నిష్పత్తి - అనుపాతం

ఒకే ప్రమాణం ఉన్న రెండు రాశులను భాగహారం ద్వారా పోల్చడాన్ని నిష్పత్తి అంటారు. 
*   a, b అనే రెండు రాశుల నిష్పత్తిని a : b లేదా a/b   గా రాస్తారు.
*   x, y అనే రెండు రాశుల నిష్పత్తిని x : y లేదా x/y గా రాస్తారు.
*   a : b నిష్పత్తిలో a ను మొదటి పదం/ పూర్వపదం అని, b ను రెండో పదం/పరపదం అని అంటారు.
*   నిష్పత్తిలోని పదాలకు '1' తప్ప మరే ఉమ్మడి కారణాంకం లేకుంటే ఆ నిష్పత్తిని సూక్ష్మ రూపం/కనిష్ఠ రూపం అంటారు.
ఉదా: 4 : 5

 2/3 : 5/7 
        
        14 : 15
* నిష్పత్తిలో ప్రతి పదాన్ని ఒకే సంఖ్యతో గుణించినా, భాగించినా ఎలాంటి మార్పు ఉండదు.
ఉదా: a : b = ac : bc

  a/c : b/c = a : b
        

* ఒక నిష్పత్తిలో ప్రతి పదానికి ఒకే సంఖ్యను కూడినా, తీసివేసినా మార్పు వస్తుంది.
ఉదా: a : b ≠ a + c : b + c
         a : b ≠ a - c : b - c
* నిష్పత్తి పదాలను ఎప్పుడూ పూర్ణాంకాలుగానే రాయాలి. ఒకవేళ నిష్పత్తి పూర్వ, పర పదాల్లో ఏదో ఒకటి లేదా రెండూ అయిన్నట్లయితే వాటి హారాల క.సా.గు. కనుక్కొని దానితో నిష్పత్తి పూర్వ, పర పదాలను గుణిస్తే ఆ పదాలు పూర్ణాంకాలుగా మారతాయి.
 

నిష్పత్తిలో రకాలు
 

1. వర్గ నిష్పత్తి: ఒక నిష్పత్తిలోని రెండు పదాల వర్గాల నిష్పత్తినే వాటి 'వర్గ నిష్పత్తి' అంటారు.
   ఉదా: 4 : 5 యొక్క వర్గ నిష్పత్తి = 4² : 5² = 16 : 25
 

2. ఘన నిష్పత్తి: ఒక నిష్పత్తిలోని రెండు పదాల ఘనాల నిష్పత్తినే వాటి 'ఘన నిష్పత్తి' అంటారు.
     ఉదా: 2 : 3 యొక్క ఘన నిష్పత్తి =  2³ : 3³ =  8 : 27
 

3. వర్గమూలం నిష్పత్తి: ఒక నిష్పత్తిలోని రెండు పదాల వర్గమూలాల నిష్పత్తినే వాటి 'వర్గమూల నిష్పత్తి' అంటారు.
      ఉదా: 49 : 36 యొక్క వర్గమూల నిష్పత్తి =  
 

4. ఘనమూల నిష్పత్తి: ఒక నిష్పత్తిలోని రెండు పదాల ఘనమూలాల నిష్పత్తే వాటి 'ఘనమూల నిష్పత్తి'.
    ఉదా: 8 : 27 యొక్క ఘనమూల నిష్పత్తి =    = 2 : 3
 

5. ద్విగుణ నిష్పత్తి: a² : b² అనే నిష్పత్తి a : b కి ద్విగుణ నిష్పత్తి అవుతుంది
      x² : y² అనే నిష్పత్తి x : y కి ద్విగుణ నిష్పత్తి అవుతుంది.

6. ఉప ద్విగుణ నిష్పత్తి:    అనే నిష్పత్తి a : b కి ఉపద్విగుణ నిష్పత్తి అవుతుంది.
 

7. త్రిగుణ నిష్పత్తి: a³ : b³ అనే నిష్పత్తి a : b కి త్రిగుణ నిష్పత్తి అవుతుంది.
ఉదా: 2³ : 3³ అనే నిష్పత్తి 2 : 3 కి త్రిగుణ నిష్పత్తి.
 

8. ఉప త్రిగుణ నిష్పత్తి:     లేదా    అనేది a : b కి ఉప త్రిగుణ నిష్పత్తి అవుతుంది.
 

9. విలోమ నిష్పత్తి: ఒక నిష్పత్తిలోని రెండు పదాలను తారుమారు చేస్తే వచ్చే నిష్పత్తిని 'విలోమ నిష్పత్తి' అంటారు.
ఉదా: 2 : 3 విలోమ నిష్పత్తి 3 : 2
         5 : 4 విలోమ నిష్పత్తి 4 : 5
         6 : 5 విలోమ నిష్పత్తి 5 : 6

 a : b విలోమ నిష్పత్తి = 1/a : 1/b   = b : a
 a : b : c విలోమ నిష్పత్తి = bc : ac : ab
 2 : 3 : 4 విలోమ నిష్పత్తి = 3 × 4 : 2 × 4 : 2 × 3
                                              = 12 : 8 : 6 = 6 : 4 : 3
 x : y : z విలోమ నిష్పత్తి = yz : xz : xy

1. x : y : z = 1 : 2 : 3 అయితే  = 1/x : 1/y : 1/z?

