రేఖాగణితం - వృత్తాలు

సమదూరంలోని బిందువుల సమూహం!

రోజూ కనిపించే వాహనాల చక్రాలు, గడియారాలు, నాణేలు, బంతులు అన్నీ గణితం భాషలో వృత్తాలే. రేఖాగణితంలో వృత్తాలను ప్రత్యేక లక్షణాలున్న ప్రాథమిక ఆకారాలుగా పేర్కొంటారు. ఇవి త్రికోణమితి, కలనగణితం తదితర భావనలను అర్థం చేసుకోవడానికి సాయపడతాయి. ప్రదేశాలు, వస్తువుల వైశాల్యం, చుట్టుకొలతలను లెక్కించడానికి ఉపయోగపడతాయి. వృత్తాలకు సంబంధించిన మౌలికాంశాలను అభ్యర్థులు తెలుసుకోవాలి. వృత్తఛేదన రేఖ, స్పర్శరేఖ, సెక్టార్, వృత్తచాపం, అర్ధవృత్తం, వృత్తఖండం మొదలైన వాటి గురించి అధ్యయనం చేయాలి. 

వృత్తం
 

* ఒక సమతలంలో ఒక బిందువు నుంచి సమాన దూరంలో ఉండే బిందువుల సమూహాన్ని వృత్తం అంటారు. ఆ స్థిర బిందువును వృత్త కేంద్రం అని అంటారు. దీన్ని 'O' తో సూచిస్తారు.

* వృత్త పరిమాణాన్ని వృత్త వ్యాసార్ధం నిర్ణయిస్తుంది.

వ్యాసార్ధం
 

 * వృత్త కేంద్రం నుంచి వృత్తంపైన ఉండే ఏదైనా బిందువుకు గల దూరాన్ని వ్యాసార్ధం అంటారు. 

 * దీన్ని 'r' తో సూచిస్తారు.(OP = r)

 * ఒక వృత్తంలో అనేక వ్యాసార్ధాలను గీయొచ్చు. ఇవన్నీ సమానం.

జ్యా
 

* వృత్తం పైన ఏవైనా రెండు బిందువులను కలిపే రేఖాఖండాన్ని జ్యా అంటారు. (AB జ్యా)

* ఒక వృత్తం నుంచి అనేక జ్యాలు గీయొచ్చు.

* కేంద్రం నుంచి సమాన దూరంలో ఉండే జ్యాలు సమానం.

AB  జ్యా = CD జ్యా

* సమాన పొడవులున్న జ్యాలు కేంద్రం వద్ద సమాన కోణాలను ఏర్పరుస్తాయి.

* జ్యా యొక్క లంబ సమద్విఖండన రేఖ వృత్త కేంద్రం ద్వారా వెళుతుంది. 

* AB, CD అనే జ్యాలు P వద్ద ఖండించుకుంటే PA.PB = PC.PD

* ఒక వృత్త వ్యాసార్ధం ౯, దాని కేంద్రం నుంచి ఒక జ్యా దూరం x అయితే ఆ 


వ్యాసం(d)
 

 *  వృత్త కేంద్రం ద్వారా వెళ్లే ‘జ్యా’ను వ్యాసం అంటారు.(CD వ్యాసం)

 * వృత్తంలో మిక్కిలి పెద్ద జ్యా = వ్యాసం.[d = 2r]

 * ఒక వృత్తంలో అనేక వ్యాసాలు గీయొచ్చు. ఇవన్నీ సమానం.

  వృత్త పరిధి (C)
 

 * వృత్తం పొడవును దాని చుట్టుకొలత/వృత్తపరిధి అంటారు. దీన్ని 'C' తో సూచిస్తారు.

వృత్త ఛేదనరేఖ
 

* వృత్తం మీది రెండు బిందువుల ద్వారా వెళ్లే రేఖను వృత్తఛేదన రేఖ అంటారు.

స్పర్శరేఖ

 * వృత్తంపై ఏదైనా బిందువును తాకుతూ వెళ్లే రేఖను స్పర్శరేఖ అంటారు.

