సంఖ్యామానం

సంఖ్యామానం: ఒక సంఖ్యను అంకెల్లో రాయడాన్ని సంజ్ఞామానం అనీ, అక్షరాల్లో రాయడాన్ని సంఖ్యామానం అనీ అంటారు.
ఉదా: 245 - సంజ్ఞామానం
         రెండు వందల నలభై ఐదు - సంఖ్యామానం
         640 - సంజ్ఞామానం
         ఆరు వందల నలభై - సంఖ్యామానం
 

సంఖ్యామానం - రకాలు
* దశాంశ సంఖ్యామానం
* అంతర్జాతీయ (ఆంగ్ల) సంఖ్యామానం
* హిందూ - అరబిక్ సంఖ్యామానం
 

1. దశాంశ సంఖ్యామానం: 0 నుంచి 9 వరకు గల అంకెలను ఉపయోగించి సంఖ్యలను రాసే విధానాన్ని 'దశాంశ సంఖ్యామానం' అంటారు.
ఉదా: 356(10)

¤ ఈ పద్ధతిలో ఒక సంఖ్యలోని అంకె స్థాన విలువ ఒకట్ల స్థానం నుంచి మొదలై 10⁰, 10¹, 10² ..... ల లబ్ధంగా పెరుగుతుంది.
ఉదా: 356 = 3 × 10² + 5 × 10¹ + 6 × 10⁰
= 3 × 100 + 5 × 10 + 6 × 1
= 300 + 50 + 6 = 356
* సున్నాను ఆర్యభట్టు కనుక్కున్నాడు.
* క్రీ.పూ. 200 సంవత్సరాల నుంచే భారతీయులు సున్నాను గణితంలో ఉపయోగించారు.
 

అంతర్జాతీయ లేదా ఆంగ్ల సంఖ్యామానం: ఈ సంఖ్యామానంలో అంకెల స్థానం కుడి నుంచి ఎడమకు ఒకట్లు, పదులు, వందలు, వేలు, పదివేలు, వందవేలు, మిలియన్, పది మిలియన్, వంద మిలియన్, బిలియన్, పది బిలియన్, ట్రిలియన్... ఇలా ఉంటాయి.
 

హిందూ - అరబిక్ సంఖ్యామానం: హిందూ అరబిక్ సంఖ్యామానంలో సంఖ్యలోని అంకెల స్థానాలు కుడి నుంచి ఎడమకు వరుసగా ఒకట్లు, పదులు, వందలు, వేలు, పదివేలు, లక్ష, పది లక్షలు, కోట్లు, పది కోట్లు, వంద కోట్లు ..... ఇలా ఉంటాయి.

  

సంఖ్యల విస్తరణ రూపం
* ఒక సంఖ్యలోని అంకెలను స్థాన విలువల ఆధారంగా విభజించి రాయడాన్ని 'విస్తరణ' అంటారు.
ఉదా: 6,48,321 = 6,00,000 + 40,000 + 8,000 + 300 + 20 + 1
* 0 (సున్నా) ఏ స్థానంలో ఉన్నా ఆ అంకె సహజ విలువ, స్థాన విలువ 0 (సున్నా) అవుతాయి.
* ఒకట్ల స్థానంలో ఉండే అంకె సహజ విలువ, స్థాన విలువ రెండూ సమానంగా ఉంటాయి.
* బిలియన్ తర్వాత:
* ట్రిలియన్ = 10¹²
* క్వాట్రిలియన్ = 10¹⁵
* క్వింట్రిలియన్
* సెక్ట్రిలియన్ లాంటి స్థాన విలువలు ఉన్నాయి.
 

సంఖ్యా వ్యవస్థ: దశాంశ సంఖ్యా పద్ధతిని ప్రపంచానికి అందించినవారు భారతీయులు.
* ప్రపంచానికి 'సున్నా'ను అందించినవారు భారతీయులు.

