త్రిభుజాలు - మిళిత బిందువులు

త్రిభుజ మధ్యగతరేఖ
 మధ్యగతరేఖ: త్రిభుజంలో ఒక శీర్షం నుంచి ఎదుటి భుజం మధ్య బిందువుకు గీసిన రేఖా ఖండాన్ని 'మధ్యగతరేఖ' అంటారు. ఒక త్రిభుజం మూడు మధ్యగత రేఖలను కలిగి ఉంటుంది.
పక్క పటంలో త్రిభుజం ABCలో AD ఒక మధ్యగతరేఖ.
 D అనేది భుజం    మధ్య బిందువు కాబట్టి BD = DC
 AB² + AC² = 2 (AD² + BD²)
గురుత్వకేంద్రం: త్రిభుజంలోని మధ్యగతరేఖల మిళిత బిందువును 'గురుత్వకేంద్రం' లేదా 'గరిమనాభి' అంటారు. దీన్ని G తో సూచిస్తారు.
త్రిభుజ గురుత్వకేంద్రం ప్రతి మధ్యగతరేఖను త్రిథాకరిస్తుంది.
త్రిథాకరణ బిందువు: ఒక రేఖాఖండాన్ని 2 : 1 లేదా 1 : 2 నిష్పత్తిలో విభజించే బిందువులను 'త్రిథాకరణ బిందువులు' అంటారు.

 
                        
 P అనే బిందువు AB ను 1 : 2 లేదా 2 : 1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది. కాబట్టి P ను 'త్రిథాకరణ బిందువు' అంటారు.

త్రిభుజ ఉన్నతి: ఒక త్రిభుజంలో శీర్షం నుంచి ఎదుటి భుజానికి గీసిన లంబరేఖను 'ఉన్నతి' అంటారు. ఒక త్రిభుజం మూడు ఉన్నతులను కలిగి ఉంటుంది.

 
                             
 త్రిభుజ ఉన్నతుల మిళిత బిందువును 'లంబకేంద్రం' అంటారు. దీన్ని O లేదా H తో సూచిస్తారు.
 లంబకోణం త్రిభుజంలో లంబకోణ శీర్షం లంబకేంద్రం అవుతుంది.
త్రిభుజాల సర్వసమానత్వం: రెండు త్రిభుజాలు సర్వసమానాలైతే సదృశ భుజాలు, సదృశ కోణాలు సమానంగా ఉంటాయి. ఆ రెండు త్రిభుజాలను సర్వసమాన త్రిభుజాలు అంటారు

 

                                

ΔABC, ΔEFGలో
    A = E,        B = F,      C = G సదృశ శీర్షాలు
A = E, B = F, C = G సదృశ కోణాలు
   సదృశ భుజాలు
రెండు త్రిభుజాలు సర్వసమానం కావడానికి ఆవశ్యక - పర్యాప్త నియమాలు

i) భుజం - భుజం - భుజం సర్వసమానత్వ నియమం(భు.భు.భు.): రెండు త్రిభుజాల్లో ఒక త్రిభుజంలోని మూడు భుజాల కొలతలు వరుసగా రెండో త్రిభుజంలోని సదృశ భుజాల కొలతలకు సమానమైతే ఆ రెండు త్రిభుజాలు సర్వసమానం.
 

ii) భుజం - కోణం - భుజం సర్వసమానత్వ నియమం (భు.కో.భు.): రెండు త్రిభుజాల్లో ఒక త్రిభుజంలోని రెండు భుజాలు, వాటి మధ్య కోణం వరుసగా రెండో త్రిభుజంలోని సదృశ భుజాలు, వాటి మధ్య కోణానికి సమానమైతే ఆ త్రిభుజాలు సర్వసమానాలు.
 

