నిశ్చల నీరు (Still water): నదిలో నీటి వేగం సున్నా(0) అయితే ఆ నీటిని ‘నిశ్చల నీరు’ అంటారు.
ప్రవాహి (Stream): నదిలో నీరు ప్రవహిస్తూ ఉంటే ఆ నీటిని ‘ప్రవాహి’ అంటారు.
పడవ వేగం (Speed of Boat): నిశ్చల నీటిలో పడవ ప్రయాణించే వేగాన్ని ‘పడవ వేగం’ అంటారు. అంటే సమస్యలో పడవ వేగం ఇచ్చినప్పుడు దాన్ని నిశ్చల నీటిలో వేగంగా పరిగణించాలి.
* నిశ్చల నీటిలో పడవ వేగం x, ప్రవాహి వేగం y అయితే,
i) ప్రవాహానికి వాలుగా ప్రయాణించేటప్పుడు పడవ వేగం = x + y
ii) ప్రవాహానికి ఎదురుగా ప్రయాణించేటప్పుడు పడవ వేగం = x - y
* ప్రవాహానికి వాలుగా ప్రయాణిస్తున్నప్పుడు పడవ వేగం U, ప్రవాహానికి ఎదురుగా ప్రయాణిస్తున్నప్పుడు పడవ వేగం V అయితే,
i) నిశ్చల నీటిలో పడవ వేగం = 1/2 (U + V)
ii) ప్రవాహ నీటిలో పడవ వేగం = 1/2 (U - V)
మాదిరి సమస్యలు
1. ఒక పడవ ప్రవాహానికి ఎదురుగా (అభిముఖంగా) ప్రయాణిస్తూ 24 కి.మీ. దూరాన్ని 6 గంటల్లో, తర్వాత ప్రవాహానికి వాలుగా ప్రయాణిస్తూ 20 కి.మీ. దూరాన్ని 4 గంటల్లో ప్రయాణిస్తే నిశ్చల నీటిలో పడవ, ప్రవాహ వేగాలు వరుసగా?(కి.మీ/గంటల్లో)
1) 4; 3 2) 4.5; 0.5 3) 4; 2 4) 5; 2
సాధన: ప్రవాహానికి అభిముఖంగా పడవ ప్రయాణించిన దూరం = 24 కి.మీ.
ప్రయాణించిన కాలం = 6 గం.
ప్రవాహానికి అభిముఖంగా పడవ వేగం V = 24/6 కి.మీ./గం. = 4 కి.మీ./గం.
ప్రవాహానికి వాలుగా పడవ ప్రయాణించిన దూరం = 20 కి.మీ.
ప్రయాణించిన కాలం = 4 గం.
ప్రవాహానికి వాలుగా పడవ వేగం (U) = 20/4 కి.మీ./గం. = 5 కి.మీ./గం.
నిశ్చల నీటిలో పడవ వేగం = 1/2 (U + V)
2. ఒక నదిలోని నీరు 4 కి.మీ./గం. వేగంతో ప్రయాణిస్తోంది. ఆ నీటిలో ఒక పడవ 6 కి.మీ.ల దూరాన్ని ప్రవాహానికి ఎదురుగా ప్రయాణించి తిరిగి గమ్యస్థానాన్ని చేరేందుకు 2 గం. సమయం పట్టింది. అయితే నిశ్చల నీటిలో పడవ వేగం ఎంత?
1) 6 కి.మీ./గం. 2) 7.5 కి.మీ./గం. 3) 8 కి.మీ./గం. 4) 9 కి.మీ./గం.
సాధన: నిశ్చల నీటిలో పడవ వేగం = x అనుకోండి.
ప్రవాహి వేగం = 4 కి.మీ./గం.
ప్రవాహానికి ఎదురుగా ప్రయాణించేటప్పుడు పడవ వేగం = x - 4 కి.మీ./గం.
ప్రవాహానికి వాలుగా ప్రయాణించేటప్పుడు పడవ వేగం = x + 4 కి.మీ./గం.
ప్రవాహానికి ఎదురుగా ప్రయాణించేటప్పుడు పట్టిన
ప్రవాహానికి వాలుగా ప్రయాణించేటప్పుడు పట్టిన కాలం
⇒ 6x + 24 + 6x - 24 = 2(x2 - 16)
⇒ 12x = 2(x2 - 16)
⇒ 6x = x2 - 16
⇒ x2 - 6x - 16 = 0
⇒ x2 - 8x + 2x - 16 = 0
⇒ x(x − 8) + 2(x - 8) = 0
⇒ (x - 8) (x + 2) = 0
⇒ x - 8 = 0 లేదా x + 2 = 0
⇒ x = 8 లేదా x = - 2
∴ x = 8 కి.మీ./గం.
(పడవ వేగం రుణాత్మక విలువను సూచించదు.)