సంఖ్యా వ్యవస్థలు

 
          
1. సహజ సంఖ్యలు:
1, 2, 3, 4, 5, ............., ∞ సంఖ్యలను 'సహజ సంఖ్యలు' అంటారు. దీన్ని 'N' తో సూచిస్తారు.
                         (or)
గణన కోసం మానవుడు ఉపయోగించిన 1, 2, 3, ........... లను సహజ సంఖ్యలు అంటారు.
N = {1, 2, 3, 4, ........, ∞}

* అతి చిన్న సహజ సంఖ్య = 1
* అతిపెద్ద సహజ సంఖ్యను నిర్ధారించలేం.
 

2. పూర్ణాంకాలు: సహజ సంఖ్యలకు సున్నా (0) ను చేర్చగా ఏర్పడే సంఖ్యలను 'పూర్ణాంకాలు' అంటారు.
* పూర్ణాంకాలను 'W' తో సూచిస్తారు.
* W = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...............∞}
* అతి చిన్న పూర్ణాంకం = 0
* అతి పెద్ద పూర్ణాంకాన్ని నిర్థారించలేం.
 

3. పూర్ణ సంఖ్యలు: ధన సంఖ్యలు, రుణ సంఖ్యలు, సున్నాను కలిపి 'పూర్ణ సంఖ్యలు' అంటారు.
* దీన్ని 'Z'తో సూచిస్తారు.

  Z = {-∞, ......... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, .........., +∞}
* ధన పూర్ణ సంఖ్యలు (Z) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, .............}
* రుణ పూర్ణ సంఖ్యలు (Z) = {-1, -2, -3, -4, ..............}
* రుణేతర పూర్ణసంఖ్యలు = {0, 1, 2, 3, 4, ...............}
* రుణేతర పూర్ణసంఖ్యలను 'పూర్ణాంకాలు' అంటారు.

* పూర్ణ సంఖ్యల్లో అతి చిన్న, అతి పెద్ద సంఖ్యలను నిర్ధారించలేం.
* '0' అనేది రుణ లేదా ధన పూర్ణ సంఖ్య కాదు. ఒక పూర్ణసంఖ్య మాత్రమే.
 

పూర్ణసంఖ్యల సంకలనం, వ్యవకలనం
* రెండు పూర్ణ సంఖ్యలకు ఒకే గుర్తు ఉంటే వాటి సంకలనానికి కూడా అదే గుర్తు వస్తుంది.
ఉదా: -2 + -3 = -5
            2 + 3 = +5
         -4 + −3 = -7
            4 + 3 = +7
* రెండు పూర్ణ సంఖ్యలకు వేర్వేరు గుర్తులు ఉంటే పెద్ద సంఖ్య నుంచి చిన్న సంఖ్యను తీసివేసి, ఫలితానికి పెద్ద సంఖ్యకు ఉండే గుర్తును ఉంచాలి.
ఉదా: 2 - 4 = -2
          3 - 6 = -3
          7 - 9 = -2
         10 - 20 = -10

పూర్ణసంఖ్యల గుణకారం: రెండు ధన పూర్ణసంఖ్యల లబ్ధం ధనపూర్ణ సంఖ్య; రెండు రుణ పూర్ణసంఖ్యల లబ్ధం ధనపూర్ణ సంఖ్య; ధన పూర్ణసంఖ్య, రుణ పూర్ణసంఖ్యల లబ్ధం రుణ పూర్ణసంఖ్య అవుతుంది.
 

పూర్ణసంఖ్యల ధర్మాలు: (* = +, -, ×, ÷)
1. సంవృత ధర్మం: (a * b)
* a, b లు రెండు పూర్ణసంఖ్యలు. '*' ఒక పరిక్రియ అయితే a * b కూడా పూర్ణసంఖ్య అయినప్పుడు పూర్ణసంఖ్య '*' పరిక్రియ దృష్ట్యా సంవృత ధర్మాన్ని పాటిస్తుంది అంటారు.
* పూర్ణసంఖ్యలు సంకలనం (+), వ్యవకలనం (-), గుణకారం (×) దృష్ట్యా సంవృత ధర్మాన్ని పాటిస్తాయి. కానీ భాగహారం (÷) దృష్ట్యా సంవృత ధర్మాన్ని పాటించవు.
 