 

                                       = 6 : 3 : 2
బహుళ నిష్పత్తి: రెండు నిష్పత్తుల్లోని పూర్వపదాల లబ్ధం, పరపదాల లబ్ధానికి ఉండే నిష్పత్తిని 'బహుళ నిష్పత్తి' అంటారు.
ఉదా: a : b : c : d ల బహుళ నిష్పత్తి = ac : bd 
a : b, c : d, e : f ల బహుళ నిష్పత్తి = a × c × e = b × d × f 
2 : 3, 4 : 5 ల బహుళ నిష్పత్తి
= 2 × 4 : 3 ×  5 = 8 : 15                                                  
6 : 7, 8 : 9 ల బహుళ నిష్పత్తి
= 6 × 8 : 7 × 9 = 48 : 63
                                                 

సంకీర్ణ నిష్పత్తి
a : b : c : d : e : f లు మూడు నిష్పత్తులై  ace/bdf   తే  ను ఆ మూడు నిష్పత్తుల సంకీర్ణ నిష్పత్తి అంటారు. దీన్నే మిశ్రమ నిష్పత్తి అని కూడా అంటారు.
* నిష్పత్తికి ప్రమాణాలు లేవు.
* నిష్పత్తిని ఎల్లప్పుడూ సూక్ష్మరూపంలో తెలియజేస్తారు.
* ఒక నిష్పత్తిని కనిష్ఠ పదాల్లోకి మార్చడానికి దాని పదాలను గ.సా.భా.తో భాగించాలి.
ఉదా: 36 : 30 నిష్పత్తిని సూక్ష్మరూపంలో రాయడం.
        30, 36 గ.సా.భా. 6
        36 : 30 = 39/6 : 30/6 = 6 : 5
   a : b ≠  b : a

 

* పూర్వ, పర పదాలు సమానంగా ఉండే నిష్పత్తిని 'సమాన నిష్పత్తి' అంటారు.
* ఒక నిష్పత్తిలో పూర్వపదం, పరపదం కంటే ఎక్కువగా ఉంటే ఆ నిష్పత్తిని అధిక అసమానత గల నిష్పత్తి అంటారు.
ఉదా: 9 : 5

* ఒక నిష్పత్తిలో పూర్వపదం, పరపదం కంటే తక్కువగా ఉంటే ఆ నిష్పత్తిని అల్ప అసమానత గల నిష్పత్తి అంటారు.
ఉదా: 7 : 8
 

నిష్పత్తి ధర్మాలు
* నిష్పత్తికి ప్రమాణాలు ఉండవు.
* రెండు రాశుల నిష్పత్తిని కనుక్కోవాలంటే ఆ రెండు రాశులను ఒకే ప్రమాణంలోకి మార్చాలి.
* నిష్పత్తిలోని పూర్వ, పరపదాలు పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలైతే ఆ నిష్పత్తి కనిష్ఠ పదాల్లో ఉందని లేదా సూక్ష్మరూపంలో ఉందని అంటారు.
* నిష్పత్తి పదాలను ఎల్లప్పుడూ పూర్ణాంకాలుగా సూచించాలి.
* రెండు నిష్పత్తులను పోల్చాలంటే ఆ నిష్పత్తుల పూర్వ లేదా పరపదాలను సమానం చేయాలి.
* నిష్పత్తిని భిన్న రూపంలో కూడా రాయవచ్చు. కాబట్టి భిన్నాలకు వర్తించే ధర్మాలన్నీ నిష్పత్తులకు కూడా వర్తిస్తాయి.
* నిష్పత్తిలోని రెండు పదాలను సున్నా లేదా ఒకే సంఖ్యతో గుణించినా, భాగించినా నిష్పత్తి విలువ మారదు.

సమస్యలు

1. రూ.2,820 ను Aకు 3 రెట్లు, Bకు 4 రెట్లు, Cకు 5 రెట్లు సమానంగా పంచితే A వాటా ఎంత?
సాధన: 3A = 4B = 5C ⇒ A : B : C = (4 × 5) : (3 × 5) : (3 × 4) 
                                                         = 20 : 15 : 12
                                   20 + 15 + 12 = 47
                                              A = 20 ⇒ 2820/47 × 20
                                                        = 60 ×  20
                                                         = 1200
                                A యొక్క వాటా = రూ.1,200

2. A, B ల నెలవారీ ఆదాయాల నిష్పత్తి 6 : 5, ఖర్చుల నిష్పత్తి 4 : 3. ఇద్దరూ రూ.400 చొప్పున పొదుపు చేస్తే వారి ఆదాయాల నిష్పత్తి ఎంత?
Method - 1
సాధన: A, B ల ఆదాయాల నిష్పత్తి = 6 : 5
             A, B ల ఖర్చుల నిష్పత్తి     =  4 : 3
                                                     
                                     పొదుపు = రూ.400
                           A ఆదాయం (6) = 400/2 × 6 = రూ.1,200
                           B ఆదాయం (5) = 400/2 × 5 = రూ.1,000
A, B ల ఆదాయాల నిష్పత్తి = 1,200 : 1,000
Method - 2
                                       
                                           = రూ.1,200, రూ.1,000

3. p, q ల ఆదాయాల నిష్పత్తి 3 : 4, ఖర్చుల నిష్పత్తి 2 : 3. ఇద్దరూ రూ.6,000 చొప్పున పొదుపు చేస్తే p, qల ఖర్చులు ఎంత?
సాధన: p, q ల ఆదాయాల నిష్పత్తి = 3 : 4
                  p, q ల ఖర్చుల నిష్పత్తి = 2 : 3
       p, q లు పొదుపు చేసిన మొత్తం = రూ.6,000
                          ఆదాయం - ఖర్చు = పొదుపు
                                            3 - 2 = 1 → 6,000
                                            4 - 3 = 1 → 6,000
             ∴ p ఖర్చు = 2 × 6,000 = రూ.12,000
             ∴ q ఖర్చు = 3 × 6,000 = రూ.18,000
 

