క్షేత్రగణితం

 కొన్ని ముఖ్యమైన సూత్రాలు

కింది కొన్ని సమస్యలు గమనించండి:


* సమబాహు త్రిభుజం: సమబాహు త్రిభుజం భుజం
'a' అయితే దాని వైశాల్యం = 

సమబాహు త్రిభుజం ఎత్తు (h) =  ;
చుట్టుకొలత = 3a
 

* లంబకోణ త్రిభుజం: లంబకోణ త్రిభుజ వైశాల్యం
=  × లంబకోణం కలిగిన భుజాల లబ్ధం
 

* చతుర్భుజం: చతుర్భుజం వైశాల్యం
= 

 × d × (h₁ + h₂) (లేదా)  × కర్ణం × (కర్ణంపైకి గీసిన లంబాల మొత్తం)
* సమాంతర చతుర్భుజం: సమాంతర చతుర్భుజ వైశాల్యం = b × h (లేదా) భూమి × ఎత్తు

* ట్రెపీజియం: ట్రెపీజియం (సమలంబ చతుర్భుజం)
వైశాల్యం =  (a + b) × h        

 (లేదా)
= 

 × సమాంతర భుజాల మొత్తం × సమాంతర భుజాల మధ్య దూరం

* రాంబస్: రాంబస్ (సమచతుర్భుజం) వైశాల్యం
=  × d₁ × d₂ (లేదా)  × కర్ణాల లబ్ధం

* వృత్తం: వృత్తవ్యాసార్ధం r అయితే వృత్త పరిధి
  (c) = 2 π r
వృత్తవ్యాసార్ధం r అయితే వైశాల్యం (A) = π r2

రేఖా గణితం - చతుర్భుజాలు

చతుర్భుజం: నాలుగు భుజాలు, నాలుగు కోణాలు, నాలుగు శీర్షాలు ఉండే సంవృత పటాన్ని చతుర్భుజం అంటారు.

లు భుజాలు.  A, B, C, D  లు శీర్షాలు. 

లు కోణాలు.

*  చతుర్భుజంలో ఎదురెదురు శీర్షాలను కలిపే రేఖాఖండాలను కర్ణాలు అంటారు.

పై పటంలో

లు కర్ణాలు.

* ఉమ్మడి శీర్షం ఉండే రెండు భుజాలను ఆసన్న భుజాలు (లేదా) పక్కపక్క భుజాలు అంటారు.
పై పటంలో

 పక్కపక్క భుజాలు 

*  ఉమ్మడి భుజం ఉండే రెండు కోణాలను పక్కపక్క కోణాలు లేదా ఆసన్న కోణాలు అంటారు.

పై పటంలో లు ఆసన్న కోణాలు, అలాగే లు  కూడా ఆసన్న కోణాలే.

*  చతుర్భుజంలో 4 కోణాల మొత్తం  360⁰ కు సమానం. లేదా 4 లంబకోణాలు.

*  చతుర్భుజంలో బాహ్యకోణాల మొత్తం కూడా 360⁰ లకు సమానం.

*  చతుర్భుజంలో కర్ణం చతుర్భుజాన్ని రెండు త్రిభుజాలుగా విభజిస్తుంది.

* ABCD చతుర్భుజం చుట్టుకొలత = .యూ.

* చతుర్భుజ వైశాల్యం = 1/2 d(h₁+h₁)చ.యూ.

d= కర్ణం

h_1, h₁ = ఆ కర్ణంపైకి గీసిన లంబాల పొడవులు

చతుర్భుజాల్లో రకాలు:

1)  సమలంబ చతుర్భుజం (ట్రెపీజియం)

2)  సమాంతర చతుర్భుజం

3)  దీర్ఘచతురస్రం

4) సమ చతుర్భుజం (రాంబస్‌)

5) చతురస్రం

6) గాలిపటం (kite)

*  చతుర్భుజంలో ఒక జత ఎదురు భుజాలు సమాంతరంగా ఉంటే ఆ చతుర్భుజాన్ని సమలంబ చతుర్భుజం అంటారు.(బాణం గుర్తులు సమాంతర రేఖలను సూచిస్తాయి)

* రెండు జతల ఎదురెదురు భుజాలు సమాంతరంగా ఉండే చతుర్భుజమే సమాంతర చతుర్భుజం.

* సమాంతర చతుర్భుజంలో ఆసన్న భుజాలు సమానమైతే ఆ చతుర్భుజాన్ని సమచతుర్భుజం (రాంబస్‌) అంటారు.

* సమాంతర చతుర్భుజంలో ప్రతీకోణం 90⁰అయితే ఆ చతుర్భుజాన్ని దీర్ఘ చతురస్రం అంటారు.

