కాలం - దూరం

నడుస్తూ వెళ్లి.. వాహనంలో వస్తే!

ఎక్కడికైనా వెళ్లడానికి ప్రణాళిక రూపొందించుకోవాలన్నా, ఏదైనా వస్తువును వేరే ఊరు పంపేందుకు డెలివరీ షెడ్యూల్‌ నిర్ణయించాలన్నా, ఆటల్లో కొంత ప్రాంతాన్ని కవర్‌ చేయడానికి తీసుకున్న సమయాన్ని విశ్లేషించాలన్నా దూరం, కాలంపై తగిన అంచనా ఉండాలి. అలాంటి సామర్థ్యం ఉంటేనే వృత్తి జీవితంలోనూ సరైన నిర్ణయాలు తీసుకోగలుగుతారు. ఆ విధమైన నైపుణ్యాలను అభ్యర్థుల్లో గుర్తించడానికి అంకగణితంలో ‘కాలం-దూరం’ అధ్యాయం నుంచి ప్రశ్నలు ఇస్తుంటారు. ప్రాథమిక గణిత ప్రక్రియలపై అవగాహన పెంచుకుని, ప్రాక్టీస్‌ చేస్తే మంచి మార్కులు సాధించుకోవచ్చు. 

* ఒక యూనిట్‌ కాలంలో ప్రయాణించిన దూరాన్ని వేగం అంటారు.

3) దూరం (d)  = వేగం (s)  కాలం (t)

*  కి.మీ./గం.లో ఇచ్చిన వేగాన్ని మీ./సె. లలోకి   మార్చడానికి దానిని ౌ తో గుణించాలి.

ఉదా: 90 కి.మీ./గం. లను మీ./సె.లలో తెలపండి.

*  మీ./సె. లలో ఇచ్చిన వేగాన్ని కి.మీ./గం. లలోకి     మార్చడానికి దానిని ౌ తో గుణించాలి.

ఉదా: 40 మీ./సె.లను కి.మీ./గం.లలో తెలపండి. 

సగటు వేగం (Average speed)

*  మొత్తం ప్రయాణించిన దూరం (d), ఆ దూరాన్ని ప్రయాణించడానికి పట్టిన కాలం (t) అయితే సగటు 

* మొత్తం ప్రయాణంలో సగం దూరం a వేగంతో, మిగిలిన సగం దూరాన్ని b వేగంతో ప్రయాణిస్తే 

* మొత్తం ప్రయాణంలో సగం కాలం x వేగంతో, మిగిలిన సగం కాలం y వేగంతో ప్రయాణిస్తే 

రైళ్లు (Trains)

*  ఒక స్తంభాన్ని/ నిలిచి ఉన్న మనిషిని/ చెట్టును/ కి.మీ. రాయిని దాటడానికి రైలు ప్రయాణించే దూరం, రైలు పొడవుకు సమానం. అప్పుడు స్తంభాన్ని దాటడానికి పట్టే కాలం 

* రైలు ఒక వంతెనను లేదా ఫ్లాట్‌ఫామ్‌ను దాటడానికి ప్రయాణించే దూరం =  రైలు పొడవు + వంతెన పొడవు

సాపేక్ష వేగం (Relative speed)

* ఇద్దరు వ్యక్తులు/ రెండు వస్తువులు ప్రయాణిస్తున్నప్పుడు వేగం స్థానంలో సాపేక్ష వేగం తీసుకోవాలి.

* ఇద్దరు వ్యక్తులు ఎదురెదురుగా ప్రయాణం చేస్తున్నప్పుడు వారి మధ్య సాపేక్ష వేగం = వారి వేగాల మొత్తం

* ఇద్దరు వ్యక్తులు ఒకే దిశలో ప్రయాణం చేస్తున్నప్పుడు వారి మధ్య సాపేక్ష వేగం=వారి వేగాల భేదం

* ఇద్దరు వ్యక్తులు కలుసుకోవడానికి పట్టే కాలం 

మాదిరి ప్రశ్నలు

1.  162 కి.మీ./గం.లను మీ./సె.లలో తెలపండి. 

1) 35 మీ./సె.     2) 40 మీ./సె. 

3) 45 మీ./సె.     4) 50 మీ./సె.

2.  15 మీ./సె. లను కి.మీ./గం.లలోకి మార్చండి.

1) 72 కి.మీ./గం.     2) 54 కి.మీ./గం. 

3) 36 కి.మీ./గం.     4) 48 కి.మీ./గం.

3.   ఒక కారు 250 మీ. దూరాన్ని 25 సెకన్లలో ప్రయాణించింది. అయితే దాని వేగాన్ని గంటకు కి.మీ.లలో తెలపండి. 

1) 10 కి.మీ./గం.   2) 18 కి.మీ./గం. 

3) 27 కి.మీ./గం.  4) 36 కి.మీ./గం.

4.  ఒక కారు 54 కి.మీ./గం. వేగంతో ప్రయాణిస్తే... 2 నిమిషాల్లో అది ఎంత దూరం ప్రయాణిస్తుంది?    

1) 1200 మీ.     2) 1400 మీ. 

