స్పర్శరేఖలు, ఛేదనరేఖలు

* ఒక సరళరేఖ వృత్తాన్ని రెండు వేర్వేరు బిందువుల వద్ద ఖండిస్తే ఆ సరళరేఖను ఆ వృత్తం ఛేదనరేఖ అంటారు.
* వృత్తాన్ని ఒకే ఒక బిందువు వద్ద తాకే సరళరేఖను ఆ బిందువు స్పర్శరేఖ అంటారు.

 
           
* వృత్తాకార వస్తువు పయనించే మార్గాన్ని స్పర్శరేఖ అంటారు.
* ఒక వృత్తానికి, రేఖకి మధ్య కింది సందర్భాలు ఉంటాయి.

 
                

సందర్భం i): ఒకటో పటంలో వృత్తానికి, సరళరేఖకు మధ్య ఉమ్మడి బిందువు లేదు. అంటే అవి రెండూ
స్పృశించుకోవడం లేదు.
సందర్భం ii): రెండో పటంలో అనే సరళరేఖ వృత్తాన్ని P, Q బిందువుల వద్ద ఖండిస్తుంది. కాబట్టి A, B సరళరేఖ ఆ వృత్తానికి ఛేదనరేఖ అవుతుంది.
సందర్భం iii): మూడో పటంలో    అనే సరళరేఖ వృత్తాన్ని ఒకే ఒక బిందువు వద్ద తాకుతుంది. కాబట్టి
  వృత్తానికి ఒక స్పర్శరేఖ అవుతుంది.
* వృత్తానికి ఒక బిందువు వద్ద ఒకే ఒక స్పర్శరేఖ ఉంటుంది.
* స్పర్శరేఖ వృత్తాన్ని తాకే బిందువును స్పర్శ బిందువు అంటారు.
* వృత్తానికి గీసిన స్పర్శరేఖకు దాని వ్యాసార్ధం లంబంగా ఉంటుంది.
* బాహ్య బిందువు నుంచి వృత్తానికి రెండు స్పర్శరేఖలను గీయగలం.
* బాహ్య బిందువు నుంచి వృత్తానికి గీసిన స్పర్శరేఖల పొడవులు సమానం.
 O కేంద్రం r వ్యాసార్ధం ఉన్న వృత్తం కేంద్రం నుంచి d దూరంలో ఒక బిందువు P నుంచి ఆ వృత్తానికి గీయగల స్పర్శరేఖ పొడవు  

యూనిట్లు.

* ఒకే బాహ్య బిందువు నుంచి వృత్తానికి గీసిన స్పర్శరేఖలు ఆ వృత్త కేంద్రం వద్ద సమాన కోణాలను ఏర్పరుస్తాయి.
* వృత్తం లోపల అంతర్లిఖించిన చతుర్భుజాన్ని చక్రీయ చతుర్భుజం అంటారు.
* చక్రీయ చతుర్భుజంలో ఎదురెదురు కోణాలు సంపూరకాలు.
* ఒక వృత్త బాహ్య బిందువు నుంచి ఆ వృత్తం యొక్క జ్యా చివరి బిందువులకు కలిపిన స్పర్శరేఖలు ఆ జ్యాతో సమాన కోణాలను ఏర్పరుస్తాయి.
* ఒక వృత్త వ్యాసం యొక్క చివరి బిందువులకు స్పర్శ బిందువులుగా ఉన్న స్పర్శరేఖలు సమాంతరాలు.

 
                                                       

* O కేంద్రంగా ఉన్న ఏకకేంద్ర వృత్తాల్లో చిన్న వృత్తానికి, P వద్ద స్పర్శరేఖ, పెద్ద వృత్తానికి జ్యా అయితే, AP = PB అవుతుంది.

 

                                                         
* ఒక వృత్తానికి స్పర్శరేఖలు అనంతం.
* ఒక బిందువు నుంచి ఒక వృత్తానికి గీయగల స్పర్శరేఖల సంఖ్య ఆ బిందువు స్థానాన్ని బట్టి ఉంటుంది.

