కోణం: రెండు రేఖలు కలిసే బిందువు వద్ద ఒక కోణం ఏర్పడుతుంది.
(లేదా)
రెండు కిరణాలు ఖండించుకుంటే ఖండన బిందువు వద్ద ఏర్పడిన ఖాళీ ప్రదేశాన్ని కోణం అంటారు. పక్కపటంలో ఏర్పడ్డ కోణాలను BOA లేదా AOB గా సూచిస్తారు. 'O' ను శీర్షం అంటారు. కోణం ఏర్పడ్డ తర్వాత కిరణాలను 
అనే భుజాలుగా పిలుస్తారు.
* ప్రతికోణం తలాన్ని కోణానికి అంతరంగా, భుజంపై, బాహ్యంగా అనే మూడు బిందు సమితులుగా విభజిస్తుంది.
నిత్య జీవితంలో కోణాల పరిశీలన
1) గడియారంలోని గంటల, నిమిషాల ముల్లుల మధ్య కోణం.
ఉదా:
2) ఆంగ్ల అక్షరాలను పరిశీలించినప్పుడు వాటి మధ్య ఏర్పడే కోణాలు.
3) గదిమూలల వద్ద ఏర్పడే కోణాలు
కోణమాని: కోణాలను కొలిచే సాధనాన్ని కోణమాని అంటారు.
డిగ్రీ: కోణమానిలో 0o ల నుంచి 180oల వరకు 180 సమభాగాలు గుర్తించి ఉంటాయి. ఒక్కో సమభాగాన్ని (1o) ఒక డిగ్రీ అంటారు.
ఒక డిగ్రీని '1o' తో సూచిస్తారు.
కోణాలు
కోణం: ఒకే తొలి బిందువును కలిగిన రెండు కిరణాల సమ్మేళనాన్ని కోణం అంటారు.
ను తొలికిరణం
ను మలికిరణం
''O'' ను కోణం యొక్క శీర్షం అంటారు.
ధనకోణం: మలికిరణం అపసవ్య దిశలో భ్రమిస్తే ఏర్పడే కోణాన్ని ధనకోణం అంటారు.
రుణకోణం: మలికిరణం సవ్యదిశలో భ్రమిస్తే ఏర్పడే కోణాన్ని రుణకోణం అంటారు.
కోణాల్లో రకాలు:
1) అల్పకోణం (లఘుకోణం)
2) లంబకోణం
3) అధికకోణం
4) సరళకోణం
5) పరావర్తనకోణం
6) సంపూర్ణకోణం
7) శూన్యకోణం
8) ఆసన్నకోణం
9) పూరకకోణం
10) సంపూరకకోణం
11) సంయుగ్మకోణం
అల్పకోణం (లఘుకోణం): ఒక కోణం విలువ 0o నుంచి 90o మధ్య విస్తరించి ఉంటే ఆ కోణాన్ని అల్పకోణం అంటారు.
లంబకోణం: ఒక కోణం 90o అయితే ఆ కోణాన్ని లంబకోణం అంటారు.
అధికకోణం: ఒక కోణం విలువ 90o, 180oల మధ్య విస్తరించి ఉంటే ఆ కోణాన్ని అధికకోణం లేదా గురుకోణం అంటారు.
సరళ కోణం: ఒక కోణం విలువ 180o అయితే ఆ కోణాన్ని సరళకోణం అంటారు.
పరావర్తన కోణం: ఒక కోణం విలువ 180o నుంచి 360oల మధ్య విస్తరించి ఉంటే ఆ కోణాన్ని పరావర్తన కోణం అంటారు.
సంపూర్ణకోణం: ఒక కోణం విలువ 360o లకు సమానమైతే ఆ కోణాన్ని సంపూర్ణకోణం అంటారు.
గమనిక: కోణాలను కొలవడానికి డిగ్రీని ప్రమాణంగా (యూనిట్‌గా) తీసుకుంటారు. ఒక లంబకోణాన్ని 90 సమభాగాలు చేసి, ఒక్కో భాగాన్ని డిగ్రీ అంటారు.
ఒక సంపూర్ణకోణం = 4 లంబకోణాలు
= 360o = (4 × 90o)
ఒక సరళకోణం = 2 లంబకోణాలు
= 180o = (2 × 90o)
శూన్యకోణం: ఒక కోణం విలువ 0o గా ఉన్నట్లయితే ఆ కోణాన్ని శూన్యకోణం అంటారు.
