భాగస్వామ్యం

* ఇద్దరూ లేదా అంతకంటే ఎక్కువ మంది వ్యక్తులు కలిసి చేసే వ్యాపారాన్ని 'భాగస్వామ్యం లేదా ఉమ్మడి వ్యాపారం' అంటారు.
భాగస్వామ్యం రెండు రకాలు: 1) సామాన్య భాగస్వామ్యం
                           2) సంయుక్త భాగస్వామ్యం
సామాన్య భాగస్వామ్యం: భాగస్వాములు తమ పెట్టుబడులను సమాన కాలాల్లో ఉంచితే అలాంటి భాగస్వామ్యాన్ని 'సామాన్య భాగస్వామ్యం' అంటారు.
* సామాన్య భాగస్వామ్యంలో వచ్చిన లాభం లేదా నష్టాన్ని పెట్టుబడుల నిష్పత్తిలో పంచుకుంటారు.
సంయుక్త భాగస్వామ్యం: భాగస్వాములు తమ పెట్టుబడులను వేర్వేరు కాలాల్లో ఉంచితే ఆ భాగస్వామ్యాన్ని 'సంయుక్త భాగస్వామ్యం' అంటారు.
* సంయుక్త భాగస్వామ్యంలో వచ్చిన లాభం లేదా నష్టాన్ని పెట్టుబడులు, కాలాల లబ్ధ నిష్పత్తిలో పంచుకుంటారు.

1. ఆనంద్, దీపక్ రూ.22,500, రూ.35,000 పెట్టుబడులతో వ్యాపారాన్ని ప్రారంభించారు. సంవత్సరాంతంలో మొత్తం లాభం రూ.13,800. అయితే లాభంలో దీపక్ వాటా ఎంత?
సాధన: పెట్టుబడుల నిష్పత్తి = లాభాల నిష్పత్తి
             22,500 : 35,000
                  9   :  14
     మొత్తం: 23   13,800
                  14   ?
             × 13,800 = 8,400
     దీపక్ వాటా = రూ.8400

2. A, Bలు భాగస్వాములు. A రూ.2,000 పెట్టుబడిని పెట్టాడు. వారు లాభాలను 5 : 8 నిష్పత్తిలో పంచుకుంటే B పెట్టుబడి ఎంత?
సాధన: A పెట్టుబడి = రూ.2,000
           లాభాల నిష్పత్తి A: B = 5 : 8
    B పెట్టుబడి =    × 2,000 = 3,200
    B పెట్టుబడి = రూ.3,200

3. అరుణ్, వరుణ్‌లు వరుసగా రూ.12,000, రూ.18,000 పెట్టుబడులతో ఉమ్మడిగా వ్యాపారం ప్రారంభించారు. ఏడాది అనంతరం మొత్తం లాభం రూ.6,250. ఇందులో అరుణ్ వాటా ఎంత?
సాధన: 12,000 : 18,000
              2 : 3
మొత్తం లాభం = 6,250
అరుణ్ వాటా =  

 × 6,250
                   = 1,250 × 2
  అరుణ్ వాటా = రూ.2,500

4. ఒక వ్యాపారంలో A పెట్టుబడి, B పెట్టుబడికి రెట్టింపు, B పెట్టుబడి C పెట్టుబడికి 3 రెట్లు. వారికి ఏడాది అనంతరం వచ్చిన మొత్తం లాభం రూ.60,000. అయితే A వాటా ఎంత?
సాధన: A పెట్టుబడి, B పెట్టుబడి కంటే రెండింతలు ఎక్కువ. B పెట్టుబడి C పెట్టుబడికి మూడింతలు ఎక్కువ. కాబట్టి
    A పెట్టుబడి = 6
    B పెట్టుబడి = 3
    C పెట్టుబడి = 1
A వాటా =    × 60,000
            = రూ.36,000

5. A, B లు ఉమ్మడిగా వ్యాపారం ప్రారంభించారు. A రూ.35,000ను 8 నెలల వరకు పెట్టుబడిగా పెట్టాడు. B రూ.42,000ను 10 నెలలు పెట్టుబడిగా పెట్టాడు. ఏడాది అనంతరం వచ్చిన మొత్తం లాభం రూ.31,570. అయితే A వాటా ఎంత?
సాధన: 35,000 × 8 : 42,000 × 10
              2 : 3
        A వాటా =   × 31,570
                     = 2 × 6,314
                     = రూ.12,628
 

