క.సా.గు., గ.సా.భా.

కనిష్ఠ సామాన్య గుణిజం (క.సా.గు.)
 

సామాన్య గుణిజం: ఒక సహజ సంఖ్య గుణిజాలు అనంతం. అలాగే రెండు సహజ సంఖ్యల గుణిజాలు కూడా అసంఖ్యాకంగా ఉంటాయి.
క.సా.గు.: రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సహజ సంఖ్యల సామాన్య గుణిజాల్లో మిక్కిలి చిన్నదాన్ని ఆ సంఖ్యల కనిష్ఠ సామాన్య గుణిజం (క.సా.గు.) అంటారు.
ఉదా: 9, 12 ల క.సా.గు. కనుక్కోవడం.

 

       9, 12ల కనిష్ఠ సామాన్య గుణిజం 36.
       9, 12 లకు గరిష్ఠ సామాన్య గుణిజం ఉండదు. (... గుణిజాలు అనంతం)

భాగహార పద్ధతి ద్వారా క.సా.గు. కనుక్కోవడం
నియమం: కేవలం ప్రధాన సంఖ్యలతోనే భాగించాలి.
ఉదా: 1) 4, 6 ల క.సా.గు. ఎంత?

 
                
క.సా.గు. = 2 × 2 × 3 = 12
 

2) 15, 20 ల క.సా.గు. ఎంత?

 
       
 క.సా.గు. = 5 × 3 × 4 = 60

భిన్నాల క.సా.గు.

 

గరిష్ఠ సామాన్య భాజకం (గ.సా.భా.)
భాజకం: X అనే సంఖ్య Yని భాగిస్తే Xను Y యొక్క భాజకం అంటారు.
సామాన్య భాజకం: ఒక సంఖ్య రెండు వేర్వేరు సంఖ్యలను నిశ్శేషంగా భాగిస్తే దాన్ని రెండింటి కనిష్ఠ సామాన్య భాజకం అంటారు.
గ.సా.భా.: రెండు సంఖ్యలకు ఉండే సామాన్య భాజకాల్లో మిక్కిలి పెద్ద సంఖ్యను వాటి 'గరిష్ఠ సామాన్య భాజకం' అంటారు.

ఉదా:

మొదటి పద్ధతి
1. 36, 48, 60 ల గ.సా.భా. కనుక్కోవడం.
    36 = 4 × 9 = 2 × 2 × 3 × 3
   48 = 6 × 8 = 2 × 3 × 2 × 4
                    = 2 × 2 × 2 × 2 × 3
   60 = 12 × 5 = 4 × 3 × 5
                     = 2 × 2 × 3 × 5
36, 48, 60ల సామాన్య కారణాంకాలు 1, 2, 4, 6, 12. కాబట్టి 36, 48, 60ల గ.సా.భా. = 12
 

రెండో పద్ధతి
2. 10, 15 ల గ.సా.భా. కనుక్కోవడం.

 
    
      గరిష్ఠ సామాన్య భాజకం విలువ 5

క.సా.గు., గ.సా.భా.ల మధ్య సంబంధం
 a, bలు ఏవైనా రెండు సంఖ్యలు. వాటి క.సా.గు. L, గ.సా.భా. G అయితే ఆ రెండు సంఖ్యల లబ్ధం క.సా.గు., గ.సా.భా.ల లబ్ధానికి సమానం.
అంటే a × b = L × G = 

 
      

ఉదా:
1) రెండు సంఖ్య‌లు వ‌ర‌స‌గా 396, 576 వాటి 6336 క‌.సా.గు. అయితే గ‌.సా.భా. ఎంత‌?

 
     
2) రెండు సంఖ్య‌లు వ‌ర‌స‌గా 20, 30, వాటి క‌.సా.గు. 60 అయితే గ‌.సా.భా. ఎంత‌?

 

    
3) రెండు సంఖ్య‌లు వ‌ర‌స‌గా 50, 100, వాటి క‌.సా.గు. 100 అయితే గ‌.సా.భా. ఎంత‌?

 
    
   రెండు సంఖ్య‌ల క‌.సా.గు. ఎల్ల‌ప్పుడూ వాటి గ‌.సా.భా.కు గుణ‌కం అవుతుంది
   రెండు సంఖ్య‌ల గ‌.సా.భా. ఎల్ల‌ప్పుడూ వాటి క‌.సా.గు.కు కార‌ణాంకం అవుతుంది
   రెండు ప‌ర‌స్ప‌ర ప్ర‌ధాన సంఖ్య‌ల గ‌.సా.భా. = 1
   రెండు ప‌ర‌స్స‌ర ప్ర‌ధాన సంఖ్య‌ల క‌.సా.గు. వాటి ల‌బ్దానికి స‌మానం.