ఆసన్నకోణాలు: ఒక సమతలంలో ఉండే కోణాలకు ఒకే ఉమ్మడి శీర్షం, ఒకే ఉమ్మడి భుజం ఉంటే వాటిని ఆసన్నకోణం అంటారు.
BOC, AOC ల ఉమ్మడి భుజం 
, ఉమ్మడి శీర్షం 'O' కాబట్టిBOC, AOC లు ఆసన్నకోణాలు
పూరకకోణాలు: రెండుకోణాల మొత్తం 90o లకు సమానమైతే ఆ కిరణాలను పూరక కోణాలు అంటారు.
సంపూరక కోణాలు: రెండు కోణాల మొత్తం 180o అయితే ఆ కోణాలను సంపూరక కోణాలు అంటారు.
సంయుగ్మకోణాలు: ఏవైనా రెండు కోణాల మొత్తం 360o లకు సమానమైతే వాటిని సంయుగ్మ కోణాలు అంటారు.
ఉదా: 120o, 240o
రేఖీయద్వయం: ఏవైనా రెండు ఆసన్న కోణాల మొత్తం 180o అయితే ఆ కోణాలను రేఖీయద్వయం అంటారు.
పటం నుంచి 3, 4 లను రేఖీయద్వయం అంటారు.
* రెండు ఆసన్నకోణాల మొత్తం 180o అయితే ఆ రెండు కోణాల్లో ఉమ్మడిగా లేని భుజాలు ఒక సరళరేఖను ఏర్పరుస్తాయి. దీన్ని రేఖీయ ద్వయకోణాల స్వీకృతానికి విపర్యం అంటారు.
* ఒక కిరణం తొలి బిందువు ఒక సరళరేఖపై ఉంటే అప్పుడు ఏర్పడే ఆసన్నకోణాల మొత్తం 180o. దీన్ని రేఖీయ ద్వయకోణాల స్వీకృతం అంటారు.
* రేఖీయ ద్వయంలో ఒక కోణం xo అయితే రెండో కోణం 180o - xo
శీర్షాభిముఖకోణాలు: ఒకే శీర్షం కలిగి ఉమ్మడి భుజం లేని అభిముఖ కోణాలను శీర్షాభిముఖ కోణాలు అని అంటారు.
పటం నుంచి 
p, r లు, q, s లు శీర్షాభిముఖ కోణాలు.
సిద్ధాంతం: రెండు సరళరేఖలు ఖండించుకోగా ఏర్పడే శీర్షాభిముఖ కోణాలు సమానం. కాబట్టి పై పటం నుంచి p = r,q = s.
తిర్యక్రేఖ: రెండు వేర్వేరు సరళరేఖలను మరొక రేఖ వేర్వేరు బిందువులతో ఖండిస్తే ఆ సరళరేఖను తిర్యక్రేఖ అంటారు. ఒక తిర్యక్రేఖ రెండు సరళరేఖలను ఖండిస్తే 8 కోణాలు ఏర్పడతాయి.
పటం నుంచి
బాహ్యకోణం: 1, 2, 7, 8
అంతరకోణం: 3, 4, 5 6
సదృశకోణం: 4 జతల సదృశ కోణాలున్నాయి 1 5; 2, 6; 4, 8; 3, 7.
ఏకాంతర కోణాలు: 2 జతల ఏకాంతర కోణాలున్నాయి. 4, 6; 3, 5
ఏకబాహ్య కోణాలు: 2 జతల ఏక బాహ్య కోణాలున్నాయి. 1, 7; 2, 8
సహ అంతరకోణాలు: తిర్యగ్రేఖకు ఒకే వైపు ఉండే అంతరకోణాలను సహ అంతరకోణాలు అంటారు. పటం నుంచి
(3, 6) (4, 5) లు సహ అంతర కోణాల జతలు.
సహబాహ్య కోణాలు/అనుబంధిత బాహ్యకోణాలు:
తిర్యగ్రేఖకు ఒకే వైపున ఉన్న బాహ్యకోణాలను 'సహబాహ్య కోణాలు లేదా 'అనుబంధిత బాహ్యకోణాలు' అంటారు. పటం నుంచి (1, 8), (2, 7) లు సమబాహ్య కోణాల జతలు.