6. A, B, C లు ఉమ్మడిగా వ్యాపారాన్ని ప్రారంభించారు. A రూ.5,000 పెట్టుబడిని 4 నెలలు, B రూ.10,000 పెట్టుబడిని 3 నెలలు, C రూ.6,000 పెట్టుబడిని 5 నెలలు పెట్టారు. ఏడాది తర్వాత మొత్తం లాభం రూ.56,000 అయితే లాభంలో C వాటా ఎంత?
సాధన: 5,000 × 4 : 10,000 × 3 : 6,000 × 5
              20  :  30  :   30
              2   :  3     :   3
         C వాటా =    × 56,000
                      = 3 × 7,000 = రూ.21,000

7. A, B లు రూ.50,000, రూ.60,000 పెట్టుబడులతో వ్యాపారాన్ని ప్రారంభించారు. 8 నెలల తర్వాత B వ్యాపారం వదిలి వెళ్లాడు. అదే సమయంలో C రూ.90,000 పెట్టుబడితో వ్యాపారంలో చేరాడు. ఏడాది అనంతరం వచ్చిన లాభం రూ.36,000. అయితే లాభంలో A, B, C ల మధ్య వాటాల తేడా ఎంత?
సాధన: 50,000 × 12 : 60,000 × 8 : 90,000 × 4
              60     :   48   :   36
              5   :    4  :   3
      A, B మధ్య వాటాల తేడా = రూ.3,000
          × 36,000
   A, C ల మధ్య వాటాల తేడా =   

 × 36,000
                                  = రూ.6,000
 

8. A అనే వ్యక్తి రూ.10,000 పెట్టుబడితో వ్యాపారం ప్రారంభించాడు. ఒక సంవత్సరం తర్వాత B రూ.18000తో వ్యాపారంలో చేరాడు. మరో 3 నెలల తర్వాత C రూ.20,000తో వ్యాపారంలో చేరాడు. 3 సంవత్సరాల కాలానికి లాభం రూ.80,000. అయితే లాభంలో A వాటా ఎంత?
సాధన: A పెట్టుబడి = రూ.10,000
           B పెట్టుబడి = రూ.18,000
           C పెట్టుబడి = రూ.20,000

  10,000 × 36 : 18000 × 24 : 20,000 × 15
   5   :   6    :    5
   A వాటా =   × 80,000
               = రూ.25,000
 

9. లాల్ వర్తకం ప్రారంభించిన కొన్ని నెలలకు, పాల్‌ను వ్యాపారంలో చేర్చుకున్నాడు. వారి పెట్టుబడుల నిష్పత్తి 3 : 4. సంవత్సరాంతం వారు లాభాలను సమానంగా పంచుకుంటే పాల్ ఎప్పుడు వ్యాపారంలో చేరాడు?
సాధన: 3 × 12 : 4 × x = 1 : 1
         36 : 4x = 1 : 1
         4x = 36
   x = 9 నెలలు వ్యాపారంలో ఉన్నాడు.
  12 - 9 = 3
   పాల్ 3 నెలల తర్వాత వ్యాపారంలో చేరాడు.

10. A, Bలు రూ.10,000, రూ.15,000 తో ఉమ్మడిగా వ్యాపారాన్ని ప్రారంభించారు. 6 నెలల తర్వాత A మరో రూ.5,000 అదనంగా పెట్టుబడి పెట్టాడు. ఏడాది అనంతరం వారి లాభం రూ.44,000. అయితే లాభంలో A వాటా ఎంత?
సాధన: (10,000 × 6 + 15,000 × 6) : 15,000 × 12
              10 + 15   :    15 × 2
                  25     :     30
                     5    :   6
      A వాటా =   × 44,000
                       = రూ.20,000

