రేఖాగణిత సిద్ధాంతాలు
రేఖలు, వాలులు, దూరాలకు చెందిన రేఖీయ సమీకరణాల ఆధారంగా త్రిభుజాల గురించి అర్థం చేసుకోవడంలో రేఖాగణిత సిద్ధాంతాలు కీలకపాత్ర పోషిస్తాయి. దాంతోపాటు భుజాలు, కోణాల మధ్య సంబంధాలను తెలియజేస్తాయి. పొడవులు, కోణాలు, వైశాల్యాలను కనుక్కోవడంలో సాయపడతాయి. నిత్యం త్రిభుజాల ఆకారాలతో వ్యవహరించే ఇంజినీరింగ్, నావిగేషన్‌ తదితర రంగాల్లోనూ ఉపయోగపడుతాయి. త్రికోణమితికి పునాదులను ఏర్పరిచే ఈ సిద్ధాంతాలపై పోటీ పరీక్షల అభ్యర్థులు అవగాహన పెంచుకోవాలి. సంబంధిత నియమాలనూ తెలుసుకోవాలి.
పైథాగరస్‌ సిద్దాంతం:
‣ లంబకోణ త్రిభుజంలో కర్ణం యొక్క వర్గం మిగిలిన రెండు భుజాల వర్గాల మొత్తానికి సమానం. 
‣ ఒక త్రిభుజంలోని ఏవైనా రెండు భుజాల మధ్య బిందువులను కలిపే రేఖా ఖండం మూడో భుజానికి సమాంతరంగానూ, అందులో సగం ఉంటుంది. 
‣ ఒక త్రిభుజంలోని భుజాల మధ్య బిందువులను కలపగా ఏర్పడే త్రిభుజం చుట్టుకొలత... ఆ త్రిభుజం చుట్టుకొలతలో సగం, వైశాల్యంలో నాలుగో వంతు ఉంటుంది.
‣ ఒక త్రిభుంలో ఏదైనా ఒక భుజం మధ్య బిందువు నుంచి మరొక భుజానికి సమాంతరంగా గీసిన రేఖ మూడో భుజాన్ని సమద్విఖండన చేస్తుంది.
AC మధ్యబిందువు D
DE//AB
‣ 
ABC లో AD, BE లు మధ్యగత రేఖలు, BE//DF అయితే
సరూపత నియమాలు:
‣ ఏవైనా రెండు త్రిభుజాలు సరూపత త్రిభుజాలు కావాలంటే, వాటి అనురూప కోణాలు సమానంగా ఉండాలి లేదా అనురూప భుజాలు ఒకే నిష్పత్తిలో ఉండాలి.
సరూపత నియమాలు - 3
కో.కో.కో. (కోణం కోణం కోణం)
భు.భు.భు. (భుజం భుజం భుజం)
భు.కో.భు. (భుజం కోణంం భుజం)
సరూప త్రిభుజాల వైశాల్యాల నిష్పత్తి వాటి అనురూప భుజాల వర్గాల నిష్పత్తికి సమానం..
థేల్స్‌ సిద్ధాంతం (ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంతం):
‣ ఒక త్రిభుజంలో ఏదైనా ఒక భుజానికి సమాంతరంగా గీసిన రేఖ, మిగిలిన రెండు భుజాలను ఒకే నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
DE// BC
విపర్యయం:
‣ ఒక త్రిభుజంలో ఏవైనా రెండు భుజాలను ఒకే నిష్పత్తిలో విభజించే రేఖ మూడో భుజానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది.
మాదిరి ప్రశ్నలు
అయినప్పుడు AE విలువ ఎంత?
1) 8.4 సెం.మీ. 2) 8 సెం.మీ.
3) 4 సెం.మీ. 4) 1.5 సెం.మీ.
2. ABCలో DE//AB, AD = 8x + 9, DC = x + 3, BE = 3x + 4,, CE = x అయితే x విలువ ఎంత?
1) 4 2) 3 3) 2 4) 1
3. ABC ~ DEF, వాటి వైశాల్యాలు వరుసగా 64 చ.సెం.మీ., 121 చ.సెం.మీ. EF = 15.4 సెం.మీ. అయితే BC విలువ ఎంత?
1) 15.2 సెం.మీ. 2) 12.4 సెం.మీ.
3) 10.2 సెం.మీ. 4) 11.2 సెం.మీ.