2. స్థిత్యంతర లేదా వినిమయ ధర్మం: (a * b = b * a)
* a, bలు రెండు పూర్ణ సంఖ్యలు అవుతూ '*' అనే పరిక్రియ దృష్ట్యా a * b = b * a అయినప్పుడు పూర్ణసంఖ్యలు '*' పరిక్రియ దృష్ట్యా స్థిత్యంతర ధర్మాన్ని పాటిస్తాయి.
* పూర్ణసంఖ్యలు సంకలనం, గుణకారం దృష్ట్యా స్థిత్యంతర ధర్మాన్ని పాటిస్తాయి. వ్యవకలనం, భాగహారం దృష్ట్యా స్థిత్యంతర ధర్మాన్ని పాటించవు.
* సహచర ధర్మం: a * (b * c) = (a * b) * c

* a, b, c అనే మూడు పూర్ణసంఖ్యలు '*' పరిక్రియ దృష్ట్యా a * (b * c) = (a * b) * c అయితే '*' పరిక్రియ దృష్ట్యా సహచర ధర్మాన్ని పాటిస్తాయి.
* పూర్ణసంఖ్యలు సంకలనం, గుణకారం దృష్ట్యా సహచర ధర్మాన్ని పాటిస్తాయి. వ్యవకలనం, భాగహారం దృష్ట్యా సహచర ధర్మాన్ని పాటించవు.
 

తత్సమాంశం
1. సంకలన తత్సమాంశం: 'a' అనే ఏదైనా పూర్ణసంఖ్యకు   అయ్యేలా '0' వ్యవస్థితం అయితే '0' ను సంకలన తత్సమాంశం అంటారు.
* పూర్ణసంఖ్యల్లో సంకలన తత్సమాంశం '0' వ్యవస్థితం అవుతుంది.
* సహజ సంఖ్యల్లో సంకలన తత్సమాంశం '0' వ్యవస్థితం కాదు.
* 'a' ఏదైనా పూర్ణసంఖ్య అయితే a × 0 = 0 × a = 0 అవుతుంది. అంటే పూర్ణసంఖ్య, '0' ల లబ్ధం కూడా '0' అవుతుంది.
* ''a'' పూర్ణసంఖ్య అయితే  వ్యవస్థితం కాదు. ('0' తో భాగహారాన్ని నిర్వచించలేం).
2. గుణకార తత్సమాంశం: a ఒక పూర్ణసంఖ్య అయితే    అయ్యేలా '1' వ్యవస్థితం అయినప్పుడు '1' ని గుణకార తత్సమాంశం అంటారు.

* a ఏదైనా పూర్ణసంఖ్య అయితే

 

విలోమం
1. సంకలన విలోమం: a ఒక పూర్ణసంఖ్య అయితే a + (-a) = -a + a = 0 అయ్యేలా -a వ్యవస్థితం అయితే a, -a లు ఒకదానికొకటి సంకలన విలోమాలు అవుతాయి.
ఉదా: 2 సంకలన విలోమం = -2
-5 సంకలన విలోమం = 5
-1/5 సంకలన విలోమం =  1/5
2/5 సంకలన విలోమం =  -2/5
6 సంకలన విలోమం = -6
-8 సంకలన విలోమం = 8

2. గుణకార విలోమం: a ఒక పూర్ణసంఖ్య అయినప్పుడు a × 1/a  =  a/1 × a = 1 అయ్యేలా  1/a వ్యవస్థితం అయితే a,  1/a లు ఒకదానికొకటి 'గుణకార విలోమాలు' అవుతాయి.
* పూర్ణసంఖ్యల్లో గుణకార విలోమం వ్యవస్థితం కాదు.
 