iii) కోణం - భుజం - కోణం సర్వసమానత్వ నియమం (కో.భు.కో.): రెండు త్రిభుజాల్లో ఒక త్రిభుజంలోని రెండు కోణాలు, వాటి ఉమ్మడి భుజం వరుసగా రెండో త్రిభుజంలోని సదృశకోణాలు, వాటి ఉమ్మడి భుజానికి సమానమైతే ఆ త్రిభుజాలు సర్వసమానాలు.
 

iv) లంబకోణం - కర్ణం - భుజం సర్వసమానత్వ నియమం: రెండు లంబకోణ త్రిభుజాల్లో ఒక త్రిభుజంలోని కర్ణం, ఒక భుజం వరుసగా రెండో త్రిభుజంలోని కర్ణం, సదృశ భుజానికి సమానమైతే ఆ త్రిభుజాలు సర్వసమానాలు.

సరూప త్రిభుజాలు: రెండు త్రిభుజాలు సరూపాలు కావాలంటే......
 1. వాటి అనురూప కోణాలు సమానంగా ఉండాలి.
2. వాటి అనురూప భుజాలు ఒకే నిష్పత్తిలో ఉండాలి.

 
   
    .^.. ΔABC ∼ ΔDEF
 పై రెండు నియమాల్లో ఒక నియమం తృప్తి చెందుతుంది. రెండోది తదనుగుణంగా తృప్తి చెందుతుంది.
 ప్రసిద్ధిగాంచిన గ్రీకు గణిత శాస్త్రవేత్త థేల్స్ ప్రవచనం ప్రకారం ఏవైనా రెండు త్రిభుజాల్లో అనురూప కోణాలు సమానంగా ఉంటే ఆ త్రిభుజాల పరిమాణాలతో సంబంధం లేకుండా వాటి అనురూప భుజాల నిష్పత్తులు సమానంగా ఉంటాయి.
 ఒక త్రిభుజంలో ఒక భుజానికి సమాంతరంగా గీసిన రేఖ మిగిలిన రెండు భుజాలను వేర్వేరు బిందువులతో ఖండిస్తే, ఆ మిగిలిన రెండు భుజాలు ఒకే నిష్పత్తిలో విభజితమవుతాయి.
 ΔABC లో DE // BC అయితే   . దీన్నే 'థేల్స్ సిద్ధాంతం' లేదా 'ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంతం' అంటారు.
 ఒక త్రిభుజంలో ఏవైనా రెండు భుజాలను ఒకే నిష్పత్తిలో విభజించే సరళరేఖ మూడో భుజానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది.

ΔABCలో  

 అయితే DE // BC అవుతుంది. దీన్నే 'థేల్స్ సిద్ధాంత విపర్యయం' లేదా 'ప్రాథమిక సిద్ధాంత విపర్యయం' అంటారు.
 రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సమాంతర రేఖలు రెండు తిర్యక్‌రేఖలతో ఖండితమైతే, ఆ ఖండితాలైన ఖండన బిందువులతో ఏర్పడే అనురూప రేఖా ఖండాలు అనుపాతంలో ఉంటాయి.
అంటే   
 

త్రిభుజాల సరూపతా సిద్ధాంతాలు
కో.కో.కో. సిద్ధాంతం: రెండు త్రిభుజాల్లో మొదటి త్రిభుజం మూడు కోణాలు, రెండో త్రిభుజంలోని మూడు కోణాలకు సమానమైతే అవి సరూపాలవుతాయి.

 
                          

ΔABC, ΔPQRలో A = P, B = Q,

C = R అయితే ΔABC  ΔPQR

భు.భు.భు. సిద్ధాంతం: రెండు త్రిభుజాల అనురూప భుజాలు ఒకే నిష్పత్తిలో ఉంటే ఆ త్రిభుజాలు సరూపాలు.

 
           
భు.కో.భు. సిద్ధాంతం: రెండు త్రిభుజాల్లో వాటి అనురూప భుజాలు అనుపాతంలో ఉండి, ఆ భుజాల మధ్య కోణాలు సమానమైతే ఆ రెండు త్రిభుజాలు సరూపాలు.

  
        
దీన్నే భు.కో.భు. సరూపత అంటారు.

