చతుర్భుజాలు

నాలుగు రేఖాఖండాల  సంవృతాలు

రేఖాగణితంలో నాలుగు భుజాలు, నాలుగు కోణాలతో ఉండే ప్రాథమిక ఆకారాలు చతుర్భుజాలు. సంక్లిష్ట రేఖాగణిత భావనలు, సిద్ధాంతాలను రూపొందించడంలో అవి కీలకంగా వ్యవహరిస్తాయి. కోణాలు, భుజాల పొడవులు, కర్ణాలు, సమరూపత తదితర లక్షణాలతో మౌలిక రేఖాగణితం నుంచి అధునాతన కలనగణితం సహా  భౌతిక శాస్త్రంలో పలు సమస్యలను పరిష్కరించడంలో ప్రధాన పాత్ర పోషిస్తాయి. ప్రాదేశిక సంబంధాలను అర్థం చేసుకోవడంలో సాయపడే ఆ చతర్భుజాల్లో రకాలు, నిర్మాణ కొలతలు తదితరాల గురించి పోటీ పరీక్షార్థులు కనీస అవగాహన కలిగి ఉండాలి. ఈ నాలుగు రేఖా ఖండాల సంవృత పటాన్ని సమగ్రంగా తెలుసుకుంటే ఇతర గణిత విభాగాలపై కూడా పట్టు పెంచుకోవచ్చు. 

* నాలుగు రేఖాఖండాలతో ఏర్పడిన సరళ సంవృత పటాన్ని చతుర్భుజం అంటారు.

* ఎదురెదురు శీర్షాలను కలిపే రేఖా  ఖండాలను కర్ణాలు అంటారు. 

*  ప్రతి కర్ణం చతుర్భుజాన్ని రెండు  త్రిభుజాలుగా విభజిస్తుంది. ఈ పద్ధతిని త్రిభుజీకరణ (ట్రయాంగ్యులేషన్) అంటారు.

* చతుర్భుజానికి ఉండే భాగాలు పది.

అవి భుజాలు  4((AB, BC, CD, AD)

కోణాలు  4(< A, < B, < C, < D)

కర్ణాలు  - 2 (AC, BD)

* చతుర్భుజంలో అంతర కోణాల మొత్తం =360^o

బాహ్య కోణాల మొత్తం =360^o

* ఒక చతుర్భుజంలో నాలుగు భుజాల పొడవుల మొత్తాన్ని ఆ చతుర్భుజం చుట్టుకొలత అంటారు.

* ఒక చతుర్భుజంలో ఏ కోణం ఒక   సరళ కోణం కాకూడదు.

* ఉమ్మడి శీర్షం ఉన్న భుజాలను ఆసన్న భుజాలని, ఉమ్మడి భుజం ఉన్న   కోణాలను ఆసన్న కోణాలని అంటారు.

చక్రీయ చతుర్భుజం  

* ఒక చతుర్భుజం అన్ని శీర్షాలు వృత్తంపైన ఉంటే ఆ చతుర్భుజాన్ని చక్రీయ చతుర్భుజం అంటారు.

 చక్రీయ చతుర్భుజంలో అభిముఖ కోణాలు సంపూరకాలు.

* ఒక చతుర్భుజంలో ఏవైనా రెండు ఎదురెదురు శీర్షాలను కలుపుతూ గీసిన రేఖాఖండాన్ని ‘కర్ణం’ అంటారు.

* చక్రీయ చతుర్భుజంలోని మొత్తం కర్ణాలు రెండు.

* ABCD చక్రీయ చతుర్భుజంలో 

< A + <C =180^O

< B + <D =180^O 

గమనిక

* సమాంతర చతుర్భుజం చక్రీయం అయితే దీర్ఘచతురస్రం అవుతుంది.

* రాంబస్ చక్రీయం అయితే చతురస్రం అవుతుంది.

చతుర్భుజాలు - రకాలు

సమలంబ చతుర్భుజం

* ఒక జత ఎదుటి భుజాలు సమాంతరంగా ఉన్న చతుర్భుజాన్ని సమలంబ చతుర్భుజం (ట్రెపీజియం) అంటారు.

* సమలంబ చతుర్భుజం ABCD లో< A + <D, < B + <C=180^O

సమాంతర చతుర్భుజం 

* రెండు జతల ఎదురెదురు భుజాలు సమాంతరంగా ఉన్న చతుర్భుజాన్ని సమాంతర చతుర్భుజం అంటారు.

* దీనిలో ఎదురెదురు భుజాలు సమానం, సమాంతరం.

* ఈ చతుర్భుజంలో ఏ రెండు ఆసన్న కోణాల మొత్తం అయినా 180^o ఉంటుంది.

*  దీనిలో ఎదురెదురు కోణాలు సమానం.