విభాగ న్యాయాలు:
* a, b, c లు మూడు పూర్ణసంఖ్యలు అయితే
i) a × (b + c) = a × b + a × c     సంకలనం దృష్ట్యా గుణకార విభాగ న్యాయం.
ii) a × (b - c) = a × b - a × c     వ్యవకలనం దృష్ట్యా గుణకార విభాగ న్యాయం.
వాస్తవ సంఖ్యలు: కరణీయ, అకరణీయ సంఖ్యలను కలిపి వాస్తవ సంఖ్యలు అంటారు. వాస్తవ సంఖ్యల సమితిని 'R' తో సూచిస్తారు.

 
    

1. అకరణీయ సంఖ్యలు(Q): p/q రూపంలో ఉండే (p, q లు పూర్ణసంఖ్యలు, q ≠ 0) సంఖ్యలను అకరణీయ సంఖ్యలు అంటారు. వీటి సమితిని 'Q' అనే అక్షరంతో సూచిస్తారు.
Q = { p/q ; q ≠ 0 & p, q ∈ z}
{0, 1, −1, 5/6, 1, -7/8, ..........}
¤ అన్ని సహజ సంఖ్యలు, అన్ని పూర్ణాంకాలు, అన్ని పూర్ణ సంఖ్యలు అకరణీయ సంఖ్యలు అవుతాయి.
¤ రెండు అకరణీయ సంఖ్యల క.సా.గు. = ల‌వాల క‌.సా.గు. / హారాల గ‌.సా.భా.
¤ రెండు అకరణీయ సంఖ్యల గ.సా.భా. = ల‌వాల గ‌.సా.భా. / హారాల క‌.సా.గు.
¤ రెండు అకరణీయ సంఖ్యల మధ్య అనంతమైన అకరణీయ సంఖ్యలు ఉంటాయి. ఈ ధర్మాన్ని అకరణీయ సంఖ్యల 'సాంద్రత ధర్మం' అంటారు.
¤ a, bల మధ్య ఉండే అకరణీయ సంఖ్య = a + b /2 లేదా √ab
¤ ప్రతి అకరణీయ సంఖ్యను సంఖ్యారేఖపై చూపవచ్చు.
¤ సున్నా కూడా ఒక అకరణీయ సంఖ్యయే.

¤ సంకలనం దృష్ట్యా అకరణీయ సంఖ్యల ధర్మాలు
i) సంవృత ధర్మం: ఏవైనా రెండు అకరణీయ సంఖ్యల మొత్తం ఎల్లప్పుడూ ఒక అకరణీయ సంఖ్య అవుతుంది. అంటే a, b లు అకరణీయ సంఖ్యలు అయితే a + b కూడా అకరణీయ సంఖ్యయే.
ii) స్థిత్యంతర ధర్మం: ఏ రెండు అకరణీయ సంఖ్యలైనా సంకలనం దృష్ట్యా స్థిత్యంతర ధర్మాన్ని పాటిస్తాయి. అంటే a, bలు రెండు అకరణీయ సంఖ్యలైతే a + b = b + a అవుతుంది.
iii) సహచర ధర్మం: ఏవైనా మూడు అకరణీయ సంఖ్యలు a, b, c లు సంకలనం దృష్ట్యా సహచర ధర్మాన్ని పాటిస్తాయి. అంటే (a + b ) + c = a + ( b + c).
iv) సంకలన తత్సమాంశం: '0' ను సంకలన తత్సమాంశం అంటారు. అంటే 'a' ఒక అకరణీయ సంఖ్య అయినప్పుడు   a + 0 = 0 + a = a
v) సంకలన విలోమం: ప్రతి అకరణీయ సంఖ్య 'a'కు సంకలన విలోమం -a అవుతుంది.
అంటే (−a) + (a) = 0 = (a) + (−a)