11. A, B, C లు వరుసగా రూ.2,500, రూ.1,800, రూ.2,000 పెట్టుబడులతో వ్యాపారాన్ని ప్రారంభించారు. 4 నెలల తర్వాత A తన పెట్టుబడి నుంచి రూ.700 వెనక్కి తీసుకోగా, అదే సమయంలో B, C లు తమ పెట్టుబడులకు రూ.400, రూ.300 చొప్పున కలిపారు. ఏడాది అనంతరం మొత్తం లాభం రూ.945. అయితే C వాటా ఎంత?
సాధన: 2,500 × 4 + 1,800 × 8 : 1800 × 4 + 2200 × 8 : 2000 × 4 + 2300 × 8
                   = (25 + 18 × 2)  :   (18 + 22 × 2)   :  (20 + 23 × 2)
                    5 + 36   :   18 + 44  :  20 + 46
                     61  :    62    :   66
              C వాటా =   

 × 945
                   = 66 × 5 = రూ.330

12. సోము, రాము వరుసగా రూ.2,000, రూ.4,000 పెట్టుబడులతో వ్యాపారాన్ని ప్రారంభించారు. సంవత్సరాంతంలో మొత్తం లాభం రూ.12,000. అయితే లాభంలో రాము వాటా ఎంత?
సాధన: 2000 : 4000
          1  :   2
వాటాల మొత్తం = 1 + 2 = 3
రాము వాటా =    × 12,000
                    = 2 × 4000
   రాము వాటా = 8,000

13. A, B లు భాగస్వాములు. A రూ.3,000 పెట్టుబడి పెట్టాడు. వచ్చిన లాభాన్ని 3 : 6 నిష్పత్తిలో పంచుకున్నారు. అయితే B పెట్టుబడి ఎంత?
సాధన: A పెట్టుబడి = రూ.3,000
                   A : B = 3 : 6
           B పెట్టుబడి =    × 3,000 
                 = రూ.6,000

14. రాజేష్, నరేష్‌లు భాగస్వాములు. రాజేష్ పెట్టుబడి రూ.10,000. వచ్చిన లాభాన్ని 5 : 4 నిష్పత్తిలో పంచుకున్నారు. అయితే నరేష్ పెట్టుబడి ఎంత?
సాధన: రాజేష్ పెట్టుబడి = రూ.10,000
లాభాల నిష్పత్తి = 5 : 4
నరేష్ పెట్టుబడి =   × 10,000
                      = 4 × 2,000
నరేష్ పెట్టుబడి = రూ.8,000

కాలం - పని

» కాలం, పనికి సంబంధించిన సమస్యలు విలోమానుపాతంలో ఉంటాయి.
» ఒక పనిని పూర్తి చేయడానికి కూలీల సంఖ్యను పెంచితే, పనిచేసే రోజుల సంఖ్య తగ్గుతుంది.
» కుటుంబంలో సభ్యుల సంఖ్య పెరిగే కొద్దీ, ఆహార ధాన్యాలు సరిపడే రోజుల సంఖ్య తగ్గుతుంది.
» ఈ సమస్యలన్నింటికీ సమాధానం ఎక్కువ/తక్కువ లేదా తక్కువ/ఎక్కువ పద్ధతిలో చేయడం వల్ల తక్కువ సమయంలో జవాబును కనుక్కోవచ్చు.

సూత్రాలు
» ఒక మనిషి ఒక పనిని p రోజుల్లో పూర్తి చేస్తే, ఒక రోజులో అతడు చేసే పని భాగం = 1/p.
» A ఒక పనిని p రోజుల్లో, B అదే పనిని q రోజుల్లో విడివిడిగా పూర్తిచేస్తే..
A, B లు ఇద్దరు కలిసి ఆ పనిని పూర్తి చేయడానికి పట్టే రోజులు p×q / p+q లేదా pq / p+q
» A, B లు ఇద్దరూ కలిసి ఒక పనిని p రోజుల్లో పూర్తి చేయగలరు. A ఒక్కడే అదే పనిని q రోజుల్లో పూర్తిచేస్తాడు. అయితే B ఒక్కడికే ఆ పనిని పూర్తి చేయడానికి పట్టే రోజులు q×p / q-p లేదా pq / q-p
» ఒక పనిని A, B, C లు వరుసగా p, q, r రోజుల్లో పూర్తి చేయగలరు. ఈ ముగ్గురూ కలిసి ఆ పనిని పూర్తి చేయడానికి పట్టే రోజులు pqr / pq+qr+pr
» A ఒక పనిని p రోజుల్లో, B అదే పనిని q రోజుల్లో విడివిడిగా పూర్తిచేయగలరు. వీరంతా C తో కలిసి m రోజుల్లో పూర్తి చేస్తే, C ఒక్కడికే ఆ పనిని పూర్తి చేయడానికి పట్టే రోజులు p×q×m / (p×q)-m(p+q) లేదా m/p + m/q + m/x = 1 సూత్రంలో x ను కనుక్కోవాలి.

