కాలం - పని

సామర్థ్యాలకు వేతనాలు అనులోమం!

వ్యక్తులు విడివిడిగా లేదా కలిసి చేస్తే పనులు పూర్తయ్యే కాలాల్లో తేడాలు ఉంటాయి. ఆ వ్యక్తుల సామర్థ్యాలు కూడా వాటిపై ప్రభావాన్ని చూపుతాయి. పని చేయగలిగిన నైపుణ్యం ఆధారంగానే వేతనాలూ అందుతాయి. సామర్థ్యం ఎక్కువ ఉంటే, అధిక వేతనం పొందవచ్చు. రోజూ కనిపించే ఇలాంటి అంశాలపై పోటీ పరీక్షల అంకగణితంలో ప్రశ్నలు అడుగుతారు. కాస్త ప్రాక్టీస్‌ చేస్తే, కలం ఉపయోగించకుండానే సమాధానాలు కనుక్కోవచ్చు. 

 ఒక వ్యక్తి ఒక పనిని  x' రోజుల్లో పూర్తిచేస్తే, అతడు  ఒక రోజులో చేసిన పని =  

ఒక రోజులో చేసే పనిని అతడి సామర్థ్యం అంటారు.  

 A ఒక పనిని x రోజుల్లో, B అదే పనిని y రోజుల్లో విడివిడిగా చేయగలిగితే, వారిద్దరూ కలిసి ఆ పనిని  పూర్తిచేయడానికి పట్టే రోజులు =  

 A, B, C లు విడివిడిగా ఒక పనిని  x, y, z రోజుల్లో పూర్తిచేస్తే ముగ్గురు కలిసి ఆ పనిని పూర్తి చేయడానికి పట్టే రోజులు = 

 A ఒక పనిని  x రోజుల్లో, AB లు ఇద్దరు కలిసి  y రోజుల్లో పూర్తిచేస్తే, B ఒక్కడే ఆ పనిని పూర్తి  చేయడానికి పట్టే రోజులు    

A , B లు ఒక పనిని x రోజుల్లో, B, C లు కలిసి  y రోజుల్లో, C, A  లు అదే పనిని z రోజుల్లో పూర్తి చేస్తే,

i) A, B, C లు ముగ్గురు కలిసి పూర్తి చేయడానికి పట్టే రోజుల సంఖ్య =  

ii ) A  ఒక్కడే ఆ పనిని పూర్తిచేయడానికి పట్టే రోజుల సంఖ్య =  

iii ) B ఒక్కడే ఆ పనిని పూర్తి చేయడానికి పట్టే రోజుల సంఖ్య =  

 iV) C  ఒక్కడే ఆ పనిని పూర్తి చేయడానికి పట్టే రోజుల  సంఖ్య = 

గమనిక: ఇద్దరు వ్యక్తులు ఒక పనిని చేయడానికి పట్టే కాలాల నిష్పత్తి  x : y అయితే

1 ) వారి సామర్థ్యాల మధ్య నిష్పత్తి = y : x 

2 ) వారు పొందే వేతనాల మధ్య నిష్పత్తి y : x అవుతుంది

∴  A, B కి  రెట్లు పని సామర్థ్యం ఉన్నవాడు   అయితే, A, B కి   రెట్ల సమయంలో పనిని పూర్తి చేస్తాడు.

ఉదా:  A , Bకి 2 రెట్లు పని సామర్థ్యం ఉన్నవాడు అయితే, A, B కి పట్టే సమయంలో సగం రోజుల్లో చేయగలడు.

మాదిరి ప్రశ్నలు

1. అయిదుగురు వ్యక్తులు కలిసి ఒక పనిని 10 రోజుల్లో పూర్తిచేస్తారు. అదే పనిని ఒక వ్యక్తి ఎన్ని రోజుల్లో పూర్తి చేయగలడు?

  1) 2   2) 5    3) 20     4) 50

2. A ఒక పనిని పూర్తి చేయడానికి 40 రోజులు పడుతుంది. అయితే అతడు 5 రోజుల్లో ఎంత భాగం చేస్తాడు?

3. రాముడు ఒక పనిని 6 రోజుల్లో, అదే పనిని భీముడు 12 రోజుల్లో చేయగలరు. వారిద్దరూ కలిసి ఆ పనిని ఎన్ని రోజుల్లో పూర్తిచేస్తారు? 

  1) 4      2) 6      3) 9     4) 18

4. A,B  లు కలిసి ఒక పనిని 12 రోజుల్లో పూర్తి చేయగలరు.   A  ఒక్కడే ఆ పనిని 20 రోజుల్లో చేయగలడు. అయితే  B ఒక్కడే ఆ పనిని ఎన్ని రోజుల్లో పూర్తి చేయగలడు?          