గుణకారం దృష్ట్యా అకరణీయ సంఖ్యల ధర్మాలు
సంవృత ధర్మం: గుణకారం దృష్ట్యా అకరణీయ సంఖ్యలు సంవృత ధర్మాన్ని పాటిస్తాయి. a, bలు అకరణీయ సంఖ్యలైతే a × b కూడా అకరణీయ సంఖ్య అవుతుంది.
స్థిత్యంతర ధర్మం: a, bలు అకరణీయ సంఖ్యలైతే a × b = b × a అవుతుంది.
సహచర ధర్మం: a, b, c లు ఏవైనా మూడు అకరణీయ సంఖ్యలైతే (a × b) × c = a × (b × c) అవుతుంది.
గుణకార తత్సమాంశం: 1 ను గుణకార తత్సమాంశం అంటారు. a × 1 = a = 1 × a.
గుణకార విలోమం: 'a' కు గుణకార విలోమం  అవుతుంది. అంటే a × 1/a = 1 = 1/a × a
 

వ్యవకలనం దృష్ట్యా అకరణీయ సంఖ్యల ధర్మాలు:
సంవృత ధర్మం: a, bలు రెండు అకరణీయ సంఖ్యలు అయితే a − b కూడా అకరణీయ సంఖ్య అవుతుంది. వ్యవకలనం దృష్ట్యా అకరణీయ సంఖ్యలు స్థిత్యంతర, సహచర ధర్మాన్ని పాటించవు.

భాగహారం దృష్ట్యా అకరణీయ సంఖ్యల ధర్మాలు:
సంవృత ధర్మం: ఏవైనా రెండు అకరణీయ సంఖ్యల భాగహార ఫలితం మరో అకరణీయ సంఖ్య అవుతుంది. కానీ విభాజకం '0' గా ఉండకూడదు. a, b లు అకరణీయ సంఖ్యలైతే  a/b కూడా అకరణీయ సంఖ్య అవుతుంది.
¤ భాగహారం దృష్ట్యా అకరణీయ సంఖ్యలు స్థిత్యంతర, సహచర ధర్మాన్ని పాటించవు.
¤ ఏవైనా రెండు అకరణీయ సంఖ్యలు a, bల మధ్య వాటి సగటు a+b /2 ఉంటుంది.
 a < a+b/2 < b
¤ ఒక ధన అకరణీయ సంఖ్య సంకలన విలోమం రుణ సంఖ్య అవుతుంది.
¤ ఒక రుణ అకరణీయ సంఖ్య సంకలన విలోమం ధన సంఖ్య అవుతుంది.
¤ a, −a లు పరస్పర సంకలన విలోమాలు.

గుణకార విభాగ న్యాయం: ఏవైనా మూడు అకరణీయ సంఖ్యలు a, b, c లకు a(b + c) = ab + ac, a(b − c) = ab − ac అవుతుంది.
ii) కరణీయ సంఖ్యలు: p, q ∈ Z ; q ≠ 0 అయినప్పుడు p/q రూపంలో రాయలేని సంఖ్యలను 'కరణీయ సంఖ్యలు' అంటారు.
¤ కరణీయ సంఖ్యా సమితిని Q' తో సూచిస్తారు.

¤ కరణీయ సంఖ్యల దశాంశ రూపం అంతం కాదు, ఆవర్తనమూ కాదు.
¤ n ఒక ప్రధానసంఖ్య అయితే √n ఒక కరణీయ సంఖ్య.
¤ q ఒక అకరణీయ సంఖ్య, s ఒక కరణీయ సంఖ్య అయితే q + s, q − s, q/s లు అన్నీ కరణీయ సంఖ్యలే.
¤ 'n' అనేది 1 కంటే పెద్దదైన ధనపూర్ణ సంఖ్య. 'a' అనేది ఏ అకరణీయ సంఖ్యకు nవ ఘాతంగా రాయడానికి వీల్లేని ధన అకరణీయ సంఖ్య అయితే  అప్పుడు  లేదా a^1/n ను nవ పరిమాణ 'కరణి' అంటారు.
¤ ను కరణి లేదా రాడికల్ అంటారు.
n = కరణి పరిమాణం
a = రాడికండ్
 = రాడికల్ గుర్తు
¤ కరణీయ సంఖ్యలు సంకలనం, వ్యవకలనం, గుణకారం, భాగహారం దృష్ట్యా సంవృత ధర్మాన్ని పాటించవచ్చు.
ఉదా: √2 ను సంఖ్యారేఖపై సూచించడం.