* చతుర్భుజంలో భుజాలన్నీ సమానంగా ఉంటూ, ప్రతి కోణం 90⁰అయితే ఆ చతుర్భుజాన్ని చతురస్రం అంటారు. (లేదా)

దీర్ఘచతురస్రంలో ఆసన్న భుజాలు సమానంగా ఉంటే ఆ చతుర్భుజాన్ని ‘చతురస్రం’ అంటారు. (లేదా)

సమ చతుర్భుజం (రాంబస్‌)లో ప్రతి కోణం 90⁰ అయితే ఆ చతుర్భుజాన్ని ‘చతురస్రం’ అంటారు.

* గాలిపటం: చతుర్భుజంలో రెండు ఆసన్న భుజాల జతలు సమానం అయితే ఆ చతుర్భుజాన్ని గాలిపటం అంటారు. (సమాన కొలతలుండే భుజాల జతలు రెండు వేర్వేరుగా, ఆసన్న భుజాలుగా ఉంటాయి.)  AB = AD, BC = CD

* చతుర్భుజం నిర్మించేందుకు కావలసిన కనీస కొలతల సంఖ్య = 5

*  సమలంబ చతుర్భుజం (ట్రెపీజియం) నిర్మించేందుకు కావలసిన కనీస కొలతల సంఖ్య = 4

* సమాంతర చతుర్భుజం నిర్మించేందుకు కావలసిన కనీస కొలతల సంఖ్య = 3

*  దీర్ఘ చతురస్రం, సమచతుర్భుజాలను నిర్మించేందుకు అవసరమైన కనీస కొలతల సంఖ్య = 2

*  చతురస్రాన్ని నిర్మించేందుకు కావలసిన కనీస కొలతల సంఖ్య = 1

 త్రిభుజాలు

* త్రిభుజ వైశాల్యం ( A )= 1/2 * భూమి(b) * ఎత్తు( h) చదరపు యూనిట్లు

                           (లేదా)
    

* త్రిభుజ చుట్టుకొలత ( p) = a + b + c యూనిట్లు (a, b, c) లు త్రిభుజ భుజాలు

* సమబాహు త్రిభుజం: సమబాహు త్రిభుజం భుజం
'a' అయితే దాని వైశాల్యం = 
సమబాహు త్రిభుజం ఎత్తు (h) =  ;
చుట్టుకొలత = 3a

మాదిరి సమస్యలు

1.∆ABC ఒక సమబాహు త్రిభుజం, G గురుత్వకేంద్రం. AB = 10 సెం.మీ. అయితే, AG పొడవు ఎంత?
 

సాధన: .∆ABC ఒక సమబాహు త్రిభుజం.AB = 10 సెం.మీ. సమబాహు త్రిభుజంలో ఉన్నతి, మధ్యగత రేఖ ఏకీభవిస్తాయి.

   AD = ఉన్నతి = మధ్యగతరేఖ

సమబాహు త్రిభుజం ఎత్తు (h) = 

 ;                 
      
                                                                   సమాధానం: 2

 

2. ఒక త్రిభుజ భుజాలు వరుసగా 12  సెం.మీ., 16  సెం.మీ., 20 సెం.మీ. అయితే ఆ త్రిభుజ వైశాల్యం? (చ.సెం.మీలలో)

1) 64     2) 81     3) 96     4) 112

సాధన: త్రిభుజ భుజాలు వరుసగా  a = 12 సెం.మీ., b = 16 సెం.మీ., c = 20 సెం.మీ.

=> 12² + 16² = 20²  కాబట్టి

12 సెం.మీ., 16 సెం.మీ., 20 సెం.మీ. కొలతలు ఉన్న త్రిభుజం లంబకోణ త్రిభుజం అవుతుంది. ఆ భుజాల్లో 20 సెం.మీ. కొలతగా ఉన్న భుజం కర్ణం అవుతుంది.

∴ లంబకోణ త్రిభుజ వైశాల్యం =   × లంబకోణం కలిగిన భుజాల లబ్ధం   =>   1/2 *12 సెం.మీ. * 16 సెం.మీ.

= 6 *16 చ.సెం.మీ.   = 96 చ.సెం.మీ.

                                                    సమాధానం: 3

3. ∆ABC ఒక త్రిభుజం, G గురుత్వ కేంద్రం. ∆ABC వైశాల్యం 48 సెం.మీ^.2 అయితే ∆BGC   వైశాల్యం ఎంత? (సెం.మీ^.2 లలో)

1) 16      2) 24    3) 12       4) 18

సాధన: ∆ABC ఒక త్రిభుజం. G గురుత్వ కేంద్రం, ∆ABC వైశాల్యం = 48 సెం.మీ.²

       ∆BGC  వైశాల్యం = 1/3 *  ∆BGC వైశాల్యం = 1/3 * 48 సెం.మీ^.2  = 16 సెం.మీ^.2

                                                     సమాధానం: 1

4. ఒక సమబాహు త్రిభుజంలో భుజం పొడవును 1 మీ. పెంచితే, దాని వైశాల్యం చ.మీ.పెరుగుతుంది. అయితే ఆ సమబాహు త్రిభుజ భుజం? (మీ.లలో)
             

                                                           సమాధానం: 4

5. ఒక సమబాహు త్రిభుజ ఉన్నతి 5 సెం.మీ. అయితే త్రిభుజ వైశాల్యం ఎంత? (చ.సెం.మీ.లలో)

సాధన: సమబాహు త్రిభుజ భుజం = a అనుకోండి.  ఉన్నతి (h) = 5 సెం.మీ.

