బీజగణితం (భాగం-1)

భిన్న పరిమాణాల గణిత బంధం!

కారులో ఒక ఊరికి వెళ్లాలి. దూరం, ట్యాంకులో ఉన్న పెట్రోలు, ఒక లీటర్‌కు వచ్చే మైలేజీ తదితరాలను లెక్కగట్టి గమ్యస్థానం చేరడానికి అవసరమైన ఇంధనం ఉందో లేదో చూసుకుంటారు. ఊరి దూరం, పెట్రోలు మధ్య సంబంధాన్ని గణించడమే బీజగణితం. మరో విధంగా చెప్పాలంటే భిన్న పరిమాణాల మధ్య సంబంధాలను వ్యక్తీకరించడానికి కొన్ని అక్షరాలను (బీజాలను) ఉపయోగించి చేసే గణిత ప్రక్రియల సముదాయాన్నే బీజగణితం అంటారు. భౌతికశాస్త్రం, ఇంజినీరింగ్, కంప్యూటర్‌ సైన్స్, ఎకనామిక్స్‌ మొదలైన సబ్జెక్టుల్లోనూ దీనిని ఉపయోగిస్తారు. ఇందులోని మౌలికాంశాలైన స్థిరరాశి, చరరాశి, సమాసం, గుణకం, బహుపది తదితరాల గురించి పోటీ పరీక్షల అభ్యర్థులు తగిన అవగాహన పెంపొందించుకోవాలి. ప్రశ్నలను ప్రాక్టీస్‌ చేయాలి.  

*  Algebra అనే ఆంగ్ల పదం ఆల్‌ జబర్‌(Al-Jabar) అనే అరబిక్‌ పదం నుంచి వచ్చింది.

* క్రీ.శ. 820 లో పర్షియన్‌ గణితవేత్త అయిన ‘‘ఆల్‌ఖ్యావారజ్మీ’’ అరబిక్‌ భాషలో రచించిన ‘‘ఆల్‌జబర్‌ వా ఆల్‌ముకాబలా’’ అనే పుస్తకంలో ఆల్‌జబర్‌ పదాన్ని ఉపయోగించాడు.

*  క్రీ.శ. 3వ శతాబ్దంలో గ్రీకు గణితవేత్త అయిన డయాఫాంటస్‌ ‘‘అరిథ్‌మెటికా’’ అనే పుస్తకంలో మొదటిసారిగా బీజీయ సమాసాలను ఉపయోగించాడు. అందువల్ల ‘డయాఫాంటస్‌’ను ‘బీజగణిత పితామహుడు’ అంటారు. 

*  భారతీయ గణిత శాస్త్రవేత్తల్లో బీజగణితంపై పరిశోధనలు చేసిన మొదటి వ్యక్తి -  ఆర్యభట్ట

*  బీజగణితాన్ని సామాన్యీకరించిన అంకగణితం అంటారు.

చరరాశి: స్థిరమైన విలువను కలిగి ఉండకుండా అనేక విలువలను తీసుకునే రాశిని చరరాశి అంటారు.

చరరాశిని x, y, z, .... అనే అక్షరాలతో సూచిస్తారు.

పదం: కేవలం స్థిర లేదా చర రాశులను లేదా గుణకార ప్రక్రియతో కూడిన స్థిర, చరరాశుల సముదాయాన్ని పదం అంటారు.

సమాసం: సంకలన, వ్యవకలన ప్రక్రియలతో కూడిన పదాల సముదాయాన్ని సమాసం అంటారు. 

గుణకం: రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ కారణాంకాలున్న లబ్ధంలో ప్రతి కారణాంకాన్ని మిగిలిన కారణాంకాల లబ్ధం యొక్క గుణకం అంటారు.

ఉదా: 5xy పదంలో 5 ను xy యొక్క గుణకం అంటారు. x ను 5y యొక్క గుణకంగా పేర్కొంటారు.

బహుళ పది: చరరాశుల ఘాతాంకాలతో సంబంధం లేకుండా కేవలం పదాల సంఖ్యతో మాత్రమే సంబంధం ఉన్న సమాసాన్ని బహుళపది అంటారు.

బహుపది: చరరాశుల ఘాతాంకాలు రుణేతర పూర్ణ సంఖ్యలై (హారంలో చరరాశులు లేని) బహుళపదులనే బహుపదులు అంటారు.

