* ax + by + c = 0 రూపంలో(a, b, c, ∈ R, a ≠ 0, b ≠ 0) గల సమీకరణాన్ని రెండు చరరాశులు x, y లలో రేఖీయ సమీకరణం అంటారు.
* ఒకే రకమైన రెండు చరరాశులు ఉన్న రెండు రేఖీయ సమీకరణాలను రెండు చరరాశుల్లో రేఖీయ సమీకరణాల జత అంటారు.
* రేఖీయ సమీకరణాల జతకు సాధారణ రూపం
a1 x + b1 y + c1 = 0 (a12 + b12 ≠ 0)
a2x + b2y + c2 = 0 (a2 2 + b22 ≠ 0)
(a1 , b1 , c1 , a2 , b2 , c2 ∈ R)
మాదిరి సమస్యలు
1. కింది వాటిలో 2x + 3y + 1 = 0, 4x + 5y + 3 = 0 సమీకరణాలను సూచించేదేది?
1) ఖండన రేఖలు 2) సమాంతర రేఖలు 3) ఏకీభవించే రేఖలు 4) ఏదీకాదు
సాధన: a1 = 2, b1 = 3, c1 = 1,
a2 = 4, b2 = 5, c2 = 3
దత్త సమీకరణాలు ఖండన రేఖలు
సమాధానం: 1
2. 4x + 6y = 15, 2x + 3y = 8 సమీకరణాల జత కింది వాటిలో దేన్ని సూచిస్తుంది?
1) ఖండన రేఖలు 2) సమాంతర రేఖలు 3) పరస్పరాధారిత రేఖలు 4) ఏకీభవించే రేఖలు
సాధన: ఇచ్చిన సమీకరణాలు
4x + 6y = 15 ⇒ 4x + 6y − 15 = 0
2x + 3y = 8 ⇒ 2x + 3y − 8 = 0
a1 = 4, b1 = 6, c1 = −15,
a2 = 2, b2 = 3, c2 = − 8
దత్త సమీకరణాలు సమాంతర రేఖలు
సమాధానం: 2
3. 3x + ky − 5 = 0, 2x − 3y + 6 = 0 సమీకరణాలు సమాంతర రేఖలు. అయితే k విలువ ఎంత?
సాధన: దత్త సమీకరణాలు
3x + ky − 5 = 0 → 1
2x − 3y + 6 = 0 → 2
a1 = 3, b1 = k, c1 = −5,
a2 = 2, b2 = −3, c2 = 6
సమీ.1, 2 లు సమాంతర రేఖలు,
సమాధానం: 4
4. 2x − ky + 5 = 0, 3x + 2y − 7 = 0 అనే సమకాలిక ఏకఘాత సమీకరణాలకు ఏకైక సాధన ఉంటే, అప్పుడు......
సాధన: దత్త సమీకరణాలు
2x − ky + 5 = 0 → 1
3x + 2y − 7 = 0 → 2
a1 = 2, b1 = −k, c1 = 5,
a2 = 3, b2 = 2, c2 = −7
a1 x + b1 y + c1 = 0, a2 x + b2 y + c2 = 0
లకు ఏకైక సాధన ఉంటే,
సమాధానం: 4
5. 2x − 3y + 4 = 0, 3x − 2y − 4 = 0 అనే సమకాలిక ఏకఘాత సమీకరణాలకు.......
1) సాధన ఉండదు 2) ఏకైక సాధన ఉంటుంది
3) సాధనల సంఖ్య పరిమితంగా ఉంటుంది 4) అనంతమైన సాధనలు ఉంటాయి
సాధన: ఇచ్చిన సమీకరణాలు
2x − 3y + 4 = 0 → 1
3x − 2y − 4 = 0 → 2
a1 = 2, b1 = −3, c1 = 4,
a2 = 3, b2 = −2, c2 = − 4
సమీ.లు 1, 2లకు ఏకైక సాధన ఉంటుంది.
సమాధానం: 2
6. 2x + 3y = 13, 5x − 4y = −2అనే సమీకరణాల సాధన?
సాధన: దత్త సమీకరణాలు
2x + 3y = 13 → 1
5x − 4y = −2 →2
సమీ.1 నుంచి 2x + 3y = 13
3y = 13 − 2x
సమీ.2 నుంచి 5x − 4y = −2
− 4y= −2 − 5x
4y = 2 + 5x
4 (13 − 2x) = 3 (5x + 2)
52 − 8x = 15x + 6
52 − 6 = 15x + 8x
⇒ 46 = 23x
x = 2 ను సమీ.1లో ప్రతిక్షేపించగా..
సమాధానం: 1
2a + 3b = 2 →1
4a − 9b = −1 →2
సమీ. 1 × 2 ⇒ (2a + 3b = 2) × 2
4a + 6b = 4 → 3
సమీ. 3 − సమీ. 2
4a + 6b − (4a − 9b) = 4 − (−1)
4a + 6b − 4a + 9b = 5
⇒15b = 5
b= 1/3 ని సమీ.1లో ప్రతిక్షేపించగా..
2a + 3b = 2
2a + 1 = 2 ⇒ 2a = 1
* సాయి బ్యాంకు నుంచి రూ.4000 తీసుకోవాలనుకున్నాడు. అతడు క్యాషియర్‌ను రూ.50, రూ.100 నోట్లు మాత్రమే ఇవ్వాలని కోరాడు. మొత్తం అతనికి 50 నోట్లు వచ్చాయి. అయితే అందులో రూ.100 నోట్లు ఎన్ని?
1) 25 2) 35 3) 20 4) 30
సాధన: రూ.100 నోట్ల సంఖ్య = x
రూ.50 నోట్ల సంఖ్య = y అనుకోండి
లెక్క ప్రకారం..x + y = 50 →1
100x + 50y = 4000 → 2
సమీ.1 నుంచి.... x + y = 50
y = 50 − x
సమీ.2 నుంచి... 100x + 50y = 4000
y = 80 − 2x
⇒ 50 − x = 80 − 2x
2x − x = 80 − 50 ⇒ x = 30
రూ.100 నోట్ల సంఖ్య (x) = 30
సమాధానం: 4
అభ్యాస సమస్యలు
1. x + y = 2, 3x + 3y = 6 సమీకరణాలకు సంబంధించి కింది వాటిలో సరైంది?
1) సాధన లేదు 2) ఏకైక సాధన ఉంటుంది
3) రెండు సాధనలు ఉంటాయి 4) అనంత సాధనలు ఉంటాయి
జ: అనంత సాధనలు ఉంటాయి
2. 2x + 3y = 7, (a − 1)x + (a + 1)y = 3a − 1 సమీకరణాలకు అనంతమైన సాధనలు ఉంటే, ్చ విలువ ఎంత?
1) 2 2) 3 3) 4 4) 5
జ: 4) 5
3. 4x + py + 8 = 0, 2x + 2y + 2 = 0సమీకరణాలకు ఏకైన సాధన ఉంటే కింది వాటిలో ఏది సత్యం?
1) p ≠ 4 2) p = 4 3) p = 1 4) p ≠ 1
జ: p ≠ 4
4. 3x + 4y + 7 = 0, 9x + 12y + k = 0 సమీకరణాలు ఏకీభవించే రేఖలను సూచిస్తే k విలువ ఎంత?
1) 14 2) 21 3) 28 4) 15
జ: 21
