వర్గమూలం వర్గానికి విలోమ ప్రక్రియ! 

వర్గాలు, వర్గమూలాలు - ఘనాలు, ఘనమూలాలు

వైశాల్యాలను, వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి వర్గాలు ఉపయోగపడతాయి.  జ్యామితిలో కొన్ని రకాల పొడవులను కొలవడానికి,  చతుర్భుజాలకు సంబంధించిన లెక్కలు చేయడానికి వర్గమూలాలు కావాలి. వస్తు పరిమాణాలు, త్రిమితీయ ఆకృతుల అధ్యయనానికి ఘనాలు తెలిసి ఉండాలి. ఇంజినీరింగ్, ఫిజిక్స్‌ వంటి శాస్త్రాల్లో క్యూబిక్‌ ఫంక్షన్లను అర్థం చేసుకోవడానికి, అనువర్తనాలకు ఘనమూలాలపై అవగాహన అవసరం. అందుకే పోటీ పరీక్షార్థులు వాటికి సంబంధించిన మౌలికాంశాలపై కనీస పరిజ్ఞానాన్ని పెంచుకోవాలి. 

ఒక సంఖ్యను అదే సంఖ్యతో గుణించగా వచ్చే లబ్ధాన్ని ఆ సంఖ్య యొక్క వర్గం అంటారు. ఆ సంఖ్యను ఆ లబ్ధానికి వర్గమూలం అంటారు.

a × a = a² లో a² ను వర్గం, a ను వర్గమూలం అంటారు.

ధర్మాలు: ‣  సరిసంఖ్య వర్గం ఎల్లప్పుడూ సరిసంఖ్య అవుతుంది.

‣    బేసిసంఖ్య వర్గం ఎల్లప్పుడూ బేసిసంఖ్య అవుతుంది.

‣     వర్గ సంఖ్యలు అన్ని ఒకట్ల స్థానంలో 0, 1, 4, 5, 6, 9 తో అంతమవుతాయి.

‣     2, 3, 7, 8 అంకెలతో అంతమయ్యే సంఖ్యలు పరిపూర్ణ వర్గ సంఖ్యలు కావు.

‣     ఒక సంఖ్యలో n అంకెలు ఉంటే దాని వర్గంలో 2n లేదా (2n-1) అంకెలు ఉంటాయి.

పరిపూర్ణ వర్గసంఖ్య (సంపూర్ణ వర్గం): ఒక పూర్ణాంకాన్ని రెండు సమాన పూర్ణాంకాల లబ్ధంగా రాయగలిగితే దాన్ని పరిపూర్ణ వర్గం అంటారు.

ఉదా: 1, 4, 9, 16, ......

కచ్చిత వర్గం: ఒక అకరణీయ సంఖ్యను రెండు సమాన అకరణీయ సంఖ్యల లబ్ధంగా రాయగలిగితే ఆ సంఖ్యను కచ్చిత వర్గం అంటారు. 

గమనిక: ‣  n², (n + 1)² ల మధ్య వర్గ సంఖ్యలు కాని పూర్ణ సంఖ్యలు 2n. 

‣     n², m² ల మధ్య వర్గ సంఖ్యలు కాని పూర్ణ సంఖ్యలు (m − n)(n + m − 1).- 

పైథాగరియన్‌ త్రికం: a, b, c లు మూడు ధనపూర్ణ సంఖ్యలై a² + b² = c² అయ్యేవిధంగా ఉండే a, b, c లు పైథాగరియన్‌ త్రికం అవుతాయి.  

ఉదా: (3, 4, 5) 

‣     ఒక సంఖ్యను మూడు సమాన సంఖ్యల లబ్ధంగా రాయగలిగితే ఆ సంఖ్యను పరిపూర్ణ ఘనం అంటారు. ఆ సమాన సంఖ్యను ఘనమూలం అంటారు. 

a × a × a = a³ లో a³ ను ఘనం, a ను ఘనమూలం అంటారు. 

ధర్మాలు:  ‣  సరిసంఖ్య ఘనం ఎల్లప్పుడూ సరిసంఖ్య అవుతుంది. 

