ముఖ్యాంశాలు
1, 2, 3, 4... లను లెక్కించడానికి ఉపయోగిస్తారు. కాబట్టి ఈ సంఖ్యలను లెక్కించే సంఖ్యలు (Counting numbers) అంటారు. వీటినే సహజ సంఖ్యలు (Natural numbers) అని కూడా అంటారు.
సహజ సంఖ్య సమితిని N తో సూచిస్తారు.
N = {1, 2, 3, 4...}
0 తో ఉన్న సహజ సంఖ్యలను పూర్ణాంకాలు అంటారు.
పూర్ణాంకాల సమితిని W తో సూచిస్తారు.
W = {0, 1, 2, 3, 4...}
పూర్ణసంఖ్యలు: ధన సంఖ్యలు, రుణ సంఖ్యలు, సున్నాను (0) కలిగి ఉన్న సమితిని పూర్ణసంఖ్యల సమితి అంటారు. దీన్ని Z లేదా I తో సూచిస్తారు.
Z = {.... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3....}
ధన పూర్ణ సంఖ్యలు: 1, 2, 3, 4... అనే సహజ సంఖ్యలను ధనపూర్ణ సంఖ్యలు అంటారు. వీటిని Z+ లేదా I+ తో సూచిస్తారు.
Z+ = {1, 2, 3, 4...} = N = ధన పూర్ణ సంఖ్యల సమితి
రుణ పూర్ణ సంఖ్యలు: -1, -2, -3, -4... లను రుణపూర్ణ సంఖ్యలు అంటారు. వీటిని Z- లేదా I- తో సూచిస్తారు.
Z- = {-1, -2, -3, -4...}
0 అనేది ధనాత్మకం, రుణాత్మకం రెండూ కాదు.
{0, 1, 2, 3, 4...} అనే సమితిని రుణేతర పూర్ణ సంఖ్యలు (Set of non-negative integers) అంటారు.
{-0, -1, -2, -3, -4...} అనే సమితిని ధనేతర పూర్ణ సంఖ్యలు (Set of non-positive integers) అంటారు.
మాదిరి ప్రశ్నలు
1. కింది అంశాలను జతపరచండి.
i) 97 + 39 | a) −58 |
ii) 97 + (−39) | b) −136 |
iii) (−97) + 39 | c) 136 |
iv) (−97) + (−39) | d) 58 |
1) i-c, ii-a, iii-d, iv-b
2) i-c, ii-d, iii-a, iv-b
3) i-d, ii-c, iii-b, iv-a
4) i-d, ii-b, iii-c, iv-a
సాధన: i) 97 + 39 = 136 = c
ii) 97 + (−39) = 97 − 39 = 58 = d
iii) (−97) + 39 = −97 + 39 = −58 = a
iv) (−97) + (−39) = −97 − 39 = − 136 = b
సమాధానం: 2
2. 50 − (−48) − (−2) −120 ను సూక్ష్మీకరిస్తే వచ్చే విలువకు సమానమైన విలువ.....
1) 40 2) 30 3) 20 4)10
సాధన: 50 − (−48) − (−2) − 120
= 50 + 48 + 2 − 120
= 100 − 120 = −20
సమాధానం: 3
3. 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + ... + 99 − 100 = ...
1) 50 2) 100 3) 50 4) 100
సాధన: 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + ... + 99 − 100 =
= (1 − 2) + (3 − 4) + (5 − 6) + ... + (99 − 100)
= (−1) + (−1) + (−1) + ... + (−1) (50 సార్లు)
= 50 × (−1) = −50
సమాధానం: 1
4. ఒక పరీక్షలో ప్రతి సరైన జవాబుకు (+4) మార్కులు, తప్పు సమాధానానికి (-2) మార్కులు ఇచ్చారు. సౌమ్య అన్ని ప్రశ్నలకు జవాబులు రాస్తే, 32 కరెక్ట్ అయ్యాయి. ఆమెకు వచ్చిన మార్కులు 102 అయితే సౌమ్య పరీక్షలో తప్పుగా గుర్తించిన జవాబులు ఎన్ని?