    
¤ పైథాగరస్ సిద్ధాంతం ప్రకారం సంఖ్యారేఖపై కరణీయ సంఖ్యలను సూచించవచ్చు.
¤ అకరణీయ, కరణీయ సంఖ్యల మొత్తం లేదా భేదం ఎల్లప్పుడూ మరో కరణీయ సంఖ్య అవుతుంది.
¤ రెండు కరణీయ సంఖ్యల మొత్తం, భేదం ఎల్లప్పుడూ కరణీయ సంఖ్య కాకపోవచ్చు.
ఉదా: (3 + √5) + (3 - √5) = 6 (అకరణీయ సంఖ్య)
(3 + √5) - (3 - √5) = 2√5 (కరణీయ సంఖ్య)
¤ రెండు కరణీయ సంఖ్యల లబ్ధం, భాగఫలం ఎల్లప్పుడూ కరణీయ సంఖ్య కాకపోవచ్చు.
ఉదా: √2 × √8 = √16 = 4 (అకరణీయ సంఖ్య)
 

కరణుల న్యాయాలు:

¤ a, bల మధ్య ఉండే ఒక కరణీయ సంఖ్య √ab

i) అకరణీయ కారణాంకం: ఏవైనా రెండు కరణీయ సంఖ్యల లబ్ధం అకరణీయ సంఖ్య అయితే ఆ రెండు కరణీయ సంఖ్యలు పరస్పరం ఒకదానికొకటి 'అకరణీయ కారణాంకాలు' అవుతాయి.
ఉదా: i) √2 × √2 = √4 = 2
ii)  √2 × √8 = √16 = 4
iii) √2 × √32 = √64 = 8
¤  √2 యొక్క అకరణీయ కారణాంకాలు √2, √8, √32, .............
¤ √2 యొక్క కనిష్ఠ అకరణీయ కారణాంకం √2

కరణి లేదా రాడికల్ ధర్మాలు:

వాస్తవ సంఖ్యలపై ఘాతాంక న్యాయాలు:

         పై దానిలో 'a' ను భూమి, m, nలను 'ఘాతాంకాలు' అంటారు.
ప్రధాన సంఖ్యలు: 1, దానికదే కారణాంకాలుగా ఉండే సంఖ్యను 'ప్రధాన సంఖ్య' అంటారు.
ఉదా: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ........
¤ రెండు అనేది ఒకే ఒక సరి ప్రధాన సంఖ్య. మిగిలిన ప్రధాన సంఖ్యలన్నీ బేసి సంఖ్యలే.
¤ ఒకటి నుంచి 100లోపు ఉండే ప్రధాన సంఖ్యలు 25.
¤ 101 నుంచి 200లోపు ఉండే ప్రధాన సంఖ్యలు 21.
¤ 201 నుంచి 300లోపు ఉండే ప్రధాన సంఖ్యలు 16.
¤ 301 నుంచి 400లోపు ఉండే ప్రధాన సంఖ్యలు 16.
¤ 401 నుంచి 500లోపు ఉండే ప్రధాన సంఖ్యలు 17.
¤ 501 నుంచి 600లోపు ఉండే ప్రధాన సంఖ్యలు 14.
¤ 601 నుంచి 700లోపు ఉండే ప్రధాన సంఖ్యలు 16.
¤ 701 నుంచి 800లోపు ఉండే ప్రధాన సంఖ్యలు 14.
¤ 801 నుంచి 900లోపు ఉండే ప్రధాన సంఖ్యలు 15.
¤ 901 నుంచి 1000లోపు ఉండే ప్రధాన సంఖ్యలు 14.
¤ ప్రధాన సంఖ్యలను తెలుసుకోవడానికి గణిత, భౌగోళిక శాస్త్రవేత్త అయిన ఎరటోస్తనీస్ ఒక పద్ధతిని కనుక్కున్నారు. ఈ పద్ధతినే 'ఎరటోస్తనీస్ జల్లెడ' అంటారు.
¤ 3 కంటే పెద్దదైన ఏ ప్రధాన సంఖ్యనైనా 6k + 1 లేదా 6k - 1 రూపంలో రాయవచ్చు.