కింది సంఖ్యల గ.సా.భా. కనుక్కోవడం

 
 
    గ.సా.భా. = 9                  గ.సా.భా. = 5
 

2. రెండు ట్యాంకర్లలో వరుసగా 850 లీ., 680 లీ. కిరోసిన్ ఉంది. రెండు ట్యాంకర్లలో కిరోసిన్‌ను కొలవగలిగే గరిష్ఠ పాత్ర సామర్థ్యం ఎంత?

 

 

    గ‌రిష్ఠ పాత్ర సామ‌ర్థ్యం = 170 లీట‌ర్లు

3. గది కొలతలు వరుసగా పొడవు 12మీ., వెడల్పు 15మీ., ఎత్తు 18మీ. అయితే గది కొలతలన్నింటినీ కొలిచే టేపు గరిష్ఠ పొడవు ఎంత?
సాధన: పొడవు = 12 మీ.
          వెడల్పు = 15 మీ.
          ఎత్తు = 18 మీ.

 
      
టేపు పొడవు = 3 కి.మీ.

4. ఏ కనిష్ఠ సంఖ్య నుంచి 7ను తీసివేస్తే దాన్ని 12, 15, 18లతో భాగించవచ్చు?
సాధన:

 
     
      = 3 × 2 × 2 × 5 × 3
      = 180
       180 + 7 = 187

5. ఏ గరిష్ఠ 3 అంకెల సంఖ్యను 75, 45, 60లతో భాగిస్తే ప్రతిసారి 4 శేషం వస్తుంది?
సాధన:

 

    
  5 × 3 × 4 × 3 × 5 = 900
                             = 900 + 4
                             = 904

6. రెండు సంఖ్యల క.సా.గు. 290, లబ్ధం 7250 అయితే వాటి గ.సా.భా. ఎంత?
సాధన: క.సా.గు. ×  గ.సా.భా.= a × b
                  290 × x = 7250

 
                            
 ^.. x = 25
 

7. రెండు సంఖ్యల గ.సా.భా. 6, క.సా.గు. 36. ఆ సంఖ్యల్లో ఒక సంఖ్య 12 అయితే రెండో సంఖ్య ఎంత?
సాధన: 6 × 36 = 12 × x

 
           
             6 × 3 = x
            .^.. x = 18

భాజనీయతా సూత్రాలు
    సంఖ్యలను కొన్ని ప్రత్యేక సంఖ్యలతో భాగించడానికి వాటికి ఉండాల్సిన గణిత నియమాలను 'భాజనీయతా సూత్రాలు' అంటారు.
2 భాజనీయతా సూత్రం: ఏదైనా ఒక సంఖ్యలో ఒకట్ల స్థానంలో 0, 2, 4, 6 లేదా 8 ఉన్నట్లయితే ఆ సంఖ్యను 2 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది.
ఉదా: 256, 480, 32848, ........
3 భాజనీయతా సూత్రం: ఒక సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తాన్ని 3 నిశ్శేషంగా భాగిస్తే, ఆ సంఖ్యను 3 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది.
ఉదా: 615, 618, 273, ..........
అంకెల మొత్తం = 6 + 1 + 5
                        = 12
                        = 12/3
                         = 4
615 అనే సంఖ్యకు '3' నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది.

4 భాజనీయతా సూత్రం: ఒక సంఖ్యలోని చివరి రెండంకెలతో ఏర్పడిన సంఖ్యను 4తో భాగించగలిగితే ఆ మొత్తం సంఖ్యను 4 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది (రెండు సున్నాలు ఉన్నప్పుడు కూడా).
ఉదా: 78456
    చివరి రెండంకెల సంఖ్య = 56
                                           = 56/4 ⇒ 14                                  
    కాబట్టి 78456ను 4 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది.
6 భాజనీయతా సూత్రం: ఇచ్చిన సంఖ్యను 2, 3లు నిశ్శేషంగా భాగించగలిగితే ఆ సంఖ్యను 6 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది.
ఉదా:
  

8 భాజనీయతా సూత్రం: ఒక సంఖ్యలోని చివరి 3 అంకెలతో  ఏర్పడిన సంఖ్య  8తో నిశ్శేషంగా భాగించగలిగితే ఆ సంఖ్య మొత్తాన్ని 8 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది.
ఉదా: 219128
        చివరి మూడంకెలతో ఏర్పడిన సంఖ్య 128

128/16 = 16
       
9 భాజనీయతా సూత్రం: ఒక సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తం 9 అయితే ఆ సంఖ్యను 9 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది.
ఉదా: 3456 = 3 + 4 + 5 + 6 = 18
                   