సమస్యలు

1. A, B లు కలిసి ఒక పనిని 15 రోజుల్లో పూర్తి చేయగలరు. B ఒక్కడే ఆ పనిని 20 రోజుల్లో చేయగలడు. అయితే A ఒక్కడే ఆ పనిని ఎన్ని రోజుల్లో చేయగలడు?
సాధన: A, B లు కలిసి ఒక పనిని 15 రోజుల్లో పూర్తి చేయగలరు.
           B ఒక్కడికే ఆ పనిని చేయడానికి పట్టే రోజులు = 20
           A ఒక్కడే ఆ పనిని ఎన్ని రోజుల్లో చేయగలడు?

2. ఒక నీటి ట్యాంకును మొదటి పంపు 40 నిమిషాల్లో, రెండో పంపు 60 నిమిషాల్లో నింపుతాయి. రెండూ కలిసి ఎంత కాలంలో ఆ ట్యాంకును నింపుతాయి?

3. A, B లు ఒక పనిని వేర్వేరుగా 20, 30 రోజుల్లో చేయగలరు. వారిద్దరూ కలిసి ఆ పనిని ఎన్ని రోజుల్లో చేయగలరు?

 

4. A, B లు ఒక పనిని వేర్వేరుగా 10, 15 రోజుల్లో పూర్తి చేయగలరు. వారిద్దరూ కలిసి ఆ పనిని ఎన్ని రోజుల్లో పూర్తిచేయగలరు?

 

5. A, B లు ఒక పనిని వరుసగా 10, 10 రోజుల్లో పూర్తి చేయగలరు. వారిద్దరూ కలిసి ఆ పనిని ఎన్ని రోజుల్లో పూర్తిచేస్తారు?

 

6. A, B లు కలిసి ఒక పనిని 20 రోజుల్లో పూర్తి చేయగలరు. B ఒక్కడే ఆ పనిని 15 రోజుల్లో చేయగలడు. అయితే A ఒక్కడే ఆ పనిని ఎన్ని రోజుల్లో పూర్తి చేయగలడు?

     

కాలం - దూరం

సాధారణ సూత్రాలు

వీటిని మీ./సె. లేదా mps అని రాస్తాం. అలాగే కి.మీ/గంట లేదా kmph అని కూడా సంబోధిస్తారు.
» 1 మీ./సెకను = 18/5 కి.మీ./గంట.
» 1 కి.మీ./గంట = 5/18 మీ./సెకను
» రెండు సమాన దూరాల్లోని మొదటి భాగాన్ని x kmph వేగంతో, రెండో భాగాన్ని y kmph వేగంతో ప్రయాణిస్తే,
పూర్తి ప్రయాణంలో సగటు వేగం = [ 2xy / x+y ]  kmph
» ఒక దూరాన్ని x kmph లో p నిమిషాలు ఆలస్యంగా చేరితే, y kmph వేగంతో q నిమిషాలు ముందే చేరుకుంటే ఆ దూరం = [ xy / y-x ] × [ p+q / 60 ] కి.మీ.

రైలు సూత్రాలు
» ఒక రైలు టెలిగ్రాఫ్ స్తంభాన్ని దాటడానికి ప్రయాణించే దూరం = రైలు పొడవు
» ఒక రైలు వంతెనను దాటడానికి ప్రయాణించే దూరం = రైలు పొడవు + వంతెన పొడవు
» రెండు రైళ్లు x kmph, y kmph వేగాలతో ఒకే దిశలో ప్రయాణిస్తే, ఆ రైళ్ల సాపేక్షవేగం = (x − y) kmph
» రెండు రైళ్లు p km, q km పొడవులను కలిగి x kmph, y kmph వేగాలతో ఒకే దిశ వైపు ప్రయాణిస్తే ఒకదాన్ని మరొకటి దాటడానికి పట్టేకాలం = [p+q / x+y] hr
» రెండు రైళ్లు x kmph, y kmph వేగాలతో ఎదురెదురు దిశల్లో ప్రయాణిస్తే వాటి సాపేక్షవేగం = (x + y) kmph
» రెండు రైళ్లు p km, q km పొడవులను కలిగి x kmph, y kmph వేగాలతో ఎదురెదురుగా ప్రయాణిస్తే ఒక దాన్ని మరొకటి దాటడానికి పట్టేకాలం = [p+q / x+y] hr