ఉదా: 5p + 9q + 6; 4p2 + q3 + 9

బహుపది పరిమాణం: 

* బహుపదిలో ప్రతి పదం స్థిరరాశి. కొన్ని రుణేతర పూర్ణసంఖ్యల ఘాతాంకాలతో కూడిన చరరాశుల లబ్ధాలుగా ఉంటాయి.

* ఒక బహుపదిలోని చరరాశి అత్యధిక ఘాతాంకాన్ని బహుపది పరిమాణం అంటారు.

ఉదా: 5xy + 6y + 4x²y²z² - 8 యొక్క 

పరిమాణం = 6

బహుపది సాధారణ రూపం:

బహుపది శూన్య విలువలు

* x చరరాశి ఉన్న బహుపది p(x) = 0  అయినప్పుడు-x ను బహుపది యొక్క శూన్యవిలువ అంటారు.

ఈ బహుపది శూన్య విలువను బహుపది p(x)  యొక్క మూలం అంటారు.

ఉదా: x + 9అనే బహుపది శూన్య విలువ x = - 9

బీజీయ సమాసం ప్రామాణిక రూపం:  బీజీయ సమాసంలోని పదాల పరిమాణాలు తగ్గే (అవరోహణ) క్రమంలో ఉంటే ఆ బీజీయ సమాసం ప్రామాణిక రూపంలో ఉందని అంటాం. 

ఉదా: 8x² + 6x + 5

శేష సిద్ధాంతం:

p(x) అనేది ఒక ఏక పరిమాణ లేదా అంతకన్నా ఎక్కువ గరిష్ఠ పరిమాణం ఉండే బహుపది మరియు a అనేది వాస్తవ సంఖ్య అయినప్పుడు p(x) ను రేఖీయ బహుపది (x - a) తో భాగిస్తే శేషం p(a) వస్తుంది.

p(x) అనే బహుపదిని q(x) అనే బహుపది భాగించినప్పుడు శేషం సున్నా వస్తే q(x) ను p(x) యొక్క కారణాంకం అంటారు.

కారణాంక సిద్ధాంతం:

బహుపది పరిమాణం n ≥ 1గా ఉన్న బహుపది p(x), a ఏదైనా వాస్తవ సంఖ్య అయినప్పుడు

1) p(a) = 0 అయితే p(x) కు (x - a)ఒక కారణాంకం అవుతుంది.

2) (x - a)అనేది p(x) కు కారణాంకమైతే p(a) = 0 అవుతుంది.

రేఖీయ బహుపది శూన్యాలు:

* రేఖీయ బహుపది సాధారణ రూపం =.  దీనికి ఒక శూన్య విలువ ఉంటుంది.

వర్గ సమీకరణాలు:

అయితే ను  Xలో వర్గ సమీకరణం అంటారు.

ఉదా:

వర్గ బహుపది శూన్యాలు: 

* వర్గ బహుపది సాధారణ రూపం దీనికి గరిష్ఠంగా రెండు శూన్యాలు ఉంటాయి.

*  లు శూన్యాలుగా ఉన్న వర్గ బహుపది 

* శూన్యాల మొత్తం 

* శూన్యాల లబ్ధం 

ఘన బహుపది శూన్యాలు:

* ఘన బహుపది సాధారణ రూపం . దీనికి గరిష్ఠంగా మూడు శూన్యాలు ఉంటాయి.

*  లు శూన్యాలుగా ఉన్న ఘన బహుపది 
    

1) 

2) 

3) 

మూలం లేదా సాధన:

వర్గ సమీకరణాన్ని తృప్తి పరిచే విలువను ఆ సమీకరణం యొక్క మూలం అంటారు.

ఉదా:  యొక్క మూలం X= 1. 

మూలాల స్వభావం

 యొక్క మూలాలు 

వర్గ సమీకరణంలోని విచక్షణి అంటారు. దీన్ని దీ తో సూచిస్తారు.

* వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాల స్వభావం విచక్షణిపై ఆధారపడుతుంది.

* a, b, c లు వాస్తవాలు అయితే  మూలాల స్వభావం

1) అయితే మూలాలు కల్పితాలు, సంకీర్ణ సంఖ్యలు 

2)  అయితే మూలాలు వాస్తవాలు, సమానం 

3)  అయితే  మూలాల వాస్తవాలు,   అసమానం అవుతాయి. 