‣  ఒక సంఖ్య యొక్క ఒకట్ల స్థానంలో 3 లేదా 7 ఉంటే దాని ఘనంలోని ఒకట్ల స్థానంలో 7 లేదా 3 వస్తుంది.  

‣  ఒక సంఖ్య యొక్క ఒకట్ల స్థానంలో 2 లేదా 8 ఉంటే దాని ఘనంలోని ఒకట్ల స్థానంలో 8 లేదా 2 వస్తుంది.  

‣  బేసిసంఖ్య ఘనం ఎల్లప్పుడూ బేసిసంఖ్య అవుతుంది.

మాదిరి ప్రశ్నలు

1. 90², 91² ల మధ్య ఎన్ని వర్గ సంఖ్యలు కాని పూర్ణ సంఖ్యలు ఉంటాయి?

1) 90   2) 182   3) 180   4) 178

2.  కిందివాటిలో పరిపూర్ణ వర్గం కానిది?

1) 8464       2) 7056   

3) 4096       4) 7748

1) 0.547       2) 0.447   

3) 0.347       4) 0.647

1) 33.219       2) 32.219   

3) 32.129       4) 32.229

5. ఒక తోటలో 1521 చెట్లు కొన్ని వరుసల్లో ఉన్నాయి. ప్రతి వరుసలో ఉన్న చెట్ల సంఖ్య వరుసల సంఖ్యకు సమానం. అయితే ప్రతి వరుసలోని చెట్ల సంఖ్య ఎంత?

1) 31     2) 41     3) 39     4) 49

6. 2352ను ఏ కనిష్ఠ సంఖ్యతో గుణిస్తే అది పరిపూర్ణ వర్గం అవుతుంది?

1) 3       2) 5       3) 15       4) 7

7.  6412కు ఏ కనిష్ఠ సంఖ్యను కలిపితే అది పరిపూర్ణ వర్గం అవుతుంది?

1) 147    2) 149    3) 153    4) 151

8. 5607 నుంచి ఏ కనిష్ఠ సంఖ్యను తీసివేస్తే అది పరిపూర్ణ వర్గం అవుతుంది?

1) 111    2) 121    3) 131    4) 123

9. 7776ను ఏ కనిష్ఠ సంఖ్యతో భాగిస్తే అది పరిపూర్ణ వర్గం అవుతుంది?

1) 3       2) 2       3) 5       4) 6

10. కిందివాటిలో పైథాగరియన్‌ త్రికం ఏది?

1) (5, 12, 15)     2) (9, 10, 11)

3) (12, 13, 15)     4) (6, 8, 10)

11. కిందివాటిలో పైథాగరియన్‌ త్రికం కానిది?

1) (7, 24, 25)     2) (8, 15, 17) 

3) (9, 10, 11)     4) (3, 4, 5)

12. కిందివాటిలో సరికానిది?

1) పరిపూర్ణ వర్గాలు కాని సంఖ్యలకు కచ్చితమైన వర్గమూలాలు ఉండవు.

2) వర్గ సంఖ్యల చివరలో సున్నాలు సరిసంఖ్యలుగా ఉంటాయి.

3) పరిపూర్ణ వర్గసంఖ్య చివరన బేసి సంఖ్యలో సున్నాలు ఉంటే అది పరిపూర్ణ వర్గసంఖ్య అవుతుంది.

4) వర్గమూలం అనేది వర్గానికి విలోమ ప్రక్రియ.

13. 99², 100² ల మధ్య వర్గ సంఖ్యలు కాని పూర్ణ సంఖ్యలు ఎన్ని?

1) 196 2) 198 3) 200 4) 199

14. 20², 100² ల మధ్య వర్గ సంఖ్యలు కాని పూర్ణ సంఖ్యలు ఎన్ని?

1) 8520     2) 8950 

3) 9250     4) 9520

15. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = ?

1) 7²  2) 9²  3) 11²  4) 13²

1) 2.616     2) 2.818 

3) 2.626     4) 2.828

17. 27225 సంఖ్య యొక్క వర్గమూలంలో ఎన్ని అంకెలు ఉంటాయి?

1) 5    2) 4    3) 3    4) 6

18. 96.04 వర్గమూలం ఎంత?    