సమస్యలు
1. రెండు కోణాలు (2a −10)°, (a − 11)° పూరక కోణాలైతే a విలువ ఎంత?
సాధన: (2a − 10) + (a − 11) = 90°
3a − 21 = 90°
3a = 90 + 21
3a = 111° ⇒ a = 111/3
∴ a = 37°
2. గడియారంలో నిమిషాల ముల్లు 18 నిమిషాల్లో చేసే కోణం ఎంత?
సాధన: ఒక నిమిషానికి ⇢ 6°
18 నిమిషాలకు ⇢ 18 × 6°
= 108°
3. ఒక త్రిభుజంలో రెండు కోణాల మొత్తం 80°, వాటి మధ్య భేదం 20° అయితే మూడో కోణం ఎంత?
సాధన: రెండు కోణాల మొత్తం = 80°
మూడో కోణం = 180° − 80°
= 100°
4. రెండు సంపూరక కోణాల మధ్య వ్యత్యాసం 32° అయితే వాటిలో అల్పకోణం ఎంత?
సాధన: x° + (x + 32°) = 180°
2x = 180° − 32°
2x = 148°
∴ x = 74°
5. x° పూరక కోణం, సంపూరక కోణాల మొత్తం?
సాధన: x° పూరక కోణం = 90° − x°
x° సంపూరక కోణం = 180° − x°
కావలసిన మొత్తం = 90° − x° + 180° − x°
= 270° − 2x°
6. 47° యొక్క పూరకకోణం = 90° − 47° = 43°
7. 79° యొక్క సంపూరక కోణం = 180° − 79° = 101°
8. 73° యొక్క పరావర్తన కోణం = 360° − 73° = 287°
9. (x − 2)°, (x + 6)°, (x + 8)° లు త్రిభుజ కోణాలైతే ఆ కోణాలు వరుసగా?
సాధన: x − 2° + x + 6° + x + 8° = 180°
3x + 12 = 180°
3x = 180° − 12°
3x = 168°
x = 56°
x − 2° = 56° − 2° = 54°
x + 6° = 56° + 6° = 62°
x + 8° = 56° + 8° = 64°
10. గడియారంలో సమయం 5 గంటలు అయినప్పుడు గంటముల్లు, నిమిషాల ముల్లుల మధ్య ఏర్పడే కోణం ఎంత?
సాధన: ఒక నిమిషానికి 6°
25 నిమిషాలకు = 25 × 6°
= 150°
11. రెండు సంపూరక కోణాలు 4 : 5 నిష్పత్తిలో ఉంటే వాటిలో అధికకోణం ఎంత?
సాధన: 4x + 5x = 180°
9x = 180°
x = 20°
అధిక కోణం = 5 × 20°
= 100°
12. అర్ధవృత్తంలో కోణం ఎంత?
13. గడియారంలో సమయం 6 గంటలయితే నిమిషాల ముల్లు, గంటల ముల్లుల మధ్య కోణం ఎంత?
14. రెండు సంపూరక కోణాల మధ్య వ్యత్యాసం 32° అయితే వాటిలో అల్పకోణం ఎంత?
సాధన: x° + (x° + 32°) = 180°
2x° = 180° − 32°
2x° = 148°
అల్పకోణం x° = 74°
15. గడియారంలోని నిమిషాల ముల్లు 21 నిమిషాల్లో చేసే కోణం ఎంత?
సాధన: ఒక నిమిషం = 6° (నిమిషానికి చేసే కోణం)
21 నిమిషాలకు చేసే కోణం = 21× 6°
= 126°
గడియారంలో 21 నిమిషాల్లో చేసే కోణం = 126°
16. 240° లకు సంయుగ్మకోణం విలువ = 360° - 240°
= 120°
17. రెండు పూరక కోణాల నిష్పత్తి 2 : 3 అయితే అతిపెద్ద కోణం విలువ ఎంత?
సాధన: రెండు పూరక కోణాల నిష్పత్తి = 2 : 3
= 3 × 18°
అతిపెద్ద కోణం = 54°
18. త్రిభుజం బాహ్య‌కోణాల మొత్తం ఎంత?