 

మాదిరి ప్రశ్నలు
.

1.  నీ వయసు .....

1) అక్షరం    2) స్థిర రాశి  

3) బీజం      4) చరరాశి

2.  Z యొక్క 3 రెట్ల సంఖ్యకు 5 కలపడమైంది’’ అనే దానికి సమాసాన్ని రాయండి.

1) 3z - 5    2) 3z + 5
3) z3 + 5    4) z³ - 5

3.  కిందివాటిలో ప్రామాణిక రూపంలో ఉన్న బీజీయ సమాసం ఏది?

1) 5x + 19 + 6x²

2) 12 - 5x² + 9x

3) - 9x² + 3x- 6

4) 2x² + 5 + 4x

4. 1 + 2x - 3x² కి ఎంత కలిపితే x² - x - 1 వస్తుంది?

1) 4x² + 3x- 2

2) -4x² - 3x + 2

3) -4x² + 3x - 2

4) 4x² - 3x - 2

1) 5    2) 6    3) 7     4) 8

6. 3x³ - 5x² - 11x - 3 ఘనబహుపది యొక్క శూన్యాల లబ్ధం ఎంత?

 1) 1   2)  1   3)    4) 

7.   

శూన్యాలుగా ఉన్న వర్గ బహుపది ఎంత?

1) x - 2    2) x + 1   3) x² + 3   4) x² - 3

8.  x + 2y + z నుంచి -x - y - 3z ను తీసివేయండి.

1) y -  2z     2) 2x + 3y = 4z

3) 3y + 4z     4) 2x + 3y + 4z

9. a⁴ - 8a²b² + b⁴ కంటే a⁴ + 4a²b² + b⁴ ఎంత ఎక్కువ?

1) 12 a²b²         2) - 12a²b²

3) 2a² - 4a²b² + 2b²  

4) - 4a²b²

10. 2A + B = 4x² - 2x + 12, A - B = 5x² - 13x + 9  అయితే A విలువ ఎంత?

1) -3x² + 5x - 7       2) 6x² + 5x - 17 

3) 3x² + 5x + 17     4) 3x² - 5x + 17

11. (-6x + 9 + 4x²) ను (2x + 3) తో భాగిస్తే వచ్చే భాగఫలం ఎంత?

1) 2x + 6      2) 2x - 6    

3) x + 6         4) x - 6

12. 3x² - 2x + K అనే బహుపదిని x - 3 తో భాగించినప్పుడు శేషం 5 వచ్చినా K  విలువ ఎంత?

1) 16     2) 26    3) 16     4) 26

13.  X² - 6x + 9 = 0 యొక్క మూలాల స్వభావం

1) వాస్తవాలు, విభిన్నాలు, కరణీయాలు      

2) వాస్తవాలు, సమానాలు  

3) వాస్తవాలు, విభిన్నాలు, అకరణీయ సంఖ్యలు  

4) సంకీర్ణ సంఖ్యలు

14. సమీకరణం యొక్క మూలాలు మొత్తం, లబ్ధం ఎంత?

1)       2) 

3) 

     4) 

15. కిందివాటిలో సరైంది ఏది?

1) బహుపదులన్నీ బహుళ పదులు 

 2) బహుళ పదులన్నీ బహుపదులు  

3) పైరెండూ సరైనవి  

4) పై రెండూ సరికానివి

16. ax³ + 3x² - 13, 2x³ - 5x + a అనే బహు పదులను (x - 2) తో భాగించినప్పుడు వచ్చే శేషాలు సమానమైతే a  విలువ ఎంత?

1) 2       2) 1      3) 1     4) 2

17. కిందివాటిలో సరికానిది ఏది?

1) ద్విపదిలో కనీసం 2 పదాలు ఉంటాయి.

2) ప్రతి బహుపది ఒక ద్విపది అవుతుంది.

3) ద్విపది యొక్క పరిమాణం 3 కూడా కావచ్చు.

4)  అనేది ఒక ఏకపది. 

సమాధానాలు: 1-4, 2-2, 3-3, 4-4, 5-3, 6-1, 7-4, 8-4, 9-1, 10-4, 11-2, 12-3, 13-2, 14-4, 15-1, 16-2, 17-2.

రచయిత:   సి. మధు