వేగవంతమైన వృద్ధికి కచ్చితమైన వ్యక్తీకరణ!
‣ a + a + a + ........ + n సార్లు = n.a
‣ a × a × a × ........ n సార్లు = an
‣ an ను a యొక్క nవ ఘాతం అని చదువుతాం.
‣ an లో aను ఆధారం (భూమి), nను ఘాతాంకం అంటారు.
‣ ఘాతాంకాలు పెద్ద సంఖ్యలను సరళమైన రీతిలో చదవడం, రాయడం, అర్థం చేసుకోవడంలో ఉపయోగపడతాయి.
నోట్‌: ఘాతాంకాన్ని సాధారణంగా భూమి యొక్క కుడి ఎగువ మూలలో రాస్తారు. భూమితో పోల్చినప్పుడు పరిమాణం తక్కువగా ఉంటుంది.
ఒక సంఖ్య యొక్క ఘాతాంకం ‘1’ తగ్గితే ఆ సంఖ్య విలువ 10వ భాగం తగ్గుతుంది.
ఘాతాంక న్యాయాలు
సర్వ సమీకరణం: సమీకరణంలోని చర రాశుల బదులుగా ఏ విలువను ప్రతిక్షేపిస్తే సత్యమవుతుందో దాన్ని సర్వ సమీకరణం అంటారు.
సర్వ సమీకరణాలు
1) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
2) (a − b)2 = a2 − 2ab + b2
3) (a + b)2 + (a − b)2 = 2(a2 + b2)
4) (a + b)2 − (a − b)2 = 4ab
5) (a − b)2 − (a + b)2 = −4ab
6) (a + b)(a − b) = a2 − b2
7) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)
8) (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
9) a3 + b3 = (a + b)3 − 3ab(a + b) = (a + b)(a2 − ab + b2)
10) (a − b)3 = a3 − b3 − 3ab(a − b)
11) a3 − b3 = (a − b)3 + 3ab(a − b) = (a − b) (a2 + ab + b2)
12) (a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca) = a3 + b3 + c3 − 3abc
i) a + b + c = 0 అయితే a3 + b3 + c3 − 3abc = 0
a3 + b3 + c3 = 3abc
ii) a3 + b3 + c3 = 3abc అయితే a + b + c = 0 లేదా a = b = c అవుతుంది.
13) (x + a)(x + b) = x2 + x(a + b) + ab
14) (ax + b)(cx + d) = acx2 + x(ad + bc) + bd
15) (x + a)(x + b)(x + c) = x3 + (a + b + c)x2 + (ab + bc + ca)x + abc
మాదిరి ప్రశ్నలు
1. m2 − mn + 4m − 4n ను కారణాంకాలుగా విభజించండి.
1) (m + 4)(m − n) 2) (m − 4)(m − n)
3) (m + n)(m + 4) 4) (m + n)(m − 4)
2. a4 − 1296 యొక్క ఒక కారణాంకం
1) a − 14 2) a2 + 6 3) a + 8 4) a − 6
3. (−10)3 + 73 + 33 = ?
1) 630 2) −630 3) −530 4) 530
4. x − y = 9, xy = 5 అయితే x3 − y3 = ?
1) 764 2) 864 3) 746 4) 846
1) 18 2) 9 3) 1 4) 0
1) 27 2) 22 3) 18 4) 14
7. కిందివాటిలో ఏది సరైంది?
1) (−2)4 > (−3)4 2) (−2)5< (−3)5
3) 23 > 32 4) −24 > −34
8. (10000 − 1000) × 100 = ?
1) 1 2) 0 3) 100 4) 1000
9. 27−4 ను 3 భూమిగా ఉండే ఘాత రూపంలో తెలపండి.
1) 38 2) 3−8 3) 3−12 4) 312
10. 216 + 216 + 216 + 216 = ?
1) 216 2) 217 3) 218 4) 220
11. 5x = 1000 అయితే 5x−2 విలువ ఎంత?
1) 4000 2) 400 3) 40 4) 4
1) 46 2) 48 3) 424 4) 420
13. 4−3 ను ఏ సంఖ్యతో గుణిస్తే లబ్ధం 64 అవుతుంది?