1) 15 2) 14 3) 13 4) 12
సాధన: ప్రతి సరైన జవాబుకు పొందే మార్కులు = +4
తప్పు జవాబుకు పొందే మార్కులు = -2
సరైన జవాబులు రాసిన ప్రశ్నల సంఖ్య = 32
తప్పు జవాబులు రాసిన ప్రశ్నల సంఖ్య = X అనుకోండి
సౌమ్య పొందిన మార్కులు = 102
⇒ 32 x (+4) + X x (−2) = 102
⇒ 128 − 2X = 102
⇒ 128 − 102 = 2X
⇒ 2X = 26
⇒ X = 26/2 = 13
తప్పుగా జవాబులు రాసిన ప్రశ్నల సంఖ్య = 13
సమాధానం: 3
5. కశ్మీర్లో మధ్యాహ్నం 12 గంటల సమయంలో 12o C ఉష్ణోగ్రత ఉన్నట్లు గుర్తించారు. ఉష్ణోగ్రత ప్రతి గంటకు 1.2o C చొప్పున తగ్గుతూ ఉంటే ఎన్ని గంటలకు ఉష్ణోగ్రత 0oC కంటే 6oC తక్కువగా ఉంటుంది?
1) 10 pm 2) 11 pm 3) 2 am 4) 3 am
సాధన: కశ్మీర్లో మధ్యాహ్నం 12 గంటల సమయంలో ఉష్ణోగ్రత = 12o C
X గంటల తర్వాత ఉష్ణోగ్రత = 0oC కంటే 6oC తక్కువ
⇒ 12 − x × 1.2 = −6
⇒ 12 + 6 = x × 1.2 Þ 18 = 1.2x
సమయం = మధ్యాహ్నం 12 గం. + 15 గంటలు
= ఉదయం 3 గం. = 3.00 am
సమాధానం: 4
6. కిందివాటిలో పూర్ణసంఖ్యల్లో సంకలన స్థిత్యంతర ధర్మం ఏది?
1) 13 + 0 = 0 + 13 = 13
2) (10 + 12) + 13 = 10 + (12 + 13)
3) 5 × (6 + 7) = 5 × 6 + 5 × 7
4) 13 + 17 = 17 + 13
సాధన:
1) 13 + 0 = 0 + 13 = 13 (సంకలన తత్సమ ధర్మం)
2) (10 + 12) + 13 = 10 + (12 + 13) (సంకలన సహచర ధర్మం)
3) 5 × (6 + 7) = 5 × 6 + 5 × 7 (గుణకార విభాగన్యాయం సంకలనంపై)
4) 13 + 17 = 17 + 13 (సంకలన స్థిత్యంతర ధర్మం)
సమాధానం: 4
7. ఒక సిమెంట్ కంపెనీకి ఒక్కో తెల్లబస్తా సిమెంట్పై రూ.11 లాభం, బూడిద రంగు బస్తాపై రూ.7 నష్టం చొప్పున వచ్చాయి. ఒక నెలలో 8000 తెల్ల సిమెంట్ బస్తాలు, 6000 బూడిద రంగు సిమెంట్ బస్తాలు అమ్మితే, ఆ నెలలో పొందిన లాభ నష్టాలు ఎంత?
1) రూ.46,000 లాభం 2) రూ.48,000 లాభం
3) రూ.44,000 నష్టం 4) రూ.38,000 నష్టం
సాధన: ఒక్కో తెల్ల సిమెంట్ బస్తాపై లభించే లాభం = రూ.11
8000 తెల్ల బస్తాల సిమెంట్పై లభించిన లాభం = రూ.8000 x 11 = రూ.88,000
ఒక్కో బూడిదరంగు సిమెంట్ బస్తాపై వచ్చే నష్టం = రూ.7
6000 బూడిద రంగు సిమెంట్ బస్తాలపై వచ్చిన నష్టం = రూ.6000 x 7 = రూ.42,000
లభించిన లాభం > లభించిన నష్టం
(రూ.88000) (రూ.42000)
సిమెంట్ కంపెనీ నికర లాభం
= రూ.88000 - రూ.42000 = రూ.46000
సంక్షిప్త పద్ధతి:
సిమెంట్ కంపెనీ నెలలో పొందిన నికర ఆదాయం
= 8000 × (+11) + 6000 × (−7)
= 88000 - 42000
= రూ.46000 (ధనాత్మకం కాబట్టి లాభం వచ్చింది)
సిమెంట్ కంపెనీ నికర లాభం = రూ.46000
సమాధానం: 1
9. ఒక దుకాణదారుడు ఒక పెన్ను అమ్మకంపై రూ.1 లాభం, ఒక పెన్సిల్ అమ్మకంపై 35 పైసల నష్టం పొందుతాడు. ఒకరోజు ఎలాంటి లాభం కానీ నష్టంకానీ రాలేదు. ఆ రోజు అమ్మిన పెన్నులు 70 అయితే, అతడు ఎన్ని పెన్సిళ్లు విక్రయించినట్లు?