సమాధానం: 3
3. ఒక నావికుడు(Sailor) ప్రవాహానికి వాలుగా ప్రయాణిస్తూ 12 కి.మీ. దూరాన్ని 48 నిమిషాల్లో, అంతే దూరాన్ని ప్రవాహానికి ఎదురుగా వెళ్తూ 1 గం.20 నిమిషాల్లో చేరాడు. అయితే నిశ్చల నీటిలో ఆ నావికుడి వేగం ఎంత? (కి.మీ./గంటల్లో)
1) 12 2) 18 3) 24 4) 36
సాధన: నిశ్చల నీటిలో నావికుడి వేగం = x కి.మీ./గం.
ప్రవాహి వేగం = y కి.మీ./గం.
ప్రవాహానికి వాలుగా ప్రయాణించేటప్పుడు నావికుడి వేగం = x + y కి.మీ./గం.
ప్రవాహానికి వాలుగా 12 కి.మీ దూరాన్ని (x + y) కి.మీ./గం. వేగంతో ప్రయాణించేందుకు పట్టిన కాలం = 48 ని.
⇒ x + y = 15 ......(1)
ప్రవాహానికి ఎదురుగా ప్రయాణించేటప్పుడు నావికుడి వేగం = y కి.మీ./గం.
ప్రవాహానికి ఎదురుగా 12 కి.మీ. దూరాన్ని (x + y) కి.మీ./గం. వేగంతో ప్రయాణించేందుకు పట్టిన కాలం = 1గం. 20 ని.
నిశ్చల నీటిలో నావికుడి వేగం = 12 కి.మీ./గం.
సమాధానం: 1
4. ఒక పడవ ప్రవాహానికి ఎదురుగా (అభిముఖంగా) ప్రయాణిస్తున్నప్పుడు దాని వేగం 12 కి.మీ./గం. ప్రవాహానికి వాలుగా ప్రయాణిస్తున్నప్పుడు వేగం 18 కి.మీ/గం. అయితే నిశ్చల నీటిలో పడవ వేగం ఎంత?
1) 16 కి.మీ./గం. 2) 15 కి.మీ./గం. 3) 14 కి.మీ./గం. 4) 9 కి.మీ./గం.
సాధన: నిశ్చల నీటిలో పడవ వేగం = x కి.మీ./గం. అనుకోండి.
ప్రవాహి వేగం = v కి.మీ./గం. అనుకోండి.
ప్రవాహానికి అభిముఖంగా ప్రయాణిస్తున్నప్పుడు పడవ వేగం = x - v
⇒ x − v = 12 కి.మీ./గం ..........(1)
ప్రవాహానికి వాలుగా ప్రయాణించేటప్పుడు పడవ వేగం = x + v
⇒ x + v = 18 కి.మీ/గం. ..............(2)
(1) + (2) x − v + x + v = 12 + 18; 2x = 30
x = 30/2 = 15 కి.మీ./గం.
= 1/2 (18 + 12) = 1/2 (30)
సంక్షిప్త పద్ధతి:
నిశ్చల నీటిలో పడవ వేగం = 1/2 (ప్రవాహానికి అభిముఖంగా ప్రయాణిస్తున్నప్పుడు పడవ వేగం + ప్రవాహానికి వాలుగా ప్రయాణిస్తున్నప్పుడు పడవ వేగం)
= 15 కి.మీ./గం.
సమాధానం: 2
5. ఒక మనిషి నది ప్రవాహానికి అభిముఖంగా 750 మీటర్ల దూరాన్ని 675 సెకన్లలో ప్రయాణించాడు. తిరిగి ప్రవాహానికి వాలుగా 7 1/2
అంతే దూరాన్ని నిమిషాల్లో ప్రయాణిస్తే నిశ్చల నీటిలో అతడి వేగం ఎంత? (కి.మీ./గంటల్లో)
1) 3 2) 4 3) 5 4) 6
సాధన: దూరం = 750 మీ.
ప్రవాహానికి అభిముఖంగా మనిషి ప్రయాణించడానికి పట్టిన సమయం (t1) = 675 సెకన్లు
ప్రవాహానికి వాలుగా మనిషి ప్రయాణించడానికి పట్టిన
1/2 x 10 = 5 కి.మీ./గం.
సమాధానం: 3
6. ఒక పడవ నది ప్రవాహానికి అభిముఖంగా 12 కి.మీ. దూరాన్ని, వాలుగా 18 కి.మీ. దూరాన్ని 3 గంటల్లో ప్రయాణించింది. అదే పడవ నది ప్రవాహానికి అభిముఖంగా 36 కి.మీ. దూరాన్ని, వాలుగా 24 కి.మీ. దూరాన్ని 6 1/2 గంటల్లో ప్రయాణించింది. అయితే ఆ నది ప్రవాహి వేగం ఎంత? (కి.మీ./గంటల్లో)
1) 1.5 2) 1 3) 2 4) 2.5
సాధన: నిశ్చల నీటిలో పడవ వేగం = x కి.మీ./గం. అనుకోండి.
ప్రవాహి వేగం = y కి.మీ./గం. అనుకోండి.
దత్తాంశం ప్రకారం