10 భాజనీయతా సూత్రం: ఒకట్ల స్థానంలో '0' ఉండే ఏ సంఖ్యనైనా 10 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది.
ఉదా: 2450
11 భాజనీయతా సూత్రం: ఒక సంఖ్యలో సరి స్థానాల్లోని అంకెల మొత్తం, బేసి స్థానాల్లోని అంకెల మొత్తానికి ఉండే
తేడాను 11తో భాగించగలిగితే ఆ సంఖ్యను 11 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది.
5 భాజనీయతా సూత్రం: ఒక సంఖ్యలో ఒకట్ల స్థానంలో '0' లేదా '5' ఉన్నట్లయితే ఆ సంఖ్యను 5 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది.
ఉదా: 150, 655
7 భాజనీయతా సూత్రం: ఏదైనా సంఖ్యలోని ఒకట్ల స్థానంలోని అంకెను రెట్టింపు చేసి, మిగతా సంఖ్య నుంచి తీసివేయాలి. వచ్చిన భేదాన్ని 7 భాగించగలిగితే ఆ సంఖ్యను 7 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది.
ఉదా: 343
చివరి సంఖ్య 3
3ను రెట్టింపు చేయగా 2 × 3 = 6
మిగిలిన సంఖ్య 34
తీసివేయగా 34 - 6
               = 28
               = 28/7 
               = 4
∴ ఇచ్చిన సంఖ్య‌ను '7' నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది
12 భాజనీయతా సూత్రం: ఇచ్చిన సంఖ్య 3, 4 రెండింటితో భాగించ‌గ‌లిగితే ద‌త్త‌సంఖ్య‌ను 12 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది.
ఉదా: 135192
13 భాజనీయతా సూత్రం:
ఉదా: 24167 = 2416 + 7 × 4 = 2416 + 28 = 2444
         244 4  = 244 + 4 × 4 = 244 + 16 = 260
            26 0 = 26 + 0 × 4 = 26
14 భాజనీయతా సూత్రం: ఇచ్చిన సంఖ్యను 2, 7 భాగించగలిగితే ఆ దత్త సంఖ్యను 14 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది.
ఉదా: 63952
15 భాజనీయతా సూత్రం: ఇచ్చిన సంఖ్యను 3, 5 భాగించగలిగితే ఆ దత్త సంఖ్యను 15 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది.
16 భాజనీయతా సూత్రం: ఒక సంఖ్య చివరి 4 అంకెలతో ఏర్పడిన సంఖ్యను 16 భాగించగలిగితే ఆ సంఖ్యను 16 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది.
17 భాజనీయతా సూత్రం:
ఉదా: 12716
   1271 6 = 1271 − 6 × 5
               = 1271 − 30 = 1241
   124  1  = 124 − 1 × 5
               = 124 − 5 = 119
  119ను 17 భాగిస్తుంది.

18 భాజనీయతా సూత్రం: 9తో భాగింబడే సరిసంఖ్యలన్నీ 18తో కూడా భాగించబడతాయి.
ఉదా: 926568, 273690
19 భాజనీయతా సూత్రం:
ఉదా: 21793
2179 3 = 2179 + 3 × 2
             = 2179 + 6 = 2185
218 5   = 218 + 5 × 2  = 218 + 10  = 228
22 8   = 22 + 8 × 2 =  22 + 16  = 38
 

సంవర్గ మానాలు - వాటి న్యాయాలు
a, N లు ధన పూర్ణసంఖ్యలై a > 1, N > 0 అవుతూ ax = N అయితే దీన్ని సంవర్గమాన రూపంలో logaN = x అని రాస్తాం.
ఇక్కడ a, N ∊ R
* ధన వాస్తవ సంఖ్యలకు మాత్రమే సంవర్గమానాలు నిర్వచించారు.
* ఏ ఆధారానికైనా ఒకటి యొక్క సంవర్గమానం 0.
     log_e¹ = 0

* సమాన భూమి కలిగిన సంఖ్య యొక్క సంవర్గమానం 1.
    log_a^a = 1
* ఒక సంఖ్య యొక్క సంవర్గమానాలు విభిన్న భూములకు వేర్వేరుగా ఉంటాయి.
    log₁² ≠ log₂² ≠ log₃²
 

సంవర్గమాన న్యాయాలు

లాక్షణిక, మాంటిస్సా: సంఖ్యల సంవర్గమానాలు పూర్ణాంక, దశాంశ భాగాలుగా ఉంటాయి. పూర్ణాంక భాగాన్ని లాక్షణిక, దశాంశ భాగాన్ని మాంటిస్సా అంటారు.