 
              

i) బిందువు వృత్తం లోపల ఉంటే ఆ బిందువు గుండా వృత్తానికి స్పర్శరేఖలు గీయలేం.
ii) బిందువు వృత్తంపై ఉంటే, ఆ బిందువు గుండా ఒక స్పర్శరేఖను మాత్రామే గీయగలం.
iii) బిందువు వృత్తానికి బాహ్యంగా ఉంటే ఆ బిందువు నుంచి వృత్తానికి రెండు సమాన పొడవులు ఉన్న స్పర్శరేఖలను గీయవచ్చు.
 ఒక జ్యా వృత్తాన్ని రెండు భాగాలుగా విభజిస్తుంది.

 
     
* ఛేదనరేఖ l జ్యా, వృత్త చాపాల మధ్య ఉన్న ప్రాంతాన్ని 'వృత్త ఖండం' అంటారు.
* అల్పచాపంతో ఏర్పడిన వృత్తఖండాన్ని 'అల్పవృత్త ఖండం' అంటారు.
* వృత్తం పరిధిలో అర్ధభాగంతో ఏర్పర్చిన వృత్త ఖండాన్ని 'అర్ధవృత్త ఖండం' అంటారు.
* అధిక చాపంతో ఏర్పడిన వృత్త ఖండాన్ని 'అధిక వృత్త ఖండం' అంటారు. 
* O కేంద్రంగా ఉన్న వృత్తానికి OA, OBలు వ్యాసార్ధాలు (r) x అనేది AB చాపం వృత్త కేంద్రం వద్ద చేసే కోణం అయితే,
* ABP వృత్తఖండ వైశాల్యం = AOB సెక్టార్ వైశాల్యం - ΔOAB వైశాల్యం

 

అంటే APB వృత్తఖండం వైశాల్యం =
(oAPB సెక్టార్ వైశాల్యం) - (ΔOAB వైశాల్యం)

 

* అధిక వృత్తఖండ వైశాల్యం = వృత్తవైశాల్యం - అల్పవృత్తఖండ వైశాల్యం.

 

 ఒక చక్రం ఒక పూర్తి భ్రమణం చేసినప్పుడు అది ప్రయాణించిన దూరం = చక్రం పరిధి లేదా చుట్టుకొలత.

 

* స్పర్శరేఖ (Tangent) అనే పదాన్ని పరిచయం చేసిన వ్యక్తి 'థామస్ పింక్'.
 

వృత్తానికి సంబంధించిన కొన్ని ప్రాథమిక భావనలు:

వృత్తం చుట్టుకొలత: 2πr (లేదా) πd
వైశాల్యం: πr²
పద వివరణ: r = వ్యాసార్ధం
                  2r = d = వ్యాసం
 

2) అర్ధవృత్తం:
    చుట్టుకొలత πr + 2r
    వైశాల్యం = 1/2 πr²
    ఇక్కడ r = వ్యాసార్ధం 

3) కంకణం
    (షేడ్ చేసిన భాగం)
     వైశాల్యం = π (R² - r²) 
     ఇక్కడ R = బయటి వృత్త వ్యాసార్ధం 
                 r = లోపలి వృత్త వ్యాసార్ధం

4) సెక్టారు:
చుట్టుకొలత = l + 2r
లేదా

  

       లేదా    1/2lr

ఇక్కడ, θ = సెక్టారు కోణం
.^.. r = సెక్టార్ వ్యాసార్ధం
    l = చాపం పొడవు

5) వృత్త ఖండం: 

 

    ఇక్కడ r = వ్యాసార్ధం
          θ = సంబంధిత సెక్టారు కోణం

ఉదాహరణలు:
1. ఒక లోలకం 60º కోణంలో డోలనాలు చేస్తుంది. అది ఏర్పరిచే చాపం పొడవు 8.8 సెం.మీ. అయితే లోలకం పొడవు (సెం.మీ.లలో) ఎంత?

సాధ‌న‌:

r = 8.4 సెం.మీ.
∴ లోలకం పొడవు = 8.4 సెం.మీ.

2. వృత్త వ్యాసార్ధం 3 సెం.మీ. ఉన్న వృత్తానికి బాహ్య బిందువు నుంచి గీసిన స్పర్శరేఖల మధ్య కోణం 60ళ అయితే ఒక్కో స్పర్శరేఖ పొడవు ఎంత?
సాధన:
   
  
3. పటం నుంచి PA, PB సర్శరేఖల పొడవులు వరుసగా (సెం.మీ.లలో)
సాధన: Δ BOP లంబ త్రిభుజం కాబట్టి 

4. పటం నుంచి స్పర్శ రేఖ PT పొడవు సెం.మీ.లలో

సాధన:
   

      PT = 24 సెం.మీ.
 