3) 1600 మీ.     4) 1800 మీ.

5. మిథున్‌ విజయవాడ నుంచి మచిలీపట్నంకు 25 కి.మీ./గం. వేగంతో ప్రయాణించి 3 గంటల్లో చేరుకున్నాడు. మేఘన మచిలీపట్నం నుంచి 

విజయవాడకు 20 కి.మీ./గం. వేగంతో ప్రయాణిస్తే ఎంత కాలంలో విజయవాడ చేరుకుంటుంది?

1) గం.3 : 15 ని.     2) గం.3 : 45 ని. 

3) గం.4 : 15 ని.     4) గం.4 : 30 ని.

6.  ఒక కారు ఒక నిర్దిష్ట దూరాన్ని 80 కి.మీ./గం. వేగంతో 10 గంటల్లో ప్రయాణించగలదు. అదే దూరాన్ని 4 గంటల్లో పూర్తి చేయాలంటే ఎంత అధిక వేగంతో ప్రయాణించాలి?

1) 200 కి.మీ./గం.    2) 120 కి.మీ./గం.   

3) 160 కి.మీ./గం.   4) 140 కి.మీ./గం.

7.  మా ఇంటి నుంచి ఆఫీసుకి 3 కి.మీ./గం. వేగంతో వెళితే 15 నిమిషాలు ఆలస్యం అవుతుంది. కానీ 4 కి.మీ./గం. వేగంతో వెళితే 15 నిమిషాలు ముందుగా చేరుకోవచ్చు. అయితే ఇంటి నుంచి ఆఫీసుకి మధ్య దూరం ఎంత?

1) 3 కి.మీ. 2) 5 కి.మీ.  3) 6 కి.మీ. 4) 7 కి.మీ.

8. ఒక మనిషి తన మోపెడ్‌ పై 24 కి.మీ./గం. వేగంతో ప్రయాణిస్తే, అతడు తన గమ్యస్థానాన్ని 5 నిమిషాలు ఆలస్యంగా చేరతాడు. కానీ 30 కి.మీ./గం. వేగంతో ప్రయాణిస్తే 4 నిమిషాలు ముందుగానే చేరతాడు. అయితే అతడు చేరాల్సిన గమ్యస్థానం ఎంత దూరంలో ఉంది?

1) 36 కి.మీ.     2) 18 కి.మీ. 

3) 12 కి.మీ.       4) 24 కి.మీ.

9.  ఒక బాలుడు సైకిలుపై సగటున 15 కి.మీ./గం. వేగంతో ప్రయాణించినా పాఠశాలకు 20 నిమిషాలు ఆలస్యంగా చేరుకుంటాడు. తర్వాత అతడి వేగంలో 5 కి.మీ./గం. పెరిగినప్పటికీ 10 నిమిషాలు ఆలస్యంగా పాఠశాలకు చేరుకుంటాడు. అయితే అతడి ఇంటి నుంచి పాఠశాలకు మధ్య దూరం ఎంత?

1) 10 కి.మీ.       2) 15 కి.మీ. 

 3) 18 కి.మీ.     4) 20 కి.మీ.

10. ఒక బస్సు ఎక్కడా ఆగకుండా ప్రయాణిస్తే, గంటకు 60 కి.మీ. వెళుతుంది. కానీ అది ఆగుతూ ప్రయాణిస్తే గంటకు 50 కి.మీ. మాత్రమే ప్రయాణిస్తుంది. అయితే ఆ బస్సు ప్రతి గంటకు ఎంత సమయం ఆగుతుంది?

1) 10 ని. 2) 15 ని. 3) 12 ని. 4) 18 ని.

11. ఒక వ్యక్తి సాధారణ వేగానికి 4/5వ వంతు వేగంతో నడిస్తే కార్యాలయానికి 6 నిమిషాలు ఆలస్యంగా చేరుకుంటాడు. అయితే అతడి సాధారణ సమయం ఎంత?

1) 16 ని.  2) 18 ని.  3) 20 ని.  4) 24 ని.

సూత్రం: అసలు వేగానికి  a/b వ వంతు వేగంతో ప్రయాణించడం వల్ల గమ్యస్థానాన్ని t నిమిషాలు ముందుగా/ఆలస్యంగా చేరుకున్నట్లయితే వాస్తవ సమయం 

  

12. ఒక వ్యక్తి గ్రామం నుంచి పోస్టాఫీసుకు 25 కి.మీ./గం. వేగంతో, అక్కడి నుంచి 4 కి.మీ./గం. వేగంతో తిరిగి ప్రయాణించాడు. అతడు ప్రయాణించిన మొత్తం కాలం 5 గం. 48 ని.లు. అయితే పోస్టాఫీసుకు, గ్రామానికి మధ్య దూరం ఎన్ని కిలోమీటర్లు?

1) 40    2) 20     3) 24     4) 38 

13. ఒక కారు ప్రయాణంలో మొదటి 39 కిలోమీటర్లను 45 నిమిషాల్లో, మిగిలిన 25 కి.మీ. దూరాన్ని 35 నిమిషాల్లో పూర్తిచేసింది. అయితే ఆ కారు 

ప్రయాణించిన సరాసరి వేగం ఎంత?