బహుళ నిష్పత్తి
1) 3 : 4, 2 : 3 = 6 : 12 = 1 : 2
2) 5 : 7, 2 : 9 = 10 : 63
3) 8 : 2, 2 : 1, 9 : 3ల బహుళా నిష్పత్తి ఎంత?
సాధన: 8 × 2 × 9 : 2 × 1 × 3
                16 × 9 : 2 × 3
                     144 : 6
                       24 : 1

4. 5 : 8, 3 : 7 ల బహుళ నిష్పత్తి 45 : x అయితే x విలువ ఎంత?
సాధన: 
            15 : 56 = 45 : x
             x = 56 × 45/15
             x = 56 × 3
          ∴ x = 168
 

5. ల బహుళ నిష్పత్తి 84 : 60 అయితే x విలువ ఎంత? ,
సాధన: 
           56 : 5x = 84 : 60
                  5x = 56 × 60/84
                 x = 56 × 60/84 × 5
              ∴ x = 8
 

6. 3 : 4, 4 : 5 విలోమ నిష్పత్తులయితే, బహుళ నిష్పత్తి 45 : x విలువ ఎంత?
సాధన:  4 : 3, 5 : 4
            విలోమ నిష్పత్తి అవుతుంది.
          20 : 12 = 45 : x ,
                   x = 12 × 45/20
                  x = 3 × 9
                ∴ x = 27
 

7. 36 : 45 నిష్పత్తుల బహుళ నిష్పత్తి x : 25 అయితే x విలువ ఎంత?
సాధన: 36 : 45 = x : 25
                 x = 25 × 36/45
               ∴ x = 20

8. వైద్యులు, న్యాయవాదుల సరాసరి వయసు 40. వైద్యుల సరాసరి వయసు 35, న్యాయవాదుల సరాసరి వయసు 50. అయితే వారిద్దరి నిష్పత్తి ఎంత?
సాధన:
              
                              
           వైద్యుల సరాసరి వయసు = 35 సంవత్సరాలు
  న్యాయవాదుల సరాసరి వయసు = 50 సంవత్సరాలు
                            వైద్యుల సంఖ్య = x అనుకుంటే
                 న్యాయవాదుల సంఖ్య = y అనుకుంటే
                                35x + 50y = 40x + 40y
                             50y − 40y = 40x − 35x
                                         10y = 5x
                                           x/y = 2
                                        x : y = 2 : 1
వైద్యులు, న్యాయవాదుల నిష్పత్తి = 2 : 1

9. రమేశ్‌కు గణితం, సామాన్య శాస్త్రంలో 3 : 4 నిష్పత్తిలో మార్కులు వచ్చాయి. గణితంలో 60 మార్కులు వస్తే, సామాన్య శాస్త్రంలో ఎన్ని మార్కులు వచ్చాయి?
సాధన: రమేశ్‌కు గణితం, సామాన్య శాస్త్రంలో వచ్చిన మార్కులు 3 : 4.
           x = 20 అనుకుంటే
          3x = 3(20) = 60
సామాన్య శాస్త్రంలో వచ్చిన మార్కులు = 4x = 4(20) = 80
 

10. మూడు సంఖ్యల లబ్ధం 2304, వాటి నిష్పత్తి 1 : 4 : 9. అయితే వాటి వర్గ మూలాల నిష్పత్తిలోని పదాల మొత్తం ఎంత?
సాధన: మూడు సంఖ్యల లబ్ధం = 2304
                          వాటి నిష్పత్తి = 1 : 4 : 9 = x × 4x × 9x
                         x × 4x × 9x = 2304
                                   36 x³ = 2304     
                                    x³ = 64 = 4³
                                       ∴ x = 4

∴ ఆ సంఖ్యలు = 4, 4(4), 9(4)
                       = 4, 16, 36
వర్గ మూలాలు = √4, √16, √36                     
                         = 2, 4, 6
           నిష్పత్తి = 2 : 4 : 6 = 1 : 2 : 3
పదాల మొత్తం = 1 + 2 + 3 = 6

11. A, B లు ఒక పనిని చేసే కాలాల నిష్పత్తి 4 : 7. అయితే వారు ఆ పనిని చేసే సామర్థ్యాల నిష్పత్తి?
సాధన: సామర్థ్యాల నిష్పత్తి = కాలాల నిష్పత్తి విలోమం
          సామర్థ్యాల నిష్పత్తి 4 : 7 = కాలాల నిష్పత్తి విలోమం 7 : 4
 

12. 27 : 343 యొక్క ఘనమూలాల నిష్పత్తి?
సాధ‌న‌: ∛27 : ∛343
            = ∛3³ : ∛7³
            = 3 : 7

13. 35 : 63, 7 : 15ల బహుళ నిష్పత్తి?
సాధ‌న‌:  
              (35 × 7) : (63 × 15)
                     245 : 945
                    7 : 27
 

14. రూ.624 ను A, B, C లకు 1/2 : 1/3 : 1/4 నిష్పత్తిలో విభజిస్తే B కి వచ్చిన వాటా ఎంత?