4. సరూప త్రిభుజాలైన ABC, DEF వైశాల్యాలు వరుసగా 36 చ.సెం.మీ., 81 చ.సెం.మీ., EF = 6.9 సెం.మీ. అయితే BC = ?
1) 4.6 సెం.మీ. 2) 6.4 సెం.మీ.
3) 6.9 సెం.మీ. 4) 8.5 సెం.మీ.
5. రెండు సరూప త్రిభుజాల వైశాల్యాలు 100 చ.సెం.మీ., 64 చ.సెం.మీ. వాటిలో పెద్ద త్రిభుజం మధ్యగతం పొడవు 10 సెం.మీ. అయితే చిన్న త్రిభుజం మధ్యగతం పొడవు ఎంత?
1) 10 సెం.మీ. 2) 6 సెం.మీ.
3) 4 సెం.మీ. 4) 8 సెం.మీ.
గమనిక: సరూప త్రిభుజాల్లో మధ్యగతాల
6. ABC, PQR లు రెండు సరూప త్రిభుజాలు. వాటి చుట్టుకొలతలు వరుసగా 36 సెం.మీ., 24 సెం.మీ. PQ = 10 సెం.మీ. అయితే AB = ?
1) 15 సెం.మీ. 2) 18 సెం.మీ.
3) 21 సెం.మీ. 4) 24 సెం.మీ.
7. ABC ~
DEF వాటి వైశాల్యాలు 64 చ.సెం.మీ., 121 చ.సెం.మీ. అయితే AC : DF నిష్పత్తి ఎంత?
1) 3 : 11 2) 8 : 11 3) 8 : 13 4) 19 : 8
8. D, E, F లు ABC భుజాల మధ్య బిందువులు. ABC చుట్టుకొలత 16 సెం.మీ. అయితే DEF చుట్టు కొలత ఎంత?
1) 4 సెం.మీ. 2) 8 సెం.మీ.
3) 10 సెం.మీ. 4) 6 సెం.మీ.
9.
ABC త్రిభుజంలో D, E, F లు వరుసగా BC, CA, AB ల మధ్య బిందువులు. అయితే DEF, ABC త్రిభుజాల వైశాల్యల నిష్పత్తి ఎంత?
1) 2 : 1 2) 1 : 2 3) 1 : 4 4) 4 : 1
10. 25 మీ. పొడవు ఉన్న నిచ్చెన గోడపై 20 మీ. ఎత్తున్న కిటికీని తాకుతోంది. అయితే ఆ నిచ్చెన అడుగు భాగం గోడ నుంచి ఎంత దూరంలో ఉంది?
1) 25 మీ. 2) 15 మీ. 3) 18 మీ. 4) 17 మీ.
11. 3 మీ. ఎత్తున్న ఒక స్తంభం నుంచి 5 మీ. దూరంలో నిల్చొని సుధ ఒక భవనం పై భాగం, స్తంభం పై భాగం ఒకే సరళరేఖలో ఉన్నట్లు గమనించింది. భవనం, స్తంభాల మధ్య దూరం 10 మీ. అయితే భవనం ఎత్తు ఎంత? (సుధ ఎత్తును లెక్కలోకి తీసుకోకుండా)
1) 15 మీ. 2) 12 మీ. 3) 10 మీ. 4) 9 మీ.
12. ఒక గోపురం నుంచి 87.6 మీ. దూరంలో ఉంచిన అద్దంలో ఒక వ్యక్తి గోపుర శిఖరాన్ని చూశాడు. అద్దం నేలపై ఊర్ధ్వ దిశలో ఉంది. ఆ వ్యక్తి అద్దం నుంచి 0.4 మీ. దూరంలో ఉన్నాడు. అతడి కంటి చూపు 1.5 మీ. ఎత్తులో ఉన్నా గోపురం యొక్క ఎత్తు ఎంత?
1) 228.5 మీ. 2) 238.5 మీ.
3) 428.5 మీ. 4) 328.5 మీ.
13. PQR ~ XYZ అయితే
A: ∠P= ∠X, ∠Q=∠Y, ∠R=∠Z
B: ∠P= ∠Y, ∠Q=∠X, ∠R=∠Z
1) A సత్యం 2) B సత్యం
3) A, B లు సత్యం 4) A, B లు అసత్యం
జవాబులు: 1-4; 2-3; 3-4; 4-1; 5-4; 6-1; 7-2; 8-2; 9-3; 10-2; 11-4; 12-4; 13-1.
రచయిత: సి. మధు