1) 98 2) 0.98 3) 9.8 4) 0.098

19. కిందివాటిలో హార్డీ - రామానుజన్‌ సంఖ్యలు ఏవి?

1) 1729     2) 4104 

3) 13832     4) అన్నీ

20. కిందివాటిలో సంపూర్ణ ఘనం ఏది?

1) 516      2) 2700  

3) 4913      4) 1729

21. వర్గసంఖ్య, ఘనసంఖ్య అయ్యే మూడంకెల సంఖ్య ఎంత?

1) 512       2) 729  

3) 1728      4) ఏదీకాదు

22. 7803ను ఏ కనిష్ఠ సంఖ్యతో గుణిస్తే వచ్చే లబ్ధం సంపూర్ణ ఘనం అవుతుంది? 

1) 17   2) 15  3) 19  4) 21

23. 1188ని ఏ కనిష్ఠ సంఖ్యతో భాగిస్తే వచ్చే భాగఫలం సంపూర్ణ ఘనం అవుతుంది? 

1) 22   2) 11   3) 4   4) 44

24. కిందివాటిలో సరైన వాక్యం?

1) సరిసంఖ్య యొక్క ఘనం బేసిసంఖ్య.

2) సంపూర్ణ ఘనసంఖ్య చివరి రెండు స్థానాలు సున్నాలతో అంతమవుతాయి.

3) ఒక సంఖ్య చివరి అంకె 5 అయితే దాని ఘనం చివరి అంకె కూడా 5 అవుతుంది. 

4) 8తో అంతమయ్యే సంపూర్ణ ఘనసంఖ్య లేదు.

25. 32768 ఘనమూలం ఎంత?

1) 28   2) 32   3) 38   4) 42

26. 500 నుంచి 1000 మధ్య ఎన్ని ఘన సంఖ్యలు ఉంటాయి?

1) 5    2) 4    3) 3    4) 2

27. 66667² = ?

1) 4444488889      2) 444488889

3) 4444888889     4) 44448889

28. 4² + 5² + 20² = ?

1) 17²  2) 19²  3) 21²  4) 23²

29. నాలుగు అంకెల అతిపెద్ద వర్గసంఖ్య?

1) 9809       2) 9801   

3) 9901       4) 9810

30. ఒక తోటమాలి 8289 మొక్కలను చతురస్రాకారంలో కొన్ని వరుసల్లో నాటాడు. నాటిన తర్వాత 8 మొక్కలు మిగిలితే ప్రతి వరుసలో నాటిన మొక్కలు ఎన్ని?

1) 89   2) 91   3) 93  4) 97

31. ఒక తోటమాలి వద్ద 1000 మొక్కలు ఉన్నాయి. అతడు వాటిని అడ్డు వరుసలు, నిలువు వరుసలు సమానంగా ఉండేలా నాటాలనుకున్నాడు. అతడికి అదనంగా కావాల్సిన మొక్కల కనిష్ఠ సంఖ్య ఎంత?

1) 39   2) 34   3) 24   4) 14

32. 6, 9, 15లతో భాగించబడే అతిచిన్న వర్గసంఖ్య ఎంత?

1) 900     2) 1600 

3) 2500     4) 1225

33. పరిపూర్ణ వర్గమయ్యే ఆరు అంకెల కనిష్ఠ సంఖ్య ఎంత?

1) 100000     2) 100189 

3) 100489     4) 100196

1) 0.42     2) 0.042 

3) 0.0042     4) 0.00042

35. 8788ను ఏ కనిష్ఠ సంఖ్యతో గుణిస్తే వచ్చే లబ్ధం సంపూర్ణ ఘనం అవుతుంది?

1) 2       2) 4   

3) 6       4) 13

సమాధానాలు

1-3; 2-4; 3-2; 4-2; 5-3; 6-1; 7-2; 8-3; 9-4; 10-4; 11-3; 12-3; 13-2; 14-4; 15-2; 16-4;  17-3; 18-3; 19-4; 20-3; 21-2; 22-1; 23-4; 24-3; 25-2; 26-4; 27-1; 28-3; 29-2; 30-2; 31-3; 32-1; 33-3; 34-2; 35-1.

రచయిత: సి.మధు