1) 25     2)30     3) 24     4) 36

5. మిథున్‌ 

వ వంతు పనిని 16 రోజుల్లో చేస్తాడు. అయితే మొత్తం పనిని ఎన్ని రోజుల్లో పూర్తి చేస్తాడు?

    1) 16     2) 26     3) 36     4) 46

6. ఒక వ్యక్తి ఒక పనిని 5 రోజుల్లో, అతడి కొడుకు సహాయంతో 3 రోజుల్లో చేయగలడు. అయితే కొడుకు ఒక్కడే ఆ పనిని ఎన్ని రోజుల్లో పూర్తి చేయగలుగుతాడు?

7. మురళి ఒక పనిని 6 రోజుల్లో పూర్తి చేయగలడు. శ్రీకాంత్‌ అదే పనిని 10 రోజుల్లో, అనిల్‌ 15 రోజుల్లో విడివిడిగా చేయగలరు. వారు ముగ్గురు కలిసి ఆ పనిని ఎన్ని రోజుల్లో పూర్తిచేస్తారు?           

  1) 3     2)4     3)5      4) 6

8. A,B లు కలిసి ఒక పనిని 12 రోజుల్లో,  B, C లు కలిసి అదే పనిని 15 రోజుల్లో, C, A లు కలిసి ఆ పనిని 20 రోజుల్లో చేయగలరు. అయితే C ఒక్కడే ఆ పనిని ఎన్ని రోజుల్లో చేయగలడు?

 1) 20    2) 30    3) 45    4) 60

9. ఒక పనిని 30 మంది మనుషులు 17 రోజుల్లో పూర్తిచేయగలరు. అదే పనిని 10 రోజుల్లో పూర్తిచేయడానికి కావాల్సిన అదనపు మనుషుల సంఖ్య ఎంత?

 1)21    2)30    3)51    4)11

10. A,B లు వరుసగా ఒక పనిని 20, 15 రోజుల్లో పూర్తిచేస్తారు. C సహాయంతో వారు ఆ పనిని 5 రోజుల్లో పూర్తిచేస్తారు. అయితే ది ఒక్కడే ఆ పనిని ఎన్ని రోజుల్లో పూర్తిచేస్తాడు?  

1)8     2)10     3)12    4)18

గమనిక:  C ఒక్క రోజు పని = (A + B + C) ల ఒక్కరోజు పని   (A + B) ల ఒక్కరోజు పని.

11. ఒక పనిని సునీత, సృజని వరుసగా 30, 20 రోజుల్లో చేయగలరు. వారిలో సునీత ఆ పనిని ప్రారంభించి 5 రోజులు చేసిన తర్వాత సృజని ఆమెతో చేరింది. వారిద్దరూ కలిసి కొంతకాలం పనిచేసి ఆ పనిని పూర్తిచేశారు. అయితే సునీత, సృజనిలు కలిసి పనిచేసిన కాలం ఎంత?

1) 8 రోజులు          2) 10 రోజులు      3) 12 రోజులు          4) 9 రోజులు

12. A ఒక పనిని 15 రోజుల్లో,  B అదే పనిని 20 రోజుల్లో చేయగలరు. వారిద్దరూ కలిసి ఆ పనిని ప్రారంభించిన 5 రోజుల్లో పని పూర్తవుతుందనగా A  విరమించుకున్నాడు. అయితే ఆ పని ఎన్ని రోజుల్లో పూర్తవుతుంది. 

1) 10   2) 8     3) 11     

Shortcut     

13. A, B, C లు విడివిడిగా ఒక పనిని 24, 30, 40 రోజుల్లో చేయగలరు. వారు ముగ్గురు కలిసి ఆ పనిని ప్రారంభించి పని పూర్తి అవడానికి 4 రోజుల ముందు C విరమించుకుంటే ఆ పని ఎంత కాలంలో పూర్తి అవుతుంది?

1) 11      2) 15     3) 13    4) 16

సంక్షిప్త వివరణ: 

A + B + C లు కలిసి ఆ పనిని  x రోజుల్లో పూర్తిచేస్తే 

 
14. హరిత ఒక పనిని 10 రోజుల్లో చేయగలదు. మౌనిక అదే పనిని 20 రోజుల్లో చేయగలదు. వారు పనిని ప్రారంభించిన 5 రోజుల తర్వాత హరిత పని నుంచి వెళ్లిపోయింది. అయితే మౌనిక ఒక్క అమ్మాయే మిగిలిన పనిని ఎన్ని రోజుల్లో పూర్తి చేయగలదు?