1) 150 2) 175 3) 200 4) 225
సాధన: వ్యాపారి ఆ రోజు అమ్మిన పెన్సిళ్ల సంఖ్య = X అనుకోండి.
దత్తాంశం ప్రకారం, పెన్నుల అమ్మకం ద్వారా లభించిన లాభం = పెన్సిళ్ల అమ్మకం ద్వారా వచ్చిన నష్టం
⇒ 70 × రూ.-1 = x × 35 పైసలు
⇒ రూ. 70 × 35 x పైసలు
⇒ 70 × 100 పైసలు = 35x పైసలు
సమాధానం: 3
10. 968 x 73 + 968 x 27 విలువ ఎంత?
1) 96600 2) 96800 3) 96900 4) 97800
సాధన: 968 x 73 + 968 x 27 =
= 968 x (73 + 27)
= 968 x 100 = 96800
సమాధానం: 2
పూర్ణ సంఖ్యల్లో సంకలన ధర్మాలు
1) సంవృత ధర్మం: a, b లు ఏవైనా రెండు పూర్ణ సంఖ్యలు అయితే a+b కూడా పూర్ణసంఖ్య అవుతుంది.
2) స్థిత్యంతర ధర్మం (వినిమయ న్యాయం): a, b లు ఏదైనా రెండు పూర్ణ సంఖ్యలు అయితే a + b = b + a అవుతుంది.
3) సహచర ధర్మం: a, b, c లు ఏవైనా మూడు పూర్ణసంఖ్యలైతే (a + b) + c = a + (b + c)అవుతుంది.
4) సంకలన తత్సమాంశం: a ఏదైనా పూర్ణసంఖ్య అయితే a + 0 = 0 + a = a
* ‘0’ ను పూర్ణసంఖ్యల్లో సంకలన తత్సమాంశం అంటారు.
5) సంకలన విలోమం: a ఒక పూర్ణ సంఖ్య అయితే a + (−a) = 0 అయ్యేట్లు (−a) అనే పూర్ణ సంఖ్య ఉంటుంది.
* a, (−a) లు ఒకదానికొకటి సంకలన విలోమాలు
పూర్ణసంఖ్యలో గుణకార ధర్మాలు
1) సంవృత ధర్మం: a, bలు ఏవైనా పూర్ణసంఖ్యలు అయితే a × b కూడా పూర్ణసంఖ్యే.
2) స్థిత్యంతర ధర్మం (వినిమయ న్యాయం): a, b లు ఏవైనా రెండు పూర్ణ సంఖ్యలైతే a × b = b × a
3) సహచర ధర్మం: a, b, c లు ఏవైనా మూడు పూర్ణ సంఖ్యలైతే(a × b) × c = a × (b × c)
4) గుణకార తత్సమాంశం: a ఒక పూర్ణ సంఖ్య అయితే a × 1 = 1 × a = a
* 1ని పూర్ణ సంఖ్యల్లో గుణకార తత్సమాంశం అంటారు.
5) విభాగ న్యాయం: a, b, c లు ఏవైనా మూడు పూర్ణ సంఖ్యలు అయితే
a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
పూర్ణ సంఖ్యల్లో గుణకారం సంకలనంపై విభాగ న్యాయం పాటిస్తుంది.
అభ్యాస ప్రశ్నలు
1. కిందివాటిలో పూర్ణ సంఖ్యల్లో గుణకార తత్సమాంశం....
1) 0 2) 1 3) 2 4) 10
జ: 1
2. - 168 సంకలన విలోమం....
1) 168 2) -168 3) 1 4) 0
జ: 168
3. కిందివాటిలో ఏది అసత్యం?
1) a, b ∈ z, a + b = b + a
2) a, b ∈ z, a × b = b × a
3) a, b ∈ z, a ÷ b = b ÷ a
4) a, b, c ∈ z, a × (b + c)
= (a × b) + (a × c)
జ: a, b ∈ z, a ÷ b = b ÷ a
4. 143 x 127 - 143 x 27 = ......
జ: 14300
5. 2 + (−2) + 2 + (−2) + ...... (125 సంఖ్యలు)=
జ: 2
6. కిందివాటిలో ఏది సత్యం?
1) -16 < - 17 2) -16 = -17
3) -16 > -17 4) పైవన్నీ
జ: -16 > -17