సాధ‌న‌: 

15. 4 : 9, 5 : 7 ల బహుళ నిష్పత్తి విలోమ నిష్పత్తి?
సాధన: 4 : 9, 5 : 7 ల బహుళ నిష్పత్తి = 4 ×  5 : 9 × 7
                       = 20 : 63
              ∴ కావాల్సిన విలోమ నిష్పత్తి = 63 : 20
 

16. 3 : 4 నిష్పత్తి, 4 : 5 విలోమ నిష్పత్తుల బహుళ నిష్పత్తి 90 : x. అయితే x విలువ ఎంత?
సాధన: 4 : 5 విలోమ నిష్పత్తి = 5 : 4
           ∴ 3 : 4, 5 : 4ల బహుళ నిష్పత్తి = 3 ×  5 : 4 ×  4
           = 15 : 16
          ∴ 15 : 16 = 90 : x
              15/16 = 90/x
                ⇒ x = 96

17. ఒక ఉద్యోగి నెలకు రూ.15,000 సంపాదిస్తే అందులో ఖర్చు, పొదుపుల నిష్పత్తి 7 : 3. అయితే ఆదా చేసిన మొత్తం?
సాధన: పొదుపు చేసిన మొత్తం = 3 / 7+3 × 15,000
                           = 3/10 × 15,000
                           = రూ.4,500
 

18. ఒక మైక్రోచిప్ పథకం (డిజైన్) స్కేలు 40 : 1 గా ఉంది. నమూనాలో దాని పొడవు 18 సెం.మీ. అయితే ఆ మైక్రోచిప్ నిజమైన పొడవు ఎంత?
సాధన: మైక్రోచిప్ పథకం స్కేలు నిష్పత్తి = 40 : 1
            నమూనాలో దాని పొడవు = 18 సెం.మీ.
            దాని నిజమైన పొడవు = 0.45 సెం.మీ.
 

19. ఒక బోటు ప్రవాహదిశలో 2 గంటల్లో ఎంత దూరం ప్రయాణిస్తుందో అంతే దూరాన్ని వ్యతిరేక దిశలో 6 గంటల్లో ప్రయాణిస్తుంది. అయితే నిలకడ నీటిలో బోటు వేగం, నీటి ప్రవాహ వేగాల నిష్పత్తి?
సాధన: (x + y) × 2 = (x − y) × 6
           2x + 2y = 6x − 6y
           2y + 6y = 6x − 2x
           8y = 4x
           x/y = 8/4
           x/y = 2/1
       ∴ x : y = 2 : 1

అనుపాతం: రెండు నిష్పత్తుల సమానత్వాన్ని 'అనుపాతం' అంటారు.
* a : b = c : d అయినప్పుడు a : b : : c : d అని రాస్తాం. అప్పుడు a, b, c, d లు అనుపాతంలో ఉన్నాయని అంటారు. ఇక్కడ a, d లు అంత్యాలు b, c లు మధ్యములు.
    ఉదా: 2 : 3 = 4 : 6 కాబట్టి 2, 3, 4, 6 లు అనుపాతంలో ఉన్నాయని అంటారు.
అంత్యపదాన్ని కనుక్కోవడం

* a, b, c, d లు అనుపాతంలో ఉంటే అంత్యాల లబ్ధం (a × d) = మధ్యముల లబ్ధం (b × c)
ఉదా: 1. 36, 45, x , 25లు అనుపాతంలో ఉంటే x విలువ ఎంత?
సాధన: 36, 45, x , 25
           అంత్యపదాల లబ్ధం = మధ్య పదాల లబ్ధం
          36 × 25 = 45 × x
         ∴ x = 36×25 / 45 = 4×5
         ∴ x = 20

2. 24, 40, x, 25 లు అనుపాతంలో ఉంటే x విలువ ఎంత?
సాధన: 24, 40, x, 25
           అంత్యపదాల లబ్ధం = మధ్యపదాల లబ్ధం
           24 × 25 = 40 × x
           x = 24 × 25 / 40          
           x = 3 × 5
           ∴ x = 15
 

అనుపాతం - రకాలు
1) మధ్యమ అనుపాతం/2వ అనుపాతం/ద్వితీయ అనుపాతం
2) 3వ అనుపాతం/తృతీయ అనుపాతం
3) 4వ అనుపాతం/చతుర్థ అనుపాతం
 

మధ్యమ అనుపాతం
  a : b = b : c అయితే a, b, c లు అనుపాతంలో ఉన్నాయి అంటారు.
  a, b, cలు అనుపాతంలో ఉంటే 'b' ను రెండో అనుపాతం లేదా మధ్యమ అనుపాతం అంటారు.
   a, b, cల మధ్యమ అనుపాతం (b) = √ac

ఉదా: 1. 4, 16ల మధ్యమ అనుపాతం?
సాధన: b = √ac
      = √4 × 16 
       = 8

2. 2, 32 ల మధ్యమ అనుపాతం?
సాధన: b = √ac
      = √2 × 32  
      = √64
      = 8

4. 9, 9ల అనుపాత మధ్యమం = √ac
                 = √9×9
                 = 9

5. 8, 18ల మధ్యమ అనుపాతం b = √ac
                 = √8×18 
                 = √144
          ∴ b = 12

3వ అనుపాతం/తృతీయ అనుపాతం:
a : b = b : c అయితే a, b, c లు అనుపాతంలో ఉంటే c ను 'తృతీయ అనుపాతం' అంటారు.
a, b, c ల తృతీయ అనుపాతం c = b²/a
ఉదా: 1. 16, 4ల తృతీయ అనుపాతం

    

2. 2, 6 ల తృతీయ అనుపాతం?

    
            
3. 5, 5 ల తృతీయ అనుపాతం?

