సంఖ్యావ్యవస్థ - వర్గాలు, వర్గమూలాలు

*  x² = y అయితే √y = x అవుతుంది. అంటే
x వర్గం y అయితే y వర్గమూలం x అవుతుంది.
* n అనేది ఒక సహజ సంఖ్య అయితే n² పరిపూర్ణ వర్గసంఖ్య (కచ్చిత వర్గసంఖ్య) అవుతుంది. పరిపూర్ణ వర్గసంఖ్యలకు ఉదాహరణ: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49...
గమనిక: 1.4² = 1.96, 14² = 196 లలో 1.96 పరిపూర్ణ వర్గసంఖ్య కాదు  (Not a perfect square number).  196 పరిపూర్ణ వర్గసంఖ్య  (Perfect square number). 
* మొదటి n బేసి సంఖ్యల మొత్తం ఎల్లప్పుడూ కచ్చిత వర్గసంఖ్య అవుతుంది.
1 + 3 + 5 + 7 + ...... (n సంఖ్యలు) = n²

మాదిరి సమస్యలు
1. కిందివాటిలో పరిపూర్ణ వర్గసంఖ్య కానిది ఏది?
1) 144       2) 169         3) 324            4) 0.25 
సాధన: 144 = 12², 12 సహజ సంఖ్య కాబట్టి 144 పరిపూర్ణ వర్గ సంఖ్య అవుతుంది.
169 = 13², 13 సహజ సంఖ్య కాబట్టి 169 పరిపూర్ణ వర్గసంఖ్య అవుతుంది.
324 = 18², 18 సహజ సంఖ్య కాబట్టి 324 పరిపూర్ణ వర్గసంఖ్య అవుతుంది
0.25 = 0.5², 0.5 సహజ సంఖ్య కాదు. కాబట్టి 0.25 పరిపూర్ణ వర్గసంఖ్య కాదు.    
సమాధానం: 4

2. మొదటి 25 బేసి సంఖ్యల మొత్తం ఎంత?
1) 576         2) 625         3) 676          4) 500 
సాధన: 1 + 3 + 5 + 7 + .....+ (n సంఖ్యలు) = n²
1 + 3 + 5 + 7 + ..... + (25 సంఖ్యలు) = 25²
                         = 25 x 25 = 625     
సమాధానం: 2

గమనిక: ఒక అంకె సంఖ్యల్లో అతిచిన్న పరిపూర్ణ వర్గ సంఖ్య = 1 (1²)
రెండంకెల సంఖ్యల్లో అతిచిన్న పరిపూర్ణ వర్గసంఖ్య = 16 (4²)
మూడంకెల సంఖ్యల్లో అతిచిన్న పరిపూర్ణ వర్గసంఖ్య = 100 (10²)
నాలుగంకెల సంఖ్యల్లో అతిచిన్న పరిపూర్ణ వర్గసంఖ్య = 1024 (32²)
అయిదంకెల సంఖ్యల్లో అతిచిన్న పరిపూర్ణ వర్గసంఖ్య = 10,000 (100²)
ఒక అంకె సంఖ్యల్లో అతిపెద్ద పరిపూర్ణ వర్గసంఖ్య  = 9 (3²)
రెండంకెల సంఖ్యల్లో అతిపెద్ద పరిపూర్ణ వర్గసంఖ్య = 81(9²)
మూడంకెల సంఖ్యల్లో అతిపెద్ద పరిపూర్ణ వర్గసంఖ్య = 961 (31²)
నాలుగంకెల సంఖ్యల్లో అతిపెద్ద పరిపూర్ణ వర్గసంఖ్య = 9801 (99²)
అయిదంకెల సంఖ్యల్లో అతిపెద్ద పరిపూర్ణ వర్గ సంఖ్య = 99856 (316²)
 

3. 12², 13² మధ్య ఉన్న పూర్ణాంకాల సంఖ్య?
1) 24      2) 25            3) 26            4) 27
సాధన: n², (n + 1)² (n ఒక సహజ సంఖ్య్శ మధ్య ఉన్న పూర్ణాంకాల సంఖ్య = 2n
12², 13² మధ్య ఉన్న పూర్ణాంకాల సంఖ్య 
    = 2 x 12 = 24     
సమాధానం: 1
 

4. 92 + 402 = x² అయితే x విలువ ఎంత?
1) 51 2) 49          3) 41         4) 59
సాధన: 9² + 40² = x²
⇒ 81 + 1600 = x²
⇒ 1681 = x² ⇒ x = √1681  
⇒ = √412  = 41
∴ x = 41 
సమాధానం: 3

గమనిక:  a² + b² = c² (a, b, c లు సహజ సంఖ్యలు) అయితే (a, b, c) ని పైథాగరియన్‌ త్రికం అంటారు.
ఉదా: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17) మొదలైనవి.

7. మూడు వరుస పూర్ణాంకాల వర్గాల మొత్తం 434 అయితే ఆ సంఖ్యల మొత్తం ఎంత?  
1) 45           2) 42          3) 39            4) 36 
సాధన: మూడు వరుస పూర్ణాంకాలు = x, x + 1, x + 2 అనుకోండి.
x² + (x + 1)² + (x + 2)² = 434
⇒ x² + x² + 2x + 1 + x² + 4x + 4 = 434
⇒ 3x² + 6x + 5 = 434
⇒ 3x² + 6x + 5 - 434 = 0
⇒ 3x² + 6x - 429 = 0
⇒ x² + 2x -143 = 0
⇒ x² + 13x - 11x - 143 = 0
⇒ x(x + 13) - 11(x + 13) = 0
⇒ (x + 13) (x - 11) = 0
⇒ x + 13 = 0 లేదా x - 11 = 0
⇒ x = -13 లేదా x = 11
⇒ x = 11 (x = 13 పూర్ణ సంఖ్య కాదు)
∴ x = 11
x + 1 = 11 + 1 = 12
x + 2 = 11 + 2 = 13 
వరుస పూర్ణాంకాల మొత్తం = x + (x + 1)(x + 2) = 11 + 12 + 13 = 36 
సమాధానం: 4

సమాధానం: 2

అభ్యాస ప్రశ్నలు

1.

2. కిందివాటిని జతపరచండి.
i) 6² + 8² = ?             a) 625
ii) 8² + 15² = ?          b) 169
iii) 7² + 24² = ?         c) 100
iv) 5² + 12² = ?         d) 289
1) i-c, ii-d, iii-a, iv-b         2) i-c, ii-b, iii-a, iv-d
3) i-c, ii-b, iii-a, iv-d         4) i-d, ii-c, iii-b, iv-a 
 

6. కిందివాటిలో పైథాగరియన్‌ త్రికం కానిది ఏది?
1) (3, 4, 5)                2) (10, 12, 13)
3) (10, 24, 26)            4) (9, 12, 15) 

8. నాలుగు అంకెల అతి పెద్ద పరిపూర్ణ వర్గసంఖ్యకు, మూడంకెల అతి పెద్ద పరిపూర్ణ వర్గసంఖ్యకు మధ్య భేదమెంత?
1) 15           2) 21         3) 18         4) 24 
 

సమాధానాలు: 1-4;  2-1; 3-2; 4-3; 5-2; 6-2; 7-3; 8-1.