5. పక్క పటం నుంచి BAC = ?
సాధన:
    BAC = 1/2 (BOC)

                   = 1/2 × 60° 
                   = 30° 

6. పటం నుంచి x°  = ?
సాధన: ఒకే వృత్త ఖండంలోని కోణాలు సమానం
∴ x = 60° 

7. ఒక కాగితం ABCD దీర్ఘచతురస్రాకారంగా ఉంది. AB = 20 సెం.మీ. BC = 14 సెం.మీ. BC వ్యాసంగా ఒక అర్ధవృత్తకార కాగితం ముక్కను కత్తిరిస్తే మిగిలిన కాగితం ముక్క వైశాల్యం చ.సెం.మీ.లలో
సాధన: దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం = AB × BC 
                         = 20 ×  14
                         = 280 సెం.మీ.²
 అర్ధవృత్త వ్యాసం = 14 సెం.మీ.
                         r = 7 సెం.మీ.
ABCD నుంచి కత్తిరించిన కాగితం వైశాల్యం = 1/2 πr² = 1/2 × 22/7 × (7²)
                                   = 77 సెం.మీ.²
∴ మిగిలిన కాగితం వైశాల్యం
= (ABCD) వైశాల్యం - అర్ధవృత్త వైశాల్యం
= 280 - 77  సెం.మీ.²
= 203 సెం.మీ.²

8. పటం నుంచి a విలువ = ?
సాధన: a = 2 × 40º
        ∴ a = 80º
 

9. పటంలో ABCD ఒక చతురస్రం. దాని భుజం పొడవు 7 సెం.మీ. APD, BPCలు అర్ధవృత్తాలు అయితే, షేడ్ చేసిన ప్రాంత వైశాల్యం (చ.సెం.మీ.లలో)
సాధన: ABCD చతురస్రం భుజం పొడవు 7 సెం.మీ.
షేడ్ చేసిన ప్రాంత వైశాల్యం = (ABCD వైశాల్యం) - 2 (అర్ధవృత్త వైశాల్యం)
   = (r²) - 2(1/2πr²)
  
  = 10.5 సెం.మీ.²

10. పక్క పటంలో 0 వృత్త కేంద్రం. AB ఒక జ్యా, B స్పర్శ బిందువుగా PB ఒక స్పర్శ రేఖ అయితే, O నుంచి ABకు ఉన్న లంబదూరం.

                         
                     
                         
11. XP, XQ, ARBలు O కేంద్రంగా ఉన్న వృత్తానికి గీసిన స్పర్శరేఖలు అయితే, XA + AR = ?
సాధన: ఇచ్చిన పటం నుంచి
XA = XP − AP .........(1)
XB = XQ − BQ .......(2)
AR = AB − BR ...............(3)
BR = AB − AR.........(4)
XP = XQ (బాహ్య బిందువు నుంచి గీసిన స్పర్శ రేఖలు సమానం)

AB = AR + BR ...........(5)

XQ = XB + BQ.......(6)
AR = AP .............(7)
XA + AR = XP − AP + AB − BR
                     = XQ − AP + AR + BR − BR
                     = XB + BQ − AP + AP
                     = XB + BR
 

12. పక్క పటం నుంచి, AB = CD అని చూపండి.
సాధన: వృత్త వ్యాసార్ధం స్పర్శ బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖకు లంబంగా ఉంటుంది. AC, DBలను కలిపితే,
ΔAEC, ΔDEBలలో
EAC = 90°, BDE = 90°
ΔEAC ≅ ΔBDE
AB = CD
∴ AB పొడవు = CD పొడవు.

13. C₁, C₂ లు ఏక కేంద్ర వృత్తాలు. వృత్తం C₁ కు ఉన్న జ్యా ABC₂ కు స్పర్శరేఖ అయితే AB సమద్వి ఖండన రేఖ అని చూపండి.
సాధన: OP వ్యాసార్ధం, APB ఒక స్పర్శరేఖ.
⇒ OP⊥AB
పెద్ద వృత్తానికి O కేంద్రం, AB జ్యా, OP⊥AB
OP, AB ను సమద్విఖండన చేస్తుంది.
P వద్ద AB సమద్విఖండన అవుతుంది.