 * బాహ్య బిందువు నుంచి వృత్తానికి రెండు రేఖలు గీయగలం. ఆ రెండు స్పర్శరేఖల పొడవులు సమానం.

 * వృత్తంపైన బిందువు వద్ద ఆ వృత్తానికి ఒకే ఒక స్పర్శరేఖను గీయగలం.

 * వృత్తం అంతరంలో ఉన్న బిందువు ద్వారా ఆ వృత్తానికి స్పర్శరేఖలు గీయలేం.

* వృత్తస్పర్శరేఖకు, స్పర్శ బిందువుల ద్వారా గీసిన వ్యాసార్ధానికి మధ్య కోణం 90⁰.

నోట్: 
 

 * బాహ్య బిందువు నుంచి వృత్తానికి గీయగల స్పర్శరేఖల సంఖ్య = 2

 * వృత్తానికి గీయగలిగే స్పర్శరేఖల సంఖ్య అనంతం.

 * రెండు వృత్తాలకు గీయగలిగే ఉమ్మడి స్పర్శరేఖల సంఖ్య = 4

బాహ్యబిందువు నుంచి స్పర్శరేఖ పొడవు

* వృత్తకేంద్రం నుంచి బాహ్య బిందువు దూరం ్ట, వృత్త వ్యాసార్ధం ౯ అయితే ఆ బాహ్యబిందువు నుంచి స్పర్శరేఖ 

సెక్టార్(త్రిజ్యాంతరం)
 

 * రెండు వ్యాసార్ధాలు, వాటి చివరలతో ఏర్పడే చాపాలతో ఆవరించి ఉండే ప్రదేశాన్ని వృత్త సెక్టార్అంటారు.

 *   ఖండాలతో ఆవరించిన సెక్టార్ను AOB అంటారు.

 * సెక్టార్పరిమాణాన్ని సెక్టార్కేంద్రం వద్ద దాని చాపం చేసే కోణం  నిర్ణయిస్తుంది.

వృత్తచాపం

* వృత్తంపై కొంత భాగాన్ని చాపం అంటారు. పటం నుంచి  ని అల్పచాపం,   ని అధిక చాపం అని అంటారు.

అర్ధ వృత్తం

* కేంద్రం వద్ద 180⁰ కోణం చేసే సెక్టార్ను అర్ధ వృత్తం అంటారు లేదా కేంద్రం, వ్యాసం చివరి బిందువులు సరేఖీయాలుగా ఉండే సంవృత పటాన్ని అర్ధవృత్తం అంటారు.

*  r వ్యాసార్ధం ఉన్న అర్ధవృత్త చుట్టు

కొలత = 

* అర్ధవృత్తం కేంద్రం వద్ద చేసే కోణం 180⁰

* అర్ధవృత్తంలోని కోణం లంబకోణం.

వృత్త ఖండం

* జ్యా అనేది వృత్తాన్ని రెండు భాగాలుగా విభజిస్తుంది. వీటిని వృత్త ఖండాలు అంటారు

* ఒక వృత్తఖండం మిగిలిన వృత్తంపై చేసే కోణాలు సమానం.

* వృత్తంపై ఏదైనా ఒక చాపం కేంద్రం వద్ద చేసే కోణం మిగిలిన వృత్తపరిధిపై చేసే కోణానికి రెట్టింపు ఉంటుంది. 

                               లేదా

వృత్తంపై ఏదైనా ఒక చాపం మిగిలిన వృత్త పరిధిపై చేసే కోణం.. కేంద్రం వద్ద చేసే కోణంలో సగం ఉంటుంది.

నోట్:

* అధిక వృత్తఖండంలోని కోణం అల్ప కోణం.

* అల్ప వృత్తఖండంలోని కోణం అధి కకోణం.

* అల్పచాపం కేంద్రం వద్ద చేసే  కోణం 180⁰  కంటే తక్కువ.

* అర్ధవృత్త  ఖండం కేంద్రం వద్దకోణం 180⁰ .

* అధిక  చాపం కేంద్రం వద్ద చేసే కోణం 180⁰ ల కంటే ఎక్కువ.

రచయిత: సి. మధు