సాధన: a° + b° + c° = 180° (త్రిభుజం 3 కోణాల మొత్తం)
a° + x° = b° + y° = c° + z° = 180°
(రేఖీయ ద్వయాలు)
∴ a° + x° + b° + y° + c° + z° = 180° + 180° + 180°
= 540°
180° + x° + y° + z° = 540°
x° + y° + z° = 360°
∴ బాహ్య కోణాల మొత్తం = 360°
19. ఒక భ్రమణంలో 1/360వ వంతు ఎన్ని డిగ్రీలకు సమానం?
సాధన: పూర్తి భ్రమణం = 360°
∴ 1/360 భ్రమణం = 1°
20. పక్క పటంలో l // m, n తిర్యక్రేఖ అయితే a + b ఎంత?
సాధన: 100° + a = 180° (రేఖీయద్వయం)
a = 180° - 100°
∴ a = 80°
a = b (సదృశ కోణాలు)
∴ a + b = 80° + 80°
= 160°
21. ఇచ్చిన పటంలో AB // CD, ABE = 30°, CDE = 50° అయితే x ఎంత?
సాధన: p + q = x
50° + 30° = 80°
CD // AB // PQ గీస్తే x = p + q అవుతుంది.
CD // PQ కాబట్టి P = 50 (∵ ఏకాంతర కోణాలు)
AB // PQ కాబట్టి q = 30 (∵ ఏకాంతర కోణాలు)
22. పక్కపటంలో AB // CD అయితే 'x' విలువ ఎంత?
సాధన: AB // CD // PQ గీస్తే
p, 104° ఒకేవైపు గల అంతరకోణాలు
p + 104° = 180°
p = 180° - 104° = 76°
q, 116° ఒకేవైపు గల అంతరకోణాలు
q + 116° = 180°
q = 180° - 116°
q = 64°
x = p + q
= 76 + 64
x = 140°
24. ఇచ్చిన పటంలో బాణం గుర్తు ఉన్న రేఖాఖండాలు సమాంతరాలు అయితే x, y విలువ‌ల‌ను కనుక్కోండి.
సాధన: x, 60° సదృశ కోణాలు = x = 60°
y, 59° ఏకాంతర కోణాలు y = 59°
25. పక్క పటం నుంచి x, y విలువల్ని కనుక్కోండి.
సాధన: x, 120° అనేవి రేఖీయ ద్వయం
120 + x = 180°
x = 180° - 120°
∴ x = 60°
x = 3y + 6°
60° = 3y + 6°
3y = 60° - 6°
3y = 54 ⇒ y = 18°
26. L // m, n తిర్యక్ రేఖ అయితే కింది పటంలో నుంచి 'x' విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
75° = 11x - 2°
75° + 2° = 11x
x = 77/11
x = 7°
27. కింది పటంలో EF // GH, AB // CD అయితే 'x' విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
4x + 3x + 5° = 180°
7x + 5° = 180°
7x = 180° - 5°
7x = 175°
∴ x = 25°
28. కింది పటాల్లో 'a' విలువ కనుక్కోండి.
సరళరేఖ: ఒక తలంలోని సరేఖీయ బిందువులను కలుపుతూ రెండువైపులా అనంతంగా విస్తరించి ఉన్న జ్యామితీయ పటాన్ని 'సరళరేఖ' అంటారు.
ఉదా:
¤ సరళరేఖపై బిందువులను ఆంగ్ల వర్ణమాలలోని పెద్ద అక్షరాలతో మాత్రమే సూచిస్తారు. ఒక సరళరేఖను ఒకే అక్షరంతో సూచించాల్సివస్తే ఆంగ్ల వర్ణమాలలోని చిన్న అక్షరంతో మాత్రమే సూచిస్తారు. సరళరేఖను 
లేదా సరళరేఖను l గా సూచించవచ్చు.
రేఖలు - రకాలు:
1) ఖండన రేఖలు
2) మిళిత రేఖలు
3) సమాంతర రేఖలు
4) లంబరేఖలు
ఖండన రేఖలు: రెండు సరళరేఖలు ఏదైనా బిందువు వద్ద ఖండించుకుంటే, వాటిని 'ఖండన రేఖలు' అంటారు. ఆ బిందువును ఖండన బిందువు అంటారు.
లు ఖండన రేఖలు, 'O' ఖండన బిందువు.
మిళిత రేఖలు: మూడు అంతకంటే ఎక్కువ సరళరేఖలు ఒకే బిందువు వద్ద ఖండించుకుంటే ఆ సరళరేఖలను 'మిళిత రేఖలు' అంటారు. ఆ బిందువును 'మిళిత బిందువు' అంటారు.