 

                                                                  సమాధానం: 2

6. సంఖ్యాత్మకంగా ఒక సమబాహు త్రిభుజ చుట్టుకొలత, దాని వైశాల్యానికి ఒౌ3 రెట్లు ఉంటే ఆ సమబాహు త్రిభుజ భుజం పొడవు? (యూనిట్లలో)

1) 2       2)  3      3) 4       4)  6

సాధన: సమబాహు త్రిభుజ భుజం పొడవు = a యూనిట్లు

లెక్కప్రకారం, చుట్టుకొలత = 

*  వైశాల్యం

                 
                                        సమాధానం: 3

7. 3 : 4 : 5 నిష్పత్తిలో భుజాలు ఉన్న ఒక త్రిభుజ వైశాల్యం 72 చదరపు యూనిట్లు. ఈ త్రిభుజ చుట్టుకొలతతో సమాన చుట్టుకొలత కలిగిన సమబాహు త్రిభుజ వైశాల్యం ఎంత? (చ.యూ.లలో)

సాధన: త్రిభుజ భుజాల నిష్పత్తి = 3 : 4 : 5 . ఆ త్రిభుజ భుజాలు = 3x, 4x, 5x అనుకోండి.

                                                              సమాధానం: 2

8. ఒక సమబాహు త్రిభుజం మధ్యగతం సెం.మీ. అయితే ఆ త్రిభుజ చుట్టుకొలత? (సెం.మీ.లలో)

1)  32     2) 24     3) 72     4) 36

సాధన: సమబాహు త్రిభుజ భుజం = a అనుకోండి.

 

                                                           సమాధానం: 4

9. ఒక సమబాహు త్రిభుజ పరివృత్త, అంతరవృత్త   వైశాల్యాల నిష్పత్తి? 

1) 4 : 1   2) 2 : 1   3)  3 : 1   4) 4 : 3

సాధన: ఒక సమబాహు త్రిభుజ భుజం = a  అనుకోండి.

      

అభ్యాస ప్రశ్నలు

1. ∆ABC ఒక సమబాహు త్రిభుజం, G గురుత్వకేంద్రం. AG =

 సెం.మీ. అయితే ఆ సమబాహు త్రిభుజ వైశాల్యం? (చ.సెం.మీలలో)

2. ఒక సమబాహు త్రిభుజ వైశాల్యం 144

  చ.సెం.మీ. అయితే, దాని ఉన్నతి (సెం.మీ.లలో)

3. ఒక త్రిభుజ భుజాలు 8 : 15 : 17 నిష్పత్తిలో ఉన్నాయి. ఆ త్రిభుజ వైశాల్యం 240 చ.సెం.మీ. అయితే, దాని చుట్టుకొలత ఎంత? (సెం.మీ.లలో)

1) 80    2) 60    3)  120    4)  100

4. ఒక త్రిభుజ భుజాలు వరుసగా 9 సెం.మీ., 12 సెం.మీ, 15 సెం.మీ. 15 సెంటీమీటర్ల భుజం మీదికి గీసిన లంబం పొడవు ఎంత?(సెం.మీలలో) 

1)  6.2     2) 6.4    3)  6.8    4) 7.2

5. ఒక సమబాహు త్రిభుజం అంతరంలో ఉన్న బిందువు నుంచి దాని భుజాల పైకి గీసిన లంబాలు వరుసగా 4

సెం.మీ., 5 సెం.మీ. 6సెం.మీ. అయితే ఆ సమబాహు త్రిభుజ భుజం పొడవెంత? (సెం.మీ.లలో)

1)  25    2) 30    3) 40    4) 20

6. ఒక సమబాహు త్రిభుజ భుజం పొడవు 6

  సెం.మీ. అయితే ఆ సమబాహు త్రిభుజ పరివృత్త వ్యాసార్ధం పొడవు ఎంత? (సెం.మీ.లలో)

1)  6       2)  4       3) 3     4) 2

7. ఒక సమబాహు త్రిభుజం ఒక వృత్తంలో అంతర్లిఖించి ఉన్నట్లయితే ఆ వృత్త వ్యాసార్ధం, త్రిభుజ  ఉన్నతుల నిష్పత్తి?

1) 4 : 3     2) 3 : 4     3) 2 : 3     4) 3 : 2

సమాధానాలు

1) 2    2) 3    3) 1    4) 4    5) 2    6) 1    7) 3