4. 9, 9ల తృతీయ అనుపాతం?
సాధన: a = 9, b = 9

చతుర్థ అనుపాతం/4వ అనుపాతం
    a : b = c : d అయితే d ను 4వ అనుపాతం లేదా చతుర్థ అనుపాతం అంటారు.
     a, b, c, d ల 4వ అనుపాతం d = bc/a
ఉదా: 1. 5, 4, 5, dల 4వ అనుపాతం d = bc/a  
                = 4×5 / 5 
                = 20/5     
          ∴ d = 4

2. 2, 4, 4 అంకెలకు 4వ అనుపాతం కనుక్కోండి.
సాధన: 4వ అనుపాతం d = bc/a
            = 4×4 / 2
            = 16/2
      ∴ d = 8
 

3. 12, 8, 9 లకు 4వ అనుపాతం కనుక్కోండి.
సాధన: 4వ అనుపాతం d = bc/a
             = 8×9 / 12 
             = 72/12                                    
      ∴ d  = 6

4. 2, 4, 8 అంకెలకు చతుర్థ అనుపాతం కనుక్కోండి.
సాధన: చతుర్థ అనుపాతం d = bc/a
              = 4×8 / 2
              = 32/2                                         
       ∴ d = 16
 

అనుపాతం - రకాలు
1) అనులోమానుపాతం
2) విలోమానుపాతం
3) మిశ్రమానుపాతం
అనులోమానుపాతం: ఏవైనా రెండు రాశుల్లో ఒక రాశి పెరిగినప్పుడు రెండో రాశిలో కూడా పెరుగుదల ఒక స్థిర నిష్పత్తిలో ఉంటే ఆ రెండు రాశులు అనులోమానుపాతంలో ఉన్నాయని అంటారు.
* x అనేరాశి yకి అనులోమానుపాతంలో ఉంది అనడాన్ని x ∝ y గా రాస్తారు.
* x విలువలు x1, x2 లకు అనుగుణంగా y విలువలు వరుసగా y₁, y₂ అయితే,
   ∴ x₁ / y₁ = x₂ / y₂    అవుతుంది.

ఉదా: 1. కొన్ని వస్తువుల సంఖ్య వాటి ఖరీదుకు అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
ఉదా: 2. స్థిరమైన కాలంలో వేగం పెరిగినప్పుడు దూరం కూడా పెరుగుతుంది. కాబట్టి వేగం, దూరం అనులోమానుపాతంలో ఉంటాయి.
* రెండు రాశులు అనులోమానుపాతంలో ఉంటే వాటి నిష్పత్తి ఎల్లప్పుడూ స్థిరాంకం.
   ∴ x/y = k  

విలోమానుపాతం: ఏవైనా రెండు రాశుల్లో ఒక రాశిలో పెరుగుదల ఏర్పడినప్పుడు రెండో రాశిలో తరుగుదల ఒక స్థిర నిష్పత్తిలో ఉంటే ఆ రెండు రాశులు విలోమానుపాతంలో ఉన్నాయని అంటారు.
* x అనేది yకి విలోమానుపాతంలో ఉంది అనడాన్ని x ∝ 1/y, తో సూచిస్తారు.
* x విలువలు x₁, x₂ అయితే వాటికి అనుగుణమైన y విలువలు y₁, y₂ అయినప్పుడు
      x₁y₁ = x₂y₂

మిశ్రమానుపాతం: కొన్ని సందర్భాల్లో ఒక రాశిలోని మార్పు రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ రాశుల్లోని మార్పులతో ఏదో ఒక అనుపాతంలో ఉంటుంది. దీన్నే మిశ్రమానుపాతం అంటారు.
* ఒక రాశి మిగిలిన రాశులన్నింటితో అనులోమానుపాతంలో, కొన్నింటితో విలోమానుపాతంలో ఉంటే ఆ రాశిలోని మార్పును సూచించే నిష్పత్తి = అనులోమానుపాతంలో ఉన్న రాశుల నిష్పత్తికి, విలోమానుపాతంలో ఉన్న రాశుల విలోమ నిష్పత్తికి గల బహుళ నిష్పత్తి.
* ఒక రాశి మిగిలిన రాశులన్నింటితో అనులోమానుపాతంలో ఉంటే ఆ రాశిలోని మార్పును సూచించే నిష్పత్తి = మిగిలిన రాశుల్లోని మార్పులను సూచించే నిష్పత్తుల బహుళ నిష్పత్తి.
* ఒకరాశి మిగిలిన రాశులన్నింటితో విలోమానుపాతంలో ఉంటే ఆ రాశిలోని మార్పును సూచించే నిష్పత్తి = గిలిన రాశుల్లో మార్పులను తెలియజేసే నిష్పత్తులకు గల విలోమ నిష్పత్తుల బహుళ నిష్పత్తి.
* మిశ్రమానుపాతంలో మొదటి రాశి నిష్పత్తిని మిగిలిన రెండు రాశుల బహుళ నిష్పత్తికి సమానం చేస్తారు.
 

