస్రంలో ప్రతికోణం 90° గా ఉంటుంది.
చతురస్ర వైశాల్యం = భుజం × భుజం
A = s2
చతురస్ర కర్ణం d యూనిట్లు అయితే దాని వైశాల్యం = చ.యూ.
చతురస్రం చుట్టుకొలత = 4 × భుజం
P = 4s
కర్ణం పొడవు = × భుజం
d = s
1. 6 సెం.మీ. భుజం గల ఒక చతురస్ర వైశాల్యం, చుట్టుకొలతలను కనుక్కోండి.
సాధన: చతురస్ర వైశాల్యం = 6 × 6
= 36 సెం.మీ.2
చతురస్ర చుట్టుకొలత = 4 × 6
= 24 సెం.మీ.
2. ఒక చతురస్ర వైశాల్యం 4 హెక్టార్లయితే దాని భుజం పొడవు ఎంత (మీటర్లలో)?
సాధన: భుజం × భుజం = 4 × 10,000 చ.మీ.
3. ఒక చతురస్రం భుజం 8 సెం.మీ. అయితే దాని వైశాల్యాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన: వైశాల్యం = భుజం × భుజం
= s × s
= 8 × 8
= 64 చ.సెం.మీ.
4. ఒక చతురస్ర వైశాల్యం 1225 చ.మీ. అయితే దాని చుట్టుకొలతను కనుక్కోండి.
సాధన: (భుజం)2 = 1225
భుజం = 35 మీ.
చుట్టుకొలత = 4 × భుజం
= 4 × 35
= 140 మీ.
5. ఒక చతురస్ర కర్ణం 12 మీటర్లు అయితే దాని వైశాల్యం ఎంత?
సాధన: ఒక చతురస్ర కర్ణం = 12 మీ.
భుజం × = 12
6. ఒక చతురస్ర భుజం 5 సెం.మీ. అయితే దాని వైశాల్యాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన: చతురస్ర వైశాల్యం = భుజం × భుజం
= s × s
= 5 × 5
= 25 చ. సెం. మీ.
ఒక చతురస్రం చుట్టూ ఒకే వెడల్పు (w) గల బాట బయటివైపు ఉంటే (చతురస్ర భుజం పొడవు ' l ' యూనిట్లు అనుకుంటే)
i) బయటి చతురస్ర వైశాల్యం = (l + 2w)2 చ.యూ.
ii) లోపలి చతురస్ర వైశాల్యం = l2 చ.యూ.
ii) బాట వైశాల్యం = (l + 2w)2 - l2 చ.యూ.
= 4w (l + w) చ.యూ.
ఒక చతురస్రం చుట్టూ ఒకే వెడల్పు (w) గల బాట లోపలివైపు ఉంటే (చతురస్ర భుజం 'l ' యూనిట్లు అనుకుంటే)
i) బయటి చతురస్ర వైశాల్యం = l2 చ.యూ.
ii) లోపలి చతురస్ర వైశాల్యం = (l - 2w)2 చ.యూ.
iii) బాట వైశాల్యం = (l - 2w)2 - l2 చ.యూ.
= 4w (l - w) చ.యూ.
1. 25 మీ. భుజం గల ఒక చతురస్ర ప్లాటు చుట్టూ బయట ఒకే వెడల్పు గల బాట వెళ్తుంది. బాట వైశాల్యం
216 చ.మీ. అయితే దాని వెడల్పు ఎంత?
సాధన: బాట వెడల్పు x అనుకోండి.
చతురస్ర ప్లాటు భుజం = 25 మీ.
బయటి చతురస్ర భుజం = (25 + 2x) మీ.
బాట వైశాల్యం = (బయటి చతురస్ర వైశాల్యం - లోపలి చతురస్ర వైశాల్యం )
కానీ లెక్క ప్రకారం, బాట వైశాల్యం = 216 చ.మీ.
(25 + 2x)2 = 252 + 216
= 625 + 216
= 841
ఇరువైపులా వర్గమూలం చేయగా
25 + 2x = 29
(ధన వర్గమూలాన్ని మాత్రమే తీసుకోవాలి)
2x = 29 - 25
2x = 4
x = 2
బాట వైశ్యాల్యం = 2 మీ.