14. సమద్వి బాహు త్రిభుజం ABC లలో AB = AC. ఒక వృత్తం ఆ త్రిభుజంలో అంతర్లిఖిస్తే సమాద్వి ఖండన రేఖలను కనుక్కోండి.
సాధన: AX = AY; BX = BZ, CZ = CY
(∵ వృత్త బాహ్య బిందువు నుంచి ఆ వృత్తానికి గీసిన స్పర్శరేఖలు సమానం)
AB = AC (దత్తాంశం)
= AX + XB = AY + YC
= XB = YC (∵ AX = AY)
= BZ = CZ (∵ BX = BZ, CY = CZ)
∴ BC మధ్య బిందువు Z
అంటే BCని Z సమద్విఖండన చేస్తుంది అలాగే ACని y సమద్విఖండన చేస్తుంది, AC ని x సమద్వి ఖండవ చేస్తుంది.

15. పక్క పటంలో BC = 4.5 సెం.మీ. అయితే AB పొడవు?
సాధన: CA = CP, CB = CP
           = CA = CB = 4.5 సెం.మీ.
        ∴ AB = AC + CB = 4.5 + 4.5
                                    = 9 సెం.మీ.
 

16. పక్క పటంలో బయటి వృత్త వ్యాసార్ధం 5 సెం.మీ. లోపలి వృత్త వ్యాసార్ధం 3 సెం.మీ. లోపలి వృత్తానికి స్పర్శరేఖ అయ్యే బయటి వృత్తం యొక్క జ్యా పొడవు ఎంత?
సాధన: OA = 5 సెం.మీ. OP = 3 సెం.మీ.
           OP ⊥ AB
          ΔOPAలో, OA² = OP² + AP²
       

                           = 4 సెం.మీ.

17. పక్క పటంలో PQ ఒక స్పర్శ రేఖ, O వృత్త కేంద్రం ∠OAB = 30° అయితే ∠ABP + ∠AOB = ?
సాధన: స్పర్శరేఖ స్పర్శ బిందువు వద్ద ఆ వృత్త వ్యాసార్ధం లంబంగా ఉంటుంది.
           OBA = 90° − 30° = 60°
         AOB = 180° − 90° = 90°
         (త్రిభుజంలో 3 కోణాల మొత్తం 180°)
          ABP = 30°
           AOB + ABP = 90° + 30° = 120°
 

18. 6 సెం.మీ.ల భుజం పొడవు ఉన్న చతురస్రంలో అంతర్లిఖించబడిన వృత్త వైశాల్యం (సెం.మీ.²ల్లో)?
సాధన: వృత్త వైశాల్యం = πr²
                                     = π × 3 × 3 సెం.మీ.²
                                     = 9π సెం.మీ.²

19. వృత్త కేంద్రం నుంచి 12 సెం.మీ.ల దూరంలో ఉన్న బిందువు నుంచి 5 సెం.మీ.ల వ్యాసార్ధం ఉన్న వృత్తానికి గీయతగిన స్పర్శరేఖ పొడవు (సెం.మీ.లలో)

20. 7/2 సెం.మీ. వ్యాసార్ధం ఉన్న వృత్తంలో నాలుగో వంతు భాగం చుట్టుకొలత?

                     = 12.5 సెం.మీ.

21. 6 సెం.మీ. వ్యాసార్ధం ఉన్న వృత్త కేంద్రానికి 8 సెం.మీ. దూరంలో ఉన్న ఒక బిందువు నుంచి గీయ గలిగిన స్పర్శరేఖ పొడవు సెం.మీ.లలో

22. పక్క పటంలో లోపలి వృత్తపరిధి 353 మీ. బయటి వృత్తపరిధి 396 మీ. అయితే షేడ్ చేసిన ప్రాంతం వెడల్పు (మీ.లలో)?
సాధన: 2πR = 396 మీ., 2πr = 352 మీ.
            R = 63 మీ., r = 56 మీ.
            బాట వెడల్పు = R − r
                                = (63 - 56) మీ.
                                = 7 మీ.
   షేడ్ చేసిన ప్రాంతం వెడల్పు = 7 మీ.