1) 40 కి.మీ./గం.   2) 64 కి.మీ./గం.    

3) 49 కి.మీ./గం.   4) 48 కి.మీ./గం.

14. ఒక రైలు 12 నిమిషాల్లో 10 కి.మీ. దూరం వెళుతుంది. దాని వేగం 5 కి.మీ./గం. తగ్గితే అదే దూరం ప్రయాణించడానికి పట్టే కాలం ఎంత?

1) 10 ని.       2) 11 ని. 20 సె.

3) 13 ని.      4) 13 ని. 20 సె.

15. ఒక వ్యక్తి కొంత దూరాన్ని నడుచుకుంటూ వెళ్లి, వాహనంలో తిరిగి వచ్చాడు. దీనికి 6 గం. 45 ని. పట్టింది. ఇరువైపులా వాహనంలో వెళితే అతడికి ప్రయాణ కాలం 3 గంటలు తగ్గుతుంది. ఒకవేళ అతడు రెండు వైపులా నడవాలంటే ఎంత సమయం పడుతుంది?

1) 9 గం. 15 ని.   2) 8 గం. 45 ని.

3) 9 గం. 45 ని.    4) 9 గం. 35 ని.

16. మూడు రైళ్ల వేగాల నిష్పత్తి 3 : 4 : 5 అయితే ఒకే దూరాన్ని ప్రయాణించడానికి వాటికి పట్టే కాలాల నిష్పత్తి ఎంత?

1) 5 : 4 : 3    2) 12 : 15 : 20

3) 3 : 4 : 5     4) 20 : 15 : 12

17. ఒక కారు ఉదయం 8 గంటలకు బయలుదేరి 65 కి.మీ./గం. వేగంతో వెళుతుంది. దాని వెంట మరొక కారు ఉదయం 9 గంటలకు బయలుదేరి 70 కి.మీ./గం. వేగంతో వెళుతుంది. అయితే ఆ రెండు కార్లు ఏ సమయంలో కలుసుకుంటాయి?

1) 4 pm   2) 6 pm    3) 8 pm    4) 10 pm

18. ఒక వ్యక్తి తన ప్రయాణంలో మొదటి సగం దూరం 20 కి.మీ./గం. వేగంతో, మిగిలిన సగం దూరాన్ని 30 కి.మీ./గం. వేగంతో ప్రయాణిస్తే మొత్తం ప్రయాణంలో అతడి సరాసరి వేగం ఎంత?

1) 12 కి.మీ./గం.   2) 18 కి.మీ./గం. 

 3) 24 కి.మీ./గం.   4) 30 కి.మీ./గం.

19. రహీమ్‌ ఇంటికి వెళ్లడానికి 600 కి.మీ. దూరంలో కొంత దూరం రైలులో, మరికొంతదూరం కారులో ప్రయాణించాడు. 120 కి.మీ. దూరం రైలులో, మిగిలిన దూరం కారులో ప్రయాణించడానికి అతడికి 8 గంటలు పట్టింది. అదే 200 కి.మీ. దూరం రైలులో, మిగిలిన దూరం కారులో ప్రయాణం చేస్తే అతడికి 20 నిమిషాల కాలం ఎక్కువ పడుతుంది. అయితే కారు, రైలు వేగాలు వరుసగా (కి.మీ./గం.లలో)

1) 60, 90    2) 70, 60    3) 80, 60    4) 80, 100

20. 120 మీ. పొడవైన ఒక రైలు ఒక మనిషిని 10 సెకన్లలో దాటింది. అయితే రైలు వేగం ఎంత?

1) 10 మీ./సె.    2) 12 మీ./సె.  

3) 15 మీ./సె.    4) 20 మీ./సె.

21. 150 మీ. పొడవైన ఒక రైలు 54 కి.మీ./గం.    వేగంతో ఒక వ్యక్తిని ఎన్ని సెకన్లలో దాటుతుంది?

1) 20 సె.   2) 15 సె.   3) 18 సె.   4) 10 సె.

22. రైలు ఒక స్తంభాన్ని 8 సెకన్లలో, 200 మీ. పొడవైన వంతెనని 24 సెకన్లలో దాటింది. అయితే రైలు పొడవు ఎంత?

1) 100 మీ.    2) 120 మీ.   3) 160 మీ.   4) 200 మీ.

23. 300 మీ. పొడవైన ఒక రైలు ఒక ప్లాట్‌ఫామ్‌ను 39 సెకన్లలో, ఒక సిగ్నల్‌ స్తంభాన్ని 18 సెకన్లలో దాటితే ఫ్లాట్‌ఫామ్‌ పొడవు ఎంత?

1) 320 మీ.    2) 350 మీ.  3) 650 మీ.    4) ఏదీకాదు 

సమాధానాలు

1-3; 2-2; 3-4; 4-4; 5-2; 6-2; 7-3; 8-2; 9-1; 10-1; 11-4; 12-2; 13-4; 14-4; 15-3; 16-4; 17-4; 18-3; 19-3; 20-2; 21-4; 22-1; 23-2.

రచయిత: సి.మధు