*  ప్రతి కర్ణం రెండు సర్వసమాన   త్రిభుజాలను ఏర్పరుస్తుంది.

*  కర్ణాలు అసమానంగా ఉండి సమద్విఖండన చేసుకుంటాయి.

దీర్ఘచతురస్రం:

*  ఒక కోణం 90^Oగా ఉన్న సమాంతర చతుర్భుజాన్ని దీర్ఘచతురస్రం అంటారు. 

ఎదురెదురు భుజాలు సమానం, సమాంతరం.

* దీనిలో అన్ని కోణాలు సమానం.

* ప్రతి కర్ణం రెండు సర్వసమాన లంబకోణ త్రిభుజాలను ఏర్పరుస్తుంది.

* కర్ణాలు సమానంగా ఉండి సమద్వి  ఖండన చేసుకుంటాయి.

* ప్రతి దీర్ఘచతురస్రం ఒక సమాంతర చతుర్భుజం అవుతుంది. కానీ ప్రతి సమాంతర చతుర్భుజం దీర్ఘచతురస్రం కాదు.

సమ చతుర్భుజం:  

*  సమాంతర చతుర్భుజంలో రెండు ఆసన్న భుజాలు సమానమైతే దాన్ని రాంబస్/సమబాహు చతుర్భుజం/సమభుజ చతుర్భుజం అంటారు.

*  దీనిలో అన్ని భుజాలు సమానం.

*  దీనిలో ఏ రెండు ఆసన్న కోణాల మొత్తం 180^O అవుతుంది.

*  దీనిలో ఎదురెదురు కోణాలు సమానం.

*  ప్రతి కర్ణం రెండు సర్వసమాన సమద్విబాహు త్రిభుజాలను ఏర్పరుస్తుంది.

*  దీనిలో కర్ణాలు అసమానంగా ఉండి లంబ సమద్విఖండన చేసుకుంటాయి.

చతురస్రం: 

* ఒక సమాంతర చతుర్భుజంలో ఆసన్న భుజాలు సమానమవుతూ, ఒక కోణం లంబకోణమైతే దాన్ని చతురస్రం అంటారు

 ఆసన్న భుజాలు సమానంగా ఉన్న దీర్ఘచతురస్రాన్ని చతురస్రం అంటారు.

* ఒక కోణం 90^Oగా ఉన్న రాంబస్ను చతురస్రం అంటారు.

* దీనిలో అన్ని భుజాలు, అన్ని కోణాలు సమానం.

* ప్రతి కర్ణం రెండు సర్వసమాన లంబకోణ సమద్విబాహు త్రిభుజాలను  ఏర్పరుస్తుంది.

* కర్ణాలు సమానంగా ఉండి లంబసమద్విఖండన చేసుకుంటాయి.

* చతురస్ర కర్ణం దాని భుజానికి √2 రెట్లు ఉంటుంది.

గాలిపటం: 

* ఒకే భూమికి ఇరువైపులా  వేర్వేరు సమద్విబాహు త్రిభుజాలున్న  చతుర్భుజాన్ని KITE అంటారు. లేదా రెండు జతల ఎదురెదురు ఆసన్న భుజాలు సమానంగా ఉన్న చతుర్భుజాన్ని గాలిపటం అంటారు.

చతుర్భుజాలు - నిర్మాణ కొలతలు 

1) ఒక చతుర్భుజాన్ని నిర్మించేందుకు అయిదు స్వతంత్ర కొలతలు కావాలి. అవి: 4 భుజాలు + 1 కర్ణం, 4 భుజాలు + 1 కోణం, 3 భుజాలు + 2 కర్ణాలు

1 భుజం  +1 కోణం + 1 భుజం + 2 కోణాలు

1 భుజం + 1 కోణం + 1 భుజం +  1 కోణం + 1 భుజం

2) సమలంబ చతుర్భుజం (ట్రెపీజియం) నిర్మించడానికి నాలుగు స్వతంత్ర   కొలతలు కావాలి. (4 భుజాలు)

3) ఒక సమాంతర చతుర్భుజాన్ని నిర్మించడానికి 3 స్వతంత్ర కొలతలు కావాలి.

(2 భుజాలు +  1 కోణం, 2 భుజాలు + 1 కర్ణం)

4) రాంబస్ నిర్మించడానికి 2 స్వతంత్ర కొలతలు కావాలి.

(1 భుజం + 1 కోణం, 1 భుజం + 1 కర్ణం)

5) ఒక దీర్ఘచతురస్రాన్ని నిర్మించడానికి రెండు స్వతంత్ర కొలతలు కావాలి. 

(2 భుజాలు, 1 భుజం + 1 కర్ణం)

6) చతురస్రాన్ని నిర్మించడానికి ఒక స్వతంత్ర కొలత కావాలి.

(1 భుజం లేదా 1 కర్ణం)

రచయిత: సి. మధు