 1) 5     2) 6     3) 8      4) 10

సంక్షిప్త వివరణ: మిగిలిన పనిని మౌనిక  x రోజుల్లో చేయగలదు. అయితే

గమనిక:  A, B కి  x రెట్లు పని సామర్థ్యం గలవాడు. ఇద్దరు కలిసి ఒక పనిని y రోజుల్లో పూర్తి చేయగలరు. అయితే 1) A ఒక్కడు ఆ పనిని పూర్తి చేయడానికి పట్టిన 

    రోజులు = 

2) B కి పట్టిన రోజులు = y (x + 1)

15. A, B కి 3 రెట్లు పని సామర్థ్యం గలవాడు. ఇద్దరూ కలిసి ఒక పనిని 24 రోజుల్లో పూర్తి చేస్తే, B ఒక్కడే ఆ పనిని ఎన్ని రోజుల్లో పూర్తి చేయగలడు?

1) 32     2) 64     3) 86    4) 96

గమనిక:  a మంది పురుషులు లేదా  b మంది స్త్రీలు ఒక పనిని x రోజుల్లో పూర్తి చేస్తారు. 5m మంది పురుషులు, n మంది స్త్రీలు కలిసి ఆ పనిని పూర్తి చేసిన రోజుల సంఖ్య =   రోజులు.

16. ముగ్గురు పురుషులు లేదా నలుగురు స్త్రీలు ఒక పనిని 43 రోజుల్లో చేయగలరు. అదే పనిని 7 మంది పురుషులు, 5 మంది స్త్రీలు కలిసి ఆ పనిని ఎన్ని రోజుల్లో పూర్తి చేయగలరు?

 1)12    2) 18    3)21   4) 23

17. ఇద్దరు పురుషులు లేదా నలుగురు మహిళలు ఒక పనిని 22 రోజుల్లో పూర్తి చేస్తారు. నలుగురు పురుషులు, ముగ్గురు మహిళలు కలిసి ఆ పనిని ఎన్ని రోజుల్లో చేయగలరు?

1) 4     2) 8     3) 16     4) 26

18. ఆరుగురు పురుషులు, 8 మంది బాలురు ఒక పనిని 10 రోజుల్లో చేస్తారు. కానీ 26 మంది పురుషులు, 48 మంది బాలురు అదే పనిని 2 రోజుల్లో చేస్తారు. అయితే 15 మంది పురుషులు, 20 మంది బాలురు అదే పనిని ఎన్ని రోజుల్లో చేయగలరు?

  1) 4      2) 5      3) 6     4) 7

వివరణ:

(6 గురు పురుషులు + 8 మంది బాలురు)  10 = (26 మంది పురుషులు + 48 మంది బాలురు) × 2 ( 60 - 52 ) పురుషులు = (96 - 80) బాలురు

8 పురుషులు = 16 మంది బాలురు ⇒ ఒక పురుషుడు = ఇద్దరు బాలురు 6 గురు పురుషులు + 8 మంది బాలురు = 6 ( 2 )  + 8 = 20 మంది బాలురు

15 మంది పురుషులు + 20 మంది బాలురు = 

15 ( 2) +20 =50 మంది బాలురు

20 మంది బాలురు -- 10 రోజులు

50 మంది బాలురు -- ?

19. నలుగురు పురుషులు, 8 మంది మహిళలు కలిసి ఒక పనిని 8 రోజుల్లో పూర్తి చేస్తారు. కానీ ముగ్గురు పురుషులు, 7 మంది స్త్రీలు కలిసి అదే పనిని 10 రోజుల్లో పూర్తి చేస్తారు. 10 మంది మహిళలు అదే పనిని ఎన్ని రోజుల్లో పూర్తి చేయగలరు?

1) 50     2) 45    3) 40     4) 35

20. 20 మంది ఒక పనిని 35 రోజుల్లో చేయగలరు. ఎన్ని రోజుల తర్వాత పని నుంచి 5 మంది వైదొలగితే ఆ పని 45 రోజుల్లో పూర్తి అవుతుంది?

1) 3      2) 4      3) 5      4) 6

గమనిక:  x రోజుల తర్వాత 5 మంది పని నుంచి వైదొలగితే

∴ (20×35) − (15×45) = 5x

సమాధానాలు

1-4, 2-3, 3-1, 4-2, 5-3, 6-2, 7-1, 8-4, 9-1, 10-3, 11-2, 12-4, 13-1, 14-1, 15-4, 16-1, 17-2, 18-1, 19-3, 20-3.

 

రచయిత సి మధు