 రెండు త్రిభుజాల అనురూప కోణాలు సమానమై, ఆ కోణాల సమద్విఖండన రేఖలు ఎదుటి భుజాలను సమద్విఖండన చేస్తే ఆ త్రిభుజాలు సరూపాలు.
 రెండు త్రిభుజాలు సరూపాలైతే వాటి అనురూప భుజాల నిష్పత్తి....
  వాటి అనురూప మధ్యగత రేఖల నిష్పత్తికి సమానం.
 వాటి అనురూప భుజాల ఉన్నతుల నిష్పత్తికి సమానం.

 వాటి అనురూప కోణ సమద్విఖండన రేఖల నిష్పత్తులకు సమానం.
సరూప త్రిభుజాల వైశాల్యాల నిష్పత్తి: రెండు సరూప త్రిభుజాల వైశాల్యాల నిష్పత్తి వాటి అనురూప భుజాల వర్గాల నిష్పత్తికి సమానం.

 

 ఒక చతురస్రంలోని భుజం, కర్ణం ఆధారంగా రెండు సమబాహు త్రిభుజాలను గీస్తే ఆ భుజంతో ఏర్పడిన సమబాహు త్రిభుజ వైశాల్యం = 1/2 .
  ఒక లంబకోణ త్రిభుజంలో అన్ని భుజాల ఆధారంగా సమబాహు త్రిభుజాలను నిర్మిస్తే కర్ణంతో ఏర్పడిన సమబాహు త్రిభుజాల వైశాల్యాల మొత్తానికి సమానం.
 ఒక లంబకోణ త్రిభుజంలో, లంబకోణం కలిగిన శీర్షం నుంచి కర్ణానికి లంబం గీస్తే, ఆ లంబానికి ఇరువైపులా ఏర్పడిన త్రిభుజాలు ఇచ్చిన త్రిభుజానికి సరూపాలు, ఒక దానికొకటి కూడా సరూపాలు.
 ΔABDలో  B = 90^o, BD AC అయితే
   ΔADB ~ ΔBDC ~ ΔABC, BD² = AD. DC

 * ఒక త్రిభుజ భుజాల వర్గాల మొత్తానికి మూడు రెట్లు ఆ త్రిభుజ మధ్యగత రేఖల వర్గాల మొత్తానికి గల 4 రెట్లకు సమానం.
అంటే 3(AB² + BC² + AC²) = 4 (AD² + BE² + CF²)
* ఒక రాంబస్‌లోని భుజాల వర్గాల మొత్తం, దాని రెండు కర్ణాల వర్గాల మొత్తానికి సమానం.
అంటే AB² + BC² + CD² + AD²  = AC² + BD²
 * రెండు సరూప త్రిభుజాల చుట్టుకొలతల నిష్పత్తి, ఆ సరూప త్రిభుజాల అనురూప భుజాల నిష్పత్తికి సమానం.
* ఒక త్రిభుజ భుజాల మధ్య బిందువులను కలపగా ఏర్పడే త్రిభుజ వైశాల్యం, అసలు త్రిభుజ వైశాల్యంలో నాలుగోవంతు ఉంటుంది. అంటే (ΔDEF) వైశాల్యం = 1/4 (ΔABC) వైశాల్యం.
* రెండు సరూప త్రిభుజాల వైశాల్యాల నిష్పత్తి ఆ రెండు త్రిభుజాల చుట్టుకొలతల వర్గాల నిష్పత్తికి సమానం.