మిశ్రమానుపాత ధర్మాలు
* ఒక రాశి మిగిలిన రెండు రాశులతో అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
* ఒక రాశి మిగిలిన రెండు రాశులతో అనులోమానుపాతంలో, రెండో దాంతో విలోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
* x, y లు విలోమానుపాతంలో ఉంటే x/y = స్థిరాంకం.
    
 x, yలు విలోమానుపాతంలో ఉంటే x, y = స్థిరాంకం.
    ∴ x₁y₁ = x₂y₂ = ...... k
* మొదటి రెండు పరిమాణాల మధ్య నిష్పత్తి a : b అయితే రెండో, మూడో పరిమాణాల మధ్య నిష్పత్తి c : d,
 మొదటి, రెండో, మూడో పరిమాణాల నిష్పత్తి ac : bc : bd అవుతుంది.
* a : b, c : d, e : fలు మొదటి, రెండో, మూడో, నాలుగో, అయిదో, ఆరో నిష్పత్తులైనప్పుడు 1వ, 2వ, 3వ పరిమాణాల నిష్పత్తి
ace : bce : bde : bdf అవుతుంది.
* ఏదైనా ద్విరేఖీయ చిత్రాల్లో సంబంధిత భుజాల నిష్పత్తి a : b అయితే దాని వైశాల్యాల నిష్పత్తి a² : b² అవుతుంది.
* రెండు సంఖ్యల మధ్య నిష్పత్తి a : b, వాటి విలువను x పెంచితే ఏర్పడే నిష్పత్తి c : d అయితే 
    
* ఇద్దరు వ్యక్తుల ఆదాయం a : b నిష్పత్తిలో ఉంది. వారి ఖర్చుల నిష్పత్తి c : d. అయితే ఇద్దరూ రూ.x ఆదా చేస్తే వారి ఆదాయాలు
   మొదటి వ్యక్తి ఆదాయం = xa(d-c) / ad-bc
    రెండో వ్యక్తి ఆదాయం =  xb(d-c) / ad-bc
* ఒక సంఖ్యను a : b నిష్పత్తికి కలిపి, దీన్ని c : d కి సమానం చేస్తే ఆ సంఖ్య  ad-bc / c-d అవుతుంది.
* ఒక సంఖ్యను a : b పరిమాణాల నుంచి తీసివేసి దాన్ని c : d కి సమానం చేస్తే ఆ సంఖ్య bc-ad / c-d అవుతుంది.
* భిన్నరూప నిష్పత్తులను, హారాల క.సా.గు.తో గుణించడం వల్ల మార్చవచ్చు.
= (a : b) > (c : d) ⇔ a/b > c/d 
 

ఒక సంఖ్యను ఇచ్చిన నిష్పత్తిలో రెండు సంఖ్యలుగా విడదీయడం
1) p ను a : b నిష్పత్తిలో రెండు సంఖ్యలుగా వీడదీస్తే అవి ap / a+b, bp / a+b అవుతాయి.
2) p ను a : b : c నిష్పత్తిలో మూడు సంఖ్యలుగా విడదీస్తే అవి  అవుతాయి.
 

Chain rule
M₁ మంది D₁ రోజుల్లో రోజుకు T₁ గంటల్లో W₁ పనిచేస్తే, మరొక గ్రూపులోని M₂ మంది D₂ రోజుల్లో రోజుకు T₂ గంటల్లో W₂ పనిచేస్తే
      

సమస్యలు

1. కింది సంఖ్యలు అనులోమానుపాతంలో ఉంటే x విలువ ఎంత?
   i) 2 : 5 = 6 : x
   ii) 16 : 20 = x : 35
సాధన: i) 2 : 5 = 6 : x
                 x = 5 × 6 / 2                 
              ∴ x = 15
ii) 16 : 20 = x : 35
                x = 16 × 35 / 20
             ∴ x = 28

2. 56, 64, 35, xలు అనుపాతంలో ఉంటే x విలువ ఎంత?
సాధ‌న‌:        d = bc / a
                    x = 64×35 / 56
                    x = 40
 

3. 36 : 45 : : x : 25 అయితే x విలువ ఎంత?
సాధ‌న‌:      x = 25×36 / 45
               ∴ x = 20

4. భౌతికశాస్త్రం ప్రకారం భూమిపై ఒక వస్తువు బరువు, చంద్రుడిపై అదే వస్తువు బరువు అనుపాతంలో ఉంటాయి. భూమిపై 90 కిలోల బరువున్న పురుషుడి బరువు చంద్రుడిపై 15 కిలోలు. అయితే భూమిపై 60 కిలోల బరువున్న స్త్రీ చంద్రుడిపై ఎంత బరువు ఉంటుంది?
సాధన: 90 : 15 = 60 : x
                      x = 15×60 / 90
                       x = 5 × 2
                    ∴ x = 10 కిలోలు

5. ఒక ప్రాథమిక పాఠశాలలో 60 మంది విద్యార్థులకు ముగ్గురు ఉపాధ్యాయులు అవసరమైతే 400 మంది విద్యార్థులకు ఎంతమంది ఉపాధ్యాయులు అవసరం?
సాధన: ఒక ప్రాథమిక పాఠశాలలో 60 మంది విద్యార్థులకు ముగ్గురు ఉపాధ్యాయులు అవసరమైతే,
          60 → 3
         400 = ?
        400/3 × 3 = 20
 ∴ 400 విద్యార్థులకు 20 మంది ఉపాధ్యాయులు అవసరం.
 

6. కుమార్ ఆదాయం 3 నెలలకు రూ.15,000 అయితే
     i) 5 నెలలకు ఆదాయం ఎంత?
    ii) రూ.95,000 ఎన్ని నెలల్లో సంపాదిస్తాడు?
సాధన: i) కుమార్ 3 నెలల ఆదాయం = రూ.15,000
                                        5 నెలలకు = ?
                           5/3 × 15,000
                           5 ×  5000 = రూ.25,000
         ii) కుమార్ 3 నెలల ఆదాయం = రూ.15000
                                                      = (95,000 / 15,000) ×  3 = 19
           19 నెలలకు రూ.95,000 సంపాదించవచ్చు.