ప్రవాహ సూత్రాలు
» నిలకడ నీటిలో బోటువేగం x kmph, నీటి ప్రవాహవేగం y kmph అయితే
1) ప్రవాహ దిశలో బోటు వేగం = (x + y) kmph
2) ప్రవాహ వ్యతిరేఖ దిశలో బోటు వేగం = (x − y) kmph
» ప్రవాహ దిశలో బోటు వేగం p kmph, ప్రవాహ వ్యతిరేక దిశలో బోటు వేగం q kmph అయితే
1) నిలకడ నీటిలో బోటు వేగం = 1/2(p + q) kmph
2) నీటి ప్రవాహ వేగం = 1/2(p − q) kmph
 

సమస్యలు

1. 72 km/hr = ........ m/sec.
సాధన: 72 × 5/18 = 20 m/sec.
 

2. 10 మీ./సెకను కి.మీ./గంటల్లోకి మార్చండి.
సాధన: 10 × 18/5 = 36 కి.మీ./గంట
 

3. 50 మీ. పొడవున్న ఒక రైలు 100 మీ. పొడవున్న ప్లాట్‌ఫామ్‌ను 10 సెకన్‌లలో దాటుతుంది. అయితే రైలు వేగం ఎంత?
సాధన: 10 సెకన్ల కాలంలో రైలు ప్రయాణించే దూరం = (50 + 100) = 150 m
రైలు వేగం = [150/10] m/sec
                 = [15 ×18/5] = 54 km/hr
∴ రైలు వేగం = 54 km/hr
 

4. 280 మీ. పొడవున్న ఒక రైలు 60 కి.మీ/గం. వేగంతో ప్రయాణిస్తుంది. ఆ రైలుకు 220 మీ. పొడవు గల ఒక ప్లాట్‌ఫామ్ దాటడానికి ఎంత సమయం పడుతుంది?
సాధన: రైలు పొడవు = 280 మీ.
           రైలు వేగం = 60 కి.మీ/గంట
రైలు వేగం = [60 × 5/18] మీ./సెకన్
                = 50/3 మీ./సెకన్

రైలు ప్లాట్‌ఫామ్ దాటడానికి పట్టే కాలం = (280 + 200) మీ.
ప్రయాణించిన కాలం = [500 × 3/50] సెకన్లు
                              = 30 సెకన్లు

5. రెండు పట్టణాల మధ్య నడిచే ఒక రైలు గంటకు 70 కి.మీ. వేగంతో 30 నిమిషాలు ప్రయాణించి, మొదటి పట్టణం నుంచి రెండో పట్టణానికి చేరింది. అయితే ఆ రెండు పట్టణాల మధ్య దూరం (కి.మీ.లలో) ఎంత?
సాధన: దూరం = కాలం × వేగం
                       = 1/2 × 70 కి.మీ/గం.
                       = 35 కి.మీ.
    రెండు పట్టణాల మధ్య దూరం = 35 km

6. 54 km దూరాన్ని 12 mps వేగంతో ఎంతకాలంలో చేరవచ్చు?

7. ఒక వాహనం సెకనుకు 7 1/2 m దూరం ప్రయాణిస్తే, దాని వేగం ఎంత?
సాధన: వాహనం ప్రయాణించిన వేగం సెకనుకు = 7 1/2m
                                                                     = 7 1/2 × 18/5 
                                                                     = 15/2 × 18/5 
                                                                     = 27 kmph

8. 180 మీ. పొడవైన రైలు 54 kmph వేగంతో ప్రయాణిస్తే 150 మీ పొడవైన ఒక ప్లాట్‌ఫామ్ దాటడానికి ఆ రైలుకు పట్టే సమయం ఎంత?

శ్రీప్రజ్ఞ కాంపిటీటివ్ స్టడీసర్కిల్, తిరుపతి.