వర్గం, వర్గమూలం

వర్గం: ఒక సంఖ్యను ఆ సంఖ్యతోనే గుణిస్తే వచ్చే లబ్ధాన్ని 'వర్గం' అంటారు.
ఉదా: 8 × 8 = 64
         64 అనే సంఖ్య 8 వర్గం.
వర్గమూలం: ఒక సంఖ్యను ఆ లబ్ధ వర్గ సంఖ్యకు 'వర్గమూలం' అంటారు.
ఉదా: 8 అనేది 64 యొక్క వర్గమూలం

* ఒక సరిసంఖ్య వర్గం ఎల్లప్పుడూ సరిసంఖ్యనే అవుతుంది.
    ఉదా: 6² = 36, 8² = 64, 12² = 144, 14² = 196
* ఒక బేసి సంఖ్య వర్గం ఎల్లప్పుడూ బేసి సంఖ్యనే అవుతుంది.
     ఉదా: 7² = 49, 9² = 81, 11² = 121, 13² = 169
వర్గమూలాలను కనుక్కునే పద్ధతులు
   1) కారణాంక పద్ధతి
   2) భాగహార పద్ధతి

ఉదా:
1. కారణాంక పద్ధతి ద్వారా 576 వర్గమూలాన్ని కనుక్కోవడం.
సాధన: 576 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) × (3 × 3)
                  = 8 × 8 × 3 × 3
                  = 82 × 32

2. భాగహార పద్ధతి ద్వారా 16129  వర్గమూలాన్ని కనుక్కోవడం.

ఘనం, ఘనమూలం

ఘనం: ఒక సంఖ్యను దాని వర్గంతో గుణించగా వచ్చే విలువలను ఆ సంఖ్య ఘనం (Cube) అంటారు.
ఉదా: 5³ = 5 × 5 × 5 = 125
        4³ = 4 × 4 × 4 = 64
       a³ = a × a × a = a3
ఘనమూలం: x అనే సంఖ్య దేని ఘనం అవుతుందో, ఆ సంఖ్య x యొక్క 'ఘనమూలం'.
* xకి ఘనమూలాన్ని ∛x తో సూచిస్తారు.
  
ఘనమూలాన్ని కనుక్కునే పద్ధతి:
ఉదా: 19683 ఘనమూలం కనుక్కోవడం.
19683 = (3 × 3 × 3) × (3 × 3 × 3) × (3 × 3 × 3)
            = 27 × 27 × 27
             = (27)³
∴ 19683 ఘనమూలం

∛19683

= 27

వర్గసంఖ్యల ధర్మాలు:
* ఒక కచ్చిత వర్గం ఎల్లప్పుడూ ధనాత్మకం.
* సంఖ్యల ఒకట్ల స్థానంలో 2, 3, 7 లేదా 8 ఉన్నట్లయితే ఆ సంఖ్యలు వర్గ సంఖ్యలు కావు.
* ఒక సరి సంఖ్య వర్గం సరిసంఖ్యనే అవుతుంది. ఒక బేసి సంఖ్య వర్గం బేసి సంఖ్యనే అవుతుంది.
* ఏ సహజ సంఖ్యకైనా మొదటి 'n' బేసి సహజ సంఖ్యల మొత్తం = n²
* ఒక బేసిసంఖ్య 'n' యొక్క వర్గాన్ని రెండు వరుస సంఖ్యల మొత్తంగా రాయవచ్చు.

ఘనసంఖ్యల ధర్మాలు:
* మొదటి 'n' సంఖ్యల ఘనాల మొత్తం ఆ సంఖ్యల మొత్తం యొక్క వర్గం అవుతుంది.
ఉదా: 1³ + 2³ + 3³ = 36 = (1 + 2 + 3)³ = 6³
* బేసి సంఖ్యల యొక్క ఘనం బేసి సంఖ్యనే అవుతుంది.
* సరిసంఖ్య యొక్క ఘనం సరిసంఖ్యనే అవుతుంది.
ఉదా: 11³ = 11 × 11 × 11 = 1331
         12³ = 12 × 12 × 12 = 1728
 రుణ సంఖ్య యొక్క ఘనం రుణ సంఖ్యనే అవుతుంది.
ఉదా: −5³ = −125

పైథాగరస్ త్రికం

* m, n, p లు ఏవైనా మూడు పూర్ణాంకాలు, m2 + n2 = p2 అయితే m, n, pలను 'పైథాగరస్ త్రికం' అంటారు.
  
   2m, m² − 1, m² + 1 లు పైథాగరస్ త్రికాలు అవుతాయి.
ఉదా: 12, 35, 37
        10, 24, 26

ఉదా: 3, 4, 5
        5, 12, 13
 

పైథాగరస్ త్రికాలు
   3, 4, 5
   5, 12, 13
   7, 24, 25
   8, 15, 17
   9, 40, 41
   10, 24, 26
   11, 60, 61
   12, 35, 37
   16, 63, 65
   20, 99, 101
   33, 56, 65

శ్రీప్ర‌జ్ఞ కాంపిటీటివ్ స్టడీస‌ర్కిల్‌, తిరుప‌తి