1) 43 2) 44 3) 46 4) 48
14. 2x+4 − 2x+2 = 3 అయితే x విలువ ఎంత?
1) 1 2) −2 3) 2 4) −1
16. ax = b, by = c, cz = a అయితే xyz = ?
1) 0 2) 1 3) 2 4) 3
1) −36 2) 36 3) 26 4) −26
1) 1 2) 2 3) 128 4) 132
19. ఒక పుస్తకాల కట్టలో 20 mm మందం ఉన్న 5 పుస్తకాలు, 0.016 mm మందం ఉన్న 5 పేపర్లు ఉన్నాయి. అయితే పుస్తకాల కట్ట మొత్తం మందం ఎంత?
1) 1.08 × 102 mm 2) 1.008 × 102 mm
3) 1.0008 × 102 mm 4) 1.00008 × 102 mm
20. 0.0000529 యొక్క ప్రామాణిక రూపం?
1) 0.529 × 10−6 2) 5.29 × 10−6
3) 5.29 × 10−5 4) 5.29 × 10−7
22. లబ్ధం 10-1 అవడానికి 5-1 ను ఏ సంఖ్యతో గుణించాలి?
1) 22 2) 2 3) 2−2 4) 2−1
23. భాగఫలం 5-1 అవడానికి (-25)-1 ను ఏ సంఖ్యతో భాగించాలి?
24. ax(y−z). ay(z−x).az(x−y) ను సూక్ష్మీకరించండి.
1) 0 2) 1 3) 2 4) 3
25. ఒక వృక్ష కణ పరిమాణం 0.00001275 మీ. ను ప్రామాణిక రూపంలో రాయండి.
1) 1275 × 10−8 2) 127.5 × 10−7
3) 12.75 × 10−6 4) 1.275 × 10−5
26. భూమి ద్రవ్యరాశి 5.97 × 1024 కి.గ్రా., చంద్రుడి ద్రవ్యరాశి 7.35 × 1022 కి.గ్రా. అయితే వాటి ద్రవ్యరాశుల మొత్తం ఎంత?
1) 60.435 × 1024 కి.గ్రా. 2) 60.435 × 1022 కి.గ్రా.
3) 6.0435 × 1024 కి.గ్రా. 4) 6.0435 × 1022 కి.గ్రా.
27. 602 000 000 000 0000 ను ప్రామాణిక రూపంలో రాయండి.
1) 602 × 1013 2) 60.2 × 1014
3) 6.02 × 1015 4) 6.02 × 1011
28. 583 − 243 − 343 = ?
1) −141984 2) −149184
3) 149184 4) 141984
29. కిందివాటిలో (a − b) కి సమానమైంది ఏది?
30. 4(a + b)2 - 9(a - b)2 యొక్క కారణాంకాలు?
1) (5a − b)(5b + a) 2) (5a + b)(5b − a)
3) (5a + b)(5b + a) 4) (5a − b)(5b − a)
1) 5 2) 8 3) 25 4) 10
32. a = 0, b = −8, c = 2 అయితే 4a2 + 5abc - 7b2 విలువ ఎంత?
1) −632 2) −448 3) 136 4) 128
34. కిందివాటిలో 1 కి సమానమైంది ఏది?
1) 50 + 60 + 70 2) 50 × 60 × 70
3) (60 − 50) + 70 4) (70 − 60) × (70 × 60)
35. కిందివాటిలో సరికానిది ఏది?
37. కిందివాటిని జతపరచండి.
1) ఎ-2, బి-1, సి-4, డి-3 2) ఎ-5, బి-1, సి-4, డి-3
3) ఎ-5, బి-4, సి-1, డి-3 4) ఎ-2, బి-3, సి-1, డి-4
1) 4 2) 9 3) 10 4) 3
సమాధానాలు
1-1; 2-4; 3-2; 4-2; 5-4; 6-3; 7-4; 8-2; 9-3; 10-3; 11-3; 12-2; 13-3; 14-2; 15-1; 16-2; 17-1; 18-2; 19-3; 20-3; 21-2; 22-4; 23-3; 24-2; 25-4; 26-3; 27-3; 28-4; 29-3; 30-4; 31-1; 32-2; 33-2; 34-2; 35-1; 36-4; 37-1; 38-1.
రచయిత: సి.మధు