 

                                                  
* ఒక త్రిభుజంలోని రెండు భుజాలను ఒకే నిష్పత్తిలో విభజించే సరళరేఖ మూడో భుజానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది.
 ABCలో D, Eలు AB, AC లపై ఉండే బిందువులు, DE // BC అయితే
     .
* ఒక త్రిభుజంలో శీర్షకోణ సమద్విఖండన రేఖ ఎదుటి భుజాన్ని మిగిలిన రెండు భుజాల నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
 * ఒక లంబకోణ త్రిభుజంలో లంబకోణం కలిగిన శీర్షం నుంచి కర్ణానికి లంబం గీస్తే, ఆ లంబానికి ఇరువైపులా ఏర్పడిన త్రిభుజాలు, ఇచ్చిన త్రిభుజానికి సరూపాలు, అవి ఒకదానికొకటి సరూపాలు.
     ΔABCలో B = 90^o, BD   AC
.^.. ΔADB ~ ΔBDC ~ ΔABC, BD² = AD.DC
ఇక్కడ BDను AD, DCల అనుపాత మధ్యమం అంటారు.

పైథాగరస్ సిద్ధాంతం: ఒక లంబకోణ త్రిభుజంలో కర్ణం మీది వర్గం మిగిలిన రెండు భుజాల వర్గాల మొత్తానికి సమానం.
 పైథాగరస్ సిద్ధాంత విపర్యయం: ఒక త్రిభుజంలో ఒక భుజం మీది వర్గం మిగిలిన రెండు భుజాల వర్గాల మొత్తానికి సమానమైతే ఆ త్రిభుజం లంబకోణ త్రిభుజం.
 పక్క పటంలో B = 90^o
 .^.. AC² = AB² + BC²
 కింది పటంలో AC² = AB² + BC² కాబట్టి B = 90^o

 

                                 

 

త్రిభుజ నిర్మాణాలు: ఒక త్రిభుజాన్ని నిర్మించడానికి మూడు స్వతంత్ర కొలతలు కావాలి. అవి:
i) మూడు భుజాల కొలతలు
ii) రెండు భుజాల కొలతలు, వాటి మధ్యకోణం
iii) రెండు భుజాల కొలతలు, వాటి మధ్య లేని కోణం.
iv) రెండు కోణాలు, వాటి మధ్య భుజం కొలత
v) లంబకోణ త్రిభుజంలో కర్ణం, ఒక భుజాన్ని ఇచ్చినపుడు
* ఒక త్రిభుజాన్ని నిర్మించేందుకు మూడు స్వతంత్ర కొలతలు కావాలి.
* సమద్విబాహు త్రిభుజాన్ని నిర్మించేందుకు రెండు కొలతలు కావాలి.
* సమబాహు త్రిభుజాన్ని నిర్మించేందుకు ఒక కొలత కావాలి.
* లంబకోణ త్రిభుజాన్ని నిర్మించేందుకు రెండు కొలతలు అవసరం.

మాదిరి ప్రశ్నలు

1. ఒక త్రిభుజంలోని రెండు కోణాల కొలతలు 116º, 30º అయితే మూడో కోణం ఎంత?
సాధన: రెండు కోణాల కొలతలు = 116º, 30º
            మూడో కోణం = 180º − (116º + 30º)
                                = 180º − 146º
                                = 34º
 

2. పక్కపటంలో ∠ABD = 3 ∠DAB, ∠BDC = 96º అయితే ∠ABD = ?
సాధన: త్రిభుజం ABDలో ∠ABD + ∠DAB + ∠BDA = 180°
        ⇒ ∠ABD + 1/3 ∠ABD + (180º − 96º) = 180º 
        ⇒ 4∠ABD / 3 = 180º - 84º = 96º 
   ∠ABD = 96 × 3/4 = 72º
 

3. ∠PQR లో ∠P = 2∠Q, 2∠R = 3∠Q అయితే ∠R = ?
సాధన: ∠P + ∠Q + ∠R = 180º 
             4/3 ∠R + 2/3 ∠R + ∠R = 180º 
         2∠R = 3∠Q ⇒ ∠Q = 2/3∠R
       ∠P = 2∠Q ⇒ ∠P = 2 × 2/3 ∠R = 4/3 ∠R