దీర్ఘచతురస్రం: ఇది ఒక చతుర్భుజం. దీనిలో ఎదురెదురు భుజాలు సమానంగా ఉంటాయి. అన్ని కోణాలు సమానం. రెండు కర్ణాలు సమానం. దీర్ఘచతురస్రంలో ప్రతికోణం 90° గా ఉంటుంది.
దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం = పొడవు × వెడల్పు
A = lb
చుట్టుకొలత = 2 (పొడవు+ వెడల్పు)
P = 2(l + b)
ఒక దీర్ఘచతురస్రంలో పొడవుకు సంబంధించిన ప్రమాణాల సంఖ్యను, వెడల్పుకు సంబంధించిన ప్రమాణాల సంఖ్యతో గుణిస్తే వచ్చే లబ్ధం ఆ దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం యొక్క చదరపు ప్రమాణాల సంఖ్యకు సమానం.
1. ఒక దీర్ఘచతురస్రాకార స్థలం వెడల్పుకు దాని ఇంకో సగం కలిపితే పొడవు వస్తుంది. దాని వైశాల్యం హెక్టారులు అయితే పొడవు ఎంత?
సాధన: వెడల్పు = x మీ. అనుకుంటే,
2. ఒక దీర్ఘచతురస్రాకారపు కాగితాన్ని ఒక జత భుజాలతో రెండు సర్వసమాన భాగాలుగా మడిస్తే దాని చుట్టుకొలత 34 సెం.మీ. మిగతా జత భుజాలతో మడిస్తే అది 38 సెం.మీ. అయితే కాగితం వైశాల్యాన్ని కనుక్కోండి.
3. ఒక దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం, పొడవులు వరుసగా 90 చ.సెం.మీ., 15 సెం.మీ. అయితే వెడల్పును కనుక్కోండి.
సాధన: A = l × b
90 = 15b
b = 6 సెం.మీ.
ఒక దీర్ఘచతురస్రం చుట్టూ ఒకే వెడల్పు(w) గల బాట బయటివైపు ఉంటే
i) బయటి దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం = (l + 2w) (b + 2w) చ.యూ.
ii) లోపలి దీర్ఘ చతురస్ర వైశాల్యం = lb చ.యూ.
iii) బాట వైశాల్యం = బయటి దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం - లోపలి దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం
= (l + 2w)(b + 2w) - lb
= 2w(l + b + 2w) చ.యూ.
ఒక దీర్ఘచతురస్రం చుట్టూ ఒకే వెడల్పు(w)గల బాట లోపలివైపు ఉంటే
i) బయటి దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం = lb చ.యూ.
ii) లోపలి దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం = (l - 2w)(b - 2w)
iii) బాట వైశాల్యం = lb - (l - 2w)(b - 2w) చ.యూ.
= 2w(l + b - 2w) చ.యూ.
1. ఒక దీర్ఘచతురస్రాకార ప్లాట్ చుట్టూ 2 మీటర్లు గల బాట బయటివైపు ఉంది. దీర్ఘచతురస్రం పొడవు 20 మీ. వెడల్పు 15 మీ. అయితే ఆ బాట వైశాల్యం ఎంత? (చ.మీ.లలో)
సాధన: ఇచ్చిన దీర్ఘచతురస్రం కొలతలు = 20 మీ., 15 మీ.
బాట దాని బయట చుట్టూ ఉండటం వల్ల బయటి దీర్ఘచతురస్రం
కొలతలు 20 + 2(2) మీ.,15 + 2(2) మీ.
అనుకుంటే 24 మీ., 19 మీ.
కాబట్టి బయటి దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం = 24 × 19 చ.మీ. = 456 చ.మీ.
లోపలి దీర్ఘ చతురస్ర వైశాల్యం = 20 × 15 చ.మీ. = 300 చ.మీ.
బాట వైశాల్యం = 456 - 300 చ.మీ. = 156 చ.మీ.