 

7. ఒక పిట్ట 10 సెకన్‌లలో 23 సార్లు రెక్కలను ఆడిస్తుంది? అయితే 2 నిమిషాల్లో ఎన్నిసార్లు రెక్కలను ఆడిస్తుంది?
సాధన: ఒక పిట్ట 10 సెకన్‌లలో 23 సార్లు రెక్కలను ఆడిస్తుంది.
           2 నిమిషాలు ?
         120/10 × 23
           = 12 × 23
           = 276
           ∴ ఆ పిట్ట 2 నిమిషాల్లో 276 సార్లు రెక్కలను ఆడిస్తుంది.
 

8. 48 బస్తాల ధాన్యం ఖరీదు రూ.16,800 అయితే 36 బస్తాల ధాన్యం ఖరీదు ఎంత?
సాధన: 48 బస్తాల ధాన్యం ఖరీదు రూ.16,800
           36 బస్తాల ధాన్యం ఖరీదు?
           36/48 ×16800
        = 4200 × 3
         = రూ.12,600

9. నలుగురు సభ్యులున్న కుటుంబానికి సగటున నెలకు రూ.2800 ఖర్చయితే, ముగ్గురు సభ్యులున్న కుటుంబానికి నెలకు అయ్యే సగటు ఖర్చు ఎంత?
సాధన: నలుగురు సభ్యులకు నెలకు ఖర్చు = రూ.2800
           ముగ్గురు సభ్యులకు నెలకు అయ్యే ఖర్చు?
          3/4 × 2800
           = 2100
 ∴ ముగ్గురు సభ్యులున్న కుటుంబానికి రూ.2100 ఖర్చవుతుంది.
 

10. 28 మీ. పొడవున్న ఒక ఓడ స్తంభం ఎత్తు 12 మీ. అయితే ఆ ఓడ నమూనా తయారీలో ఓడ స్తంభం ఎత్తు 9 సెం.మీ.గా ఉంది. ఆ ఓడ పొడవు ఎంత?
సాధన: ఓడ పొడవు = 28 మీ.
            ఓడ స్తంభం = 12 మీ.
           ఆ ఓడ నమూనా తయారీలో ఓడ స్తంభం ఎత్తు = 9 సెం.మీ.
           ఓడ పొడవు ?
          28 × 100 = 2800 సెం.మీ.
       ∴ 12 × 100 = 1200 సెం.మీ.
         = 9/1200 × 2800
        = 3 × 7 = 21 సెం.మీ.

11. ఒక కుళాయి 50 c సామర్థ్యం ఉన్న ఒక ట్యాంకును 5 గంటల్లో నింపితే, 75 c సామర్థ్యం ఉన్న మరొక ట్యాంకును నింపడానికి ఎంత సమయం పడుతుంది?
సాధన: 50 c సామర్థ్యం ఉన్న ట్యాంకును నింపడానికి పట్టే సమయం = 5 గంటలు
          75 c సామర్థ్యం ఉన్న ట్యాంకును నింపడానికి పట్టే సమయం?
          75/50 × 5
          =  75/10 = 7.5
         = 7 1/2 గంటలు
 

12. 36 మంది కూలీలు ఒక గోడను 12 రోజుల్లో కట్టగలరు. అయితే అదే గోడను 16 మంది కూలీలు ఎన్ని రోజుల్లో నిర్మిస్తారు?
సాధన: 36 మంది కూలీలకు గోడను కట్టడానికి పట్టే సమయం = 12 రోజులు
           16 మంది కూలీలకు గోడను కట్టడానికి పట్టే సమయం?
           M₁D₁ = M₂D₂
          36 × 12 = 16 × x = 36/16 × 12
          x = 27 రోజులు
 ∴ 16 మంది కూలీలకు గోడను కట్టడానికి 27 రోజుల సమయం పడుతుంది.

13. x + 1 మంది పనివారు ఒక పనిని x + 1 రోజుల్లో చేస్తే, x + 2 మంది పనివారు ఆ పనిని ఎన్ని రోజుల్లో చేస్తారు?
సాధన: x + 1  → x + 1
           x + 2 = ?
         
 

14. కొంత మంది ఒక పనిని 10 రోజుల్లో చేస్తారు. కానీ 10 మంది అదనంగా రావడం వల్ల 2 రోజుల ముందే పని పూర్తయ్యింది. అయితే మొదట ఉన్న వారి సంఖ్య?
సాధన: x − 10
          10 + x = 8
          10 → x
           8 → 10 + x                     M₁D₁ = M₂D₂
            x = 8/10 × 10 + x                x × 10 = (x + 10)8
            x = 40+4x / 5                       x / x+10 = 8/10  
             5x = 40 + 4x                      5x = 4x + 40
             5x − 4x = 40                     5x − 4x = 40
               ∴ x = 40                          ∴ x = 40

15. z అనే రాశి x రాశికి అనులోమానుపాతంలో, y రాశికి విలోమానుపాతంలో ఉంటుంది. x రాశిలో 12% పెరుగుదల, y రాశిలో 20% తరుగుదల ఉంటే z రాశిలో మార్పు శాతం ఎంత?

16. 8 మందికి 20 రోజులకు కావాల్సిన బియ్యం వెల రూ.480. అయితే 12 మందికి 15 రోజులకు కావాల్సిన బియ్యం వెల ఎంత?

17. 35 మంది విద్యార్థులకు 24 రోజులకు భోజనాలకు అయ్యే ఖర్చు రూ.6,300. అయితే 25 మంది విద్యార్థులకు 18 రోజులకు భోజనాలకు ఎంత ఖర్చు అవుతుంది?
             