⇒ 9/3 ∠R = 180º  

⇒ R = 60º 
 

4. పక్క పటంలో xº , yº విలువలు కనుక్కొండి.
సాధన: x° = 180º − (40º + 107º)
                 = 180º − 147º
                 = 33º
         xº + 65º + yº = 180º
        ⇒ 33º + 65º + yº = 180º
        ⇒ yº = 180º − 98º = 82º
               x = 33º, y = 82º

5. ΔABC లో AD, BE లు రెండు మధ్యగత రేఖలు, BD // DF అయితే CF = ?
సాధన: ΔABCలో BC మధ్య బిందువు D, BE // DF. త్రిభుజ భుజాల మధ్య బిందువు సిద్ధాంతం ప్రకారం CE మధ్య బిందువు F అవుతుంది.

   
6. పక్క పటంలో AB = AC, AC = CD అయితే ∠BAD : ∠ADB కోణాల నిష్పత్తి ఎంత?
సాధన: ∠ADB = x అనుకొనుము
            ΔACDలో AC = CD ∠CAD
          బాహ్యకోణం ∠ACB = ∠CAD + ∠CDA
                                        = x + x = 2x
              ∠BAC = ∠ACB = 2x       (∴ ΔABC లో AB = BC) 
             ∴ ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD = 2x + x = 3x
              
                          

                               = ∠BAD : ∠ADB = 3 : 1

7. ΔXYZ ≅ ΔDEF, XZ = 6 cm, DE = 5 cm, ΔXYZ చుట్టుకొలత 15 cm అయితే ΔDEF చుట్టుకొలత?
సాధన: ΔXYZ ≅ ΔDEF
                  XY = DE, YZ = EF, XZ = DF
                 XY = 5 cm, XZ = 6 cm
                 XY + YZ + ZX = 15 cm
                     5 + YZ + 6 = 15
                           YZ + 11 = 15
                                   YZ = 15 − 11 = 4 cm
                          YZ = EF = 4 cm
                          XZ = DF = 6 cm
                                    DE = 5 cm
          ∴ ΔDEF చుట్టుకొలత = DE + EF + DF
                                            = 5 + 4 + 6 = 15 cm

8. ΔABC ≅ ΔXYZ, x = 60º అయితే ∠B + ∠C విలువ ఎంత?
సాధన: ΔABC ≅ ΔXYZ కాబట్టి ∠A = ∠x, ∠B = ∠y, ∠C = ∠z
             ∠A + ∠B + ∠C = 180º
         ∠x + ∠B + ∠C = 180º (∴ ∠A = ∠x)
              60° + ∠B + ∠C = 180º (∴ ∠x = 60º)
              ∠B + ∠C = 180º − 60º = 120º
 

9. ΔABCలో DE//BC, AE = 1.8 cm, EC = 5.4 cm, DB = 7.2 cm అయితే AD పొడవు ఎంత?

 

10. పక్క పటంలో LM // AB, AL = x − 3, AC = 2x, BM = x − 2, BC = 2x + 3 అయితే x విలువ ఎంత?

           (2x + 3)(x − 3) = 2x(x − 2)
           2x2 − 6x + 3x − 9 = 2x2 − 4x
                             −3x − 9 = −4x
                             −3x + 4x = 9
                                 ∴ x = 9

11. 2AB = DE, BC = 8 cm అయ్యేవిధంగా ΔABC, ΔDEFలు సరూపాలు. అయితే EF పొడవు (సెం.మీ.లలో)?
సాధన: 2AB = DE, BC = 8 cm
             ΔABC ∼ ΔDEF
         
                EF = 16 cm
 

12. ΔABC లో DE // BC, AD = 1.5 cm, BD = 2 AD అయితే (ΔADF) వైశాల్యం: (ట్రెపీజియం BCED) = ?
సాధన: AD = 1.5, BD = 2(1.5) = 3 cm
            AB = AD + BD
                   = 1.5 + 3 = 4.5 cm
         ΔADE, ΔABC లలో
         ∠A = ∠A (ఉమ్మడి కోణాలు)
       ΔADE = ΔABC (సాదృశ్య కోణాలు)
        ΔADE ∼ ΔABC( A.A సరూపత)