¤ k = సహజ సంఖ్య
ఉదా: 5 = 6(1) − 1
          7 = 6(1) + 1
         11 = 6(2) − 1
         13 = 6(2) + 1
         17 = 6(3) - 1
         19 = 6(3) + 1..............

ప్రధాన సంఖ్యలు - రకాలు
i) కవల ప్రధాన సంఖ్యలు
ii) పరస్పర/సాపేక్ష ప్రధాన సంఖ్యలు
కవల ప్రధాన సంఖ్యలు: '2' భేదంగా ఉండే ప్రధాన సంఖ్యల జతలను 'కవల ప్రధాన సంఖ్యలు' అంటారు.
ఉదా: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73)
¤ 100లోపు ఉండే ప్రధాన సంఖ్యల్లో ఎనిమిది కవల ప్రధాన సంఖ్యల జతలు ఉంటాయి.

పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు (సాపేక్ష ప్రధాన సంఖ్యలు)
¤ ఏవైనా రెండు సంఖ్యలకు '1' మినహా వేరే ఉమ్మడి కారణాంకాలు లేకుంటే వాటిని 'పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు' అంటారు.
ఉదా: (8, 15), (17, 40), (25, 48)
¤ ఏవైనా రెండు వరుస సంఖ్యలు ఎల్లప్పుడూ పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలే.
¤ రెండు పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యల గ.సా.భా. ఎల్లప్పుడూ ఒకటి అవుతుంది.
¤ రెండు పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యల క.సా.గు. ఆ రెండు సంఖ్యల లబ్ధానికి సమానం.

సంయక్త సంఖ్యలు
రెండు కారణాంకాల కంటే ఎక్కువ కారణాంకాలు ఉండే సంఖ్యలను 'సంయుక్త సంఖ్యలు' అంటారు.
¤ ప్రధాన సంఖ్యలు కానీ సంఖ్యలన్నీ (ఒకటి మినహా) సంయుక్త సంఖ్యలే.
ఉదా: 4, 6, 8, 9, 10, 12
¤ ఘన సంఖ్యల్లో మొదటి సంయుక్త సంఖ్య 4. ఇదే అతి చిన్న సంయుక్త సంఖ్య.

ఒక సంయుక్త సంఖ్య కారణాంకాల మొత్తం

ఉదా: 42 యొక్క కారణాంకాల మొత్తం
  
నిర్ధారణ: 1 + 2 + 3 + 6 + 7 + 14 + 21 + 42 = 96
 

కారణాంకాలు, గుణిజాలు

కారణాంకాలు
      ఒక సంఖ్యను శేషం లేకుండా భాగించే ప్రతి సహజ సంఖ్యను దత్త సంఖ్యకు కారణాంకం లేదా భాజకం అంటారు.
ఉదా: 8 కారణాంకాలు 1, 2, 4, 8.
12 కారణాంకాలు 1, 2, 3, 4, 6, 12.

¤ ఒక సంఖ్యకు కారణాంకాలు పరిమితంగా ఉంటాయి.
 

గుణిజాలు
      ఒక సంఖ్యను సహజ సంఖ్యలైన 1, 2, 3, 4లతో వరుసగా గుణించగా వచ్చే లబ్ధాలను ఆ సంఖ్య యొక్క గుణిజాలు అంటారు.
ఉదా: 5 గుణిజాలు 5, 10, 15, 20.
¤ ఒక సంఖ్య గుణిజాలు అనంతం.
¤ ఒక సంఖ్య ప్రతి గుణిజాన్ని ఆ సంఖ్య నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది.

శ్రీప్రజ్ఞ‌ కాంపిటీటివ్ స్టడీ సర్కిల్, తిరుపతి