∴ 25 మంది విద్యార్థులకు 18 రోజులకు అయ్యే భోజనాల ఖర్చు రూ.3,375.

18. 24 మంది పనివారు ఒక పనిని రోజుకు 6 గంటలు పని చేస్తూ 14 రోజుల్లో పూర్తి చేయగలరు. అయితే రోజుకు 7 గంటల వంతున పనిచేస్తూ ఆ పనిని 8 రోజుల్లో పూర్తి చేయాలి అంటే కావాల్సిన పనివారు సంఖ్యను కనుక్కోండి.
సాధన: M₁D₁T₁ = M₂D₂T₂
         24 × 6 × 14 = x × 7 × 8
         x = 24 × 6 × 14 / 7 × 8
          x = 3 × 6 × 2
       ∴ x = 18 × 2 = 36
 

19. 10 మంది పనివారు 75 కి.మీ. పొడవు గల రోడ్డును 5 రోజుల్లో వేయగలరు. అదే పనితనం ఉన్న 15 మంది పనివారు 45 కి.మీ. పొడవున్న రోడ్డును ఎన్ని రోజుల్లో వేయగలరు?
సాధ‌న‌:  10 × 5 / 75 = 15 × x / 45  
                        2 × 1 = x
                           ∴ x = 2

20. 175 మంది పనివారు 36 రోజుల్లో 3,150 మీటర్ల పొడవు గల కాలువను తవ్వగలరు. అయితే 3900 మీటర్ల పొడవున్న కాలువను 24 రోజుల్లో ఎంత మంది తవ్వగలరు?
సాధన:

                      
21. 14 మంది టైపిస్టులు రోజుకు 6 గంటల వంతున పనిచేస్తూ 12 రోజుల్లో ఒక పుస్తకాన్ని టైపు చేయగలరు. అదే పుస్తకాన్ని నలుగురు టైపిస్టులు రోజుకు 7 గంటల వంతున పనిచేస్తూ ఎన్ని రోజుల్లో టైపు చేయగలరు?
సాధన: M₁D₁T₁ = M₂D₂T₂
           14 × 6 × 12 = 4 × 7 × x
            x = 14 × 6 × 12 / 4 × 7
         ∴ x = 6

ఏకవస్తు మార్గం
* కొన్ని వస్తువుల ఖరీదు ఇచ్చినప్పుడు ముందుగా ఒక వస్తువు ఖరీదు కనుక్కొని, దీని ఆధారంగా కావాల్సిన వస్తువుల ఖరీదును కనుక్కునే పద్ధతిని ఏక వస్తుమార్గం అంటారు.
ఇచ్చిన వస్తువుల ఖరీదు
* కావాల్సిన వస్తువుల విలువ = (ఇచ్చిన వ‌స్తువుల ఖ‌రీదు / ఇచ్చిన వ‌స్తువుల సంఖ్య‌) × కావాల్సిన వ‌స్తువుల సంఖ్య‌
* పొడవు, బరువు, పరిమాణాలకు చెందిన సమస్యలను కూడా ఏక వస్తుమార్గ పద్ధతి ద్వారా సాధించవచ్చు.
 

సమస్యలు

1. 5 కిలోల ఉల్లిపాయల ధర రూ.325 అయితే 13 కిలోల ఉల్లిపాయల ధర ఎంత?
సాధన: 13 కిలోల ఉల్లిపాయల ధర = 325/5 ×13
                 = 845

2. 2 డజన్ల నారింజ కాయల ధర రూ.192 అయితే 47 నారింజ కాయల ధర ఎంత?
సాధన: ఒక డజను = 12 వస్తువులు
            2 డజన్లు = 24 వస్తువులు
          47 నారింజ కాయల ధర = 192/24 × 47
                   = 8 ×  47 = 376
 

3. రాఘవేంద్రకు కారులో 82 కి.మీ. దూరం ప్రయాణించడానికి 2 గంటల 44 నిమిషాల సమయం పట్టింది. అతడికి అదే వేగంతో 150 కి.మీ. దూరం ప్రయాణించడానికి ఎంత సమయం పడుతుంది?
సాధన: కావాల్సిన సమయం = 164/82 × 150
             = 300 నిమిషాలు
             = 5 గంటలు

4. ఒక గ్రోసు పెన్నుల ఖరీదు రూ.1152 అయితే 38 పెన్నుల ఖరీదు ఎంత?
సాధన: ఒక గ్రోసు = 144 వస్తువులు
            ∴ 38 పెన్నుల ఖరీదు = 1152/144 × 38
            = 8 × 38 = 304

5. ఒక టన్ను బియ్యం ఖరీదు రూ.43,000 అయితే 103 కిలోల బియ్యం ఖరీదు ఎంత?
సాధన: ఒక టన్ను = 1000 కి.గ్రా.
            103 కిలోల బియ్యం ఖరీదు = (43000 / 1000) × 103
                             = 43 × 103
                             = రూ.4429
 

6. 6 సీసాల పండ్ల రసం ఖరీదు రూ.210 అయితే 4 సీసాల పండ్ల రసం ఖరీదు ఎంత?
సాధన:  210/6 × 4 = 70 ×  2
             4 సీసాల పండ్ల రసం = రూ.140
 

7. 12 పెన్సిళ్ల ధర రూ.24 అయితే 10 పెన్సిళ్ల ధర ఎంత?
సాధన:  24/12 × 10 = 20
           10 పెన్సిళ్ల ధర రూ.20
              

శ్రీప్రజ్ఞ కాంపిటీటివ్ స్టడీ సర్కిల్, తిరుపతి.