13. పక్క పటంలో QA  AB, PB  AB, AO = 20 cm, BO = 12 cm, PB = 18 cm అయితే AQ = ?
సాధన: ΔAQO, ΔBPO లలో
           ∠AOQ = ∠BOQ (శీర్షాభిముఖ కోణాలు)
            ∠A = ∠B = 90°
           ∴ ΔAQD ∼ ΔBPO
       
            AQ = 30 cm

14. త్రిభుజం ABCలో PQ // BC, ΔAPQ, ట్రెపీజియం (PQCB)ల వైశాల్యాలు సమానమైతే BP : AB = ?
సాధన: ΔAPQ ∼ ΔABC
      

15. ΔABC లో PQ // BCఅయితే మధ్యగత రేఖ ADని సమద్విఖండన చేసేది?
సాధన: AD మధ్యగతం PQను E వద్ద ఖండించిందనుకుంటే
            PQ // BC (దత్తాంశం నుంచి)
          ∠APE = ∠B, ∠AQE = ∠C
            కాబట్టి ΔAPE, ΔABD లలో
         ∴ ΔAPE ∼ ΔABD ∠APE = ∠ABD
                                            ∠PAE = ∠BAD
    
     (1), (2)ల నుంచి
 
      ⇒ PE = QE
      కాబట్టి PQను AD సమద్విఖండన చేస్తుంది.

16. పక్క పటం నుంచి x విలువను a, b, c పదాలలో కనుక్కోండి.
సాధన: PN // LM
        
 

17. ΔABC, ∠B = 90°, AD, CEలు A, Cల నుంచి ఎదుటి భుజాలకు గీసిన మధ్యగత రేఖలు.
AC = 5 cm, AD = cm అయితే CE మధ్యగత రేఖ పొడవు ఎంత?
సాధన: ΔABCలో ∠B = 90°, AD, CE లు మధ్యగత రేఖలు
          AC² = AB² + BC² = 52 = 25...................(1)
          (పైథాగరస్ సిద్ధాంతం నుంచి)
         ΔABC లో AD² = AB² + BD²
        

సమీకరణం (1) - సమీకరణం (2)

 

18. ఒక చతురస్ర భుజం, కర్ణం ఆధారంగా గీసిన సమబాహు త్రిభుజాల వైశాల్యాల నిష్పత్తి?
సాధన: ΔBCE ∼ ΔACF
           (సమబాహు త్రిభుజాలన్నీ సరూపాలే)
        

19. పక్క పటంలో ∠CAB = 90°, AD ⊥ BC, AC = 7 cm, AB = 1 m, BD = 1.25 m అయితే AD = ?
సాధన: AB = 1 m = 10 cm
            AC = 75 cm
            BD = 1.25 m = 125 cm
            ΔABC, ΔBDA ల నుంచి
            ∠BAC = ∠BDA (90°)
            ∠B = ∠B
 (∵ A.A సరూపత ప్రకారం ΔBAC ∼ ΔBDA)
           
           

∴ AD = 93.75 cm

 

21. పక్క పటంలో DB ⊥ BC, DE ⊥ AB, AC ⊥ BC అయితే BE/DE = ?
సాధన: ΔABCలో ∠1 + ∠2 = 90°
          కానీ ∠2 + ∠3 = 90°
          ∠1 = ∠3
          ΔABC, ΔBED లలో
        ∠1 = ∠3, ∠ACB = ∠DEB = 90°
       ∴ ΔABC ∼ ΔBDE

       ∴ AC/BC = BE/DE
        
22. పక్క పటం నుంచి ΔABC = ?
సాధన: AC² = (a + 1)²
           AB² + BC² = (a − 1)² + (2 √a )²
                              = a² + 1 − 2a + 4a
                              = a² + 1 + 2a
                              = (a + 1)²
             అంటే AC² = AB² + BC²
 ∴ ΔABC ఒక లంబకోణ త్రిభుజం