పటం నుంచి l, m, n, p లు మిళిత రేఖలు 'O' మిళిత బిందువు.
సమాంతర రేఖలు: ఒకే తలంలో ఉండి ఖండన బిందువు లేదా ఉమ్మడి బిందువు కలిగి ఉండని రేఖలను 'సమాంతర రేఖలు' అంటారు. పటం నుంచి l, m లు సమాంతర రేఖలు. దీన్ని l // m గా రాస్తారు.
లంబరేఖలు: రెండు ఖండన రేఖల మధ్య కోణం 90° అయితే ఆ సరళరేఖలను లంబరేఖలు అంటారు.
¤ రెండు సరళరేఖలను ఒక తిర్యక్రేఖ ఖండించగా ఏర్పడిన ఒక జత అంతరకోణాలు సమానమైతే ఆ రెండు సరళరేఖలు సమాంతర రేఖలు అవుతాయి.
¤ ఒక సరళరేఖకు సమాంతరంగా ఉండే సరళరేఖలు పరస్పరం సమాంతరం
¤ రెండు సరళరేఖలను ఒక తిర్యక్రేఖ ఖండించగా ఏర్పడిన ఒక జత సదృశకోణాలు సమానమైతే ఆ రెండు సరళరేఖలు సమాంతర రేఖలు అవుతాయి.
రెండు సరళరేఖలు సమాంతర రేఖలని చూపే పద్ధతులు:
¤ సదృశ కోణాల జత సమానమని చూపడం.
¤ ఏకాంతర కోణాల జత సమానమని చూపడం.
¤ తిర్యక్‌రేఖకు ఒకే వైపునున్న అంతరకోణాలు సంపూరకాలు అని చూపడం.
¤ ఒక తలంలో ఇచ్చిన రెండు సరళరేఖలు, మూడో రేఖకు లంబరేఖలని చూపడం.
¤ ఇచ్చిన రెండు సరళరేఖలను, మూడో రేఖను సమాంతర రేఖలని చూపడం.
l, m, n లు మూడు సరళ రేఖలయితే
¤ l // m, m // n అయితే l // n అవుతుంది.
¤ l // m, m ⊥ n అయితే l ⊥ n అవుతుంది.
¤ l ⊥ m, m ⊥ n అయితే l // m అవుతుంది.
సమస్యలు
1. కింది పటంలో PQ ఒక సరళరేఖ అయితే 'a' విలువ ఎంత?
సాధన: (a + 30°) + (a + 10°) + (a + 20°) = 180°
3a + 60° = 180°
3a = 180° - 60°
3a = 120°
a = 40°
2. OP అనే కిరణం సరళరేఖ QR పౖ ∠POQ = ∠POR అయ్యే విధంగా నిర్మిస్తే ∠POQ = ?
సాధన: ∠PQR = ∠POR = x అనుకోండి
x° + x° = 180° (రేఖీయద్వయం)
x° = 90°
3. కింది పటంలో x, y అనే రెండు సరళరేఖలు 'O' వద్ద ఖండించుకుంటాయి. a = 45° అయితే d = ?
సాధన: a + d = 180° (రేఖీయద్వయం)
45° + d = 180°
d = 180° - 45°
d = 135°
4. కింది పటంలో b − a > 45° అయితే ∠AOD = ?
సాధన: పటం నుంచి, a + b + c = 360° − 90°
= 270°
a + 2b = 270° .....(1)
కానీ - a + b = 45° (దత్తాంశం నుంచి) ... (2)
(1) & (2)లను సాధించగా 3b = 315°
(2) నుంచి −a + 105° = 45° ⇒ a = 105° - 45° = 60°
∴ a = ∠AOD = 60°
5. కింది పటంలో PQ, RS రేఖలు 'O' వద్ద ఖండించుకుంటే P విలువ ఎంత?
సాధన: 160° = P + 102°
P = 160° - 102°
= 58°
6. కింది పటాన్ని లంబరేఖలు, అక్షారలతో చూపండి.
7. రెండు రేఖలు ఒకే రేఖకు లంబంగా ఉంటే ఆ రెండు రేఖలు పరస్పరం సమాంతరాలు.
l ⊥ n, m ⊥ n ⇒ l // m
8. సమాంతర రేఖల జతలకు ఉదాహరణ ఇవ్వండి.
