త్రికోణమితి 

 భుజాలు కోణాలతో కచ్చితమైన కొలతలు!
 

 

అక్కడెక్కడో లక్షల కిలోమీటర్ల దూరంలో అంతరిక్షంలో తిరుగుతూ ఉండే చంద్రుడిపైకి అంత కచ్చితంగా రోవర్‌ను ఎలా దింపుతారు? గమ్యం ఎంత దూరమో గూగుల్‌ మ్యాప్‌ వెంటనే ఏవిధంగా చెప్పేస్తోంది? యాభై అంతస్థులు, ఆపై దాటినా కూడా భవన నిర్మాణం సరిగ్గా, స్థిరంగా ఉండటానికి కారణం ఏమిటి? వీటన్నింటిలో గణితం ఉంటుంది. అదే త్రికోణమితి. ప్రతిదాన్ని భుజాలు, కోణాల్లోకి మార్చి వాటి మధ్య సమన్వయాన్ని లెక్క కట్టి ఆశించిన పనులను విజయవంతంగా పూర్తి చేస్తుంది. ఈ ఉన్నతస్థాయి గణిత ప్రక్రియకు సంబంధించిన ప్రాథమిక అంశాలపై పోటీ పరీక్షల్లో ప్రశ్నలు వస్తున్నాయి. వాటిపై అభ్యర్థులు తగిన అవగాహన పెంపొందించుకోవాలి.  

ఒక త్రిభుజంలోని భుజాలు, కోణాల మధ్య సంబంధాన్ని అన్వయనం చేసేదే త్రికోణమితి.

Trigonometry = Tri + gonia + metry (మూడు + కోణాలు + కొలత) 

*  భుజాలు, కోణాల మధ్య సంబంధాన్ని తెలిపినవారు హిప్పోక్రస్‌.  

త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు మూడు

త్రికోణమితీయ విలోమ నిష్పత్తులు మూడు 

 

*    బేసి ప్రమేయాలు 

Sin(−θ) = −Sinθ

Cosec(−θ) = −Cosecθ

Tan(−θ) = −Tanθ

Cot(−θ) = −Cotθ

*    సరి ప్రమేయాలు 

Cos(−θ) = Cosθ

Sec(−θ) = Secθ 

* Sin(90 − θ) = Cosθ

 Sin(90 + θ) = Cosθ

Sin(180 − θ) = Sinθ

Sin(180 + θ) = −Sinθ  

* 90^o, 270^o వద్ద త్రికోణమితి ప్రమేయాలు మారతాయి. 

* 180^o, 360^oవద్ద త్రికోణమితి ప్రమేయాలు మారవు. 

త్రికోణమితి సర్వ సమీకరణాలు 

 1)  Sin²θ+ Cos²θ = 1  

2) Sec²θ− Tan²θ = 1

3) Cosec²θ − Cot²θ = 1

పైథాగరస్‌ త్రికాలు

కర్ణం² = ఎదుటి భుజం²+ఆసన్న భుజం² 

[H² = P² + B²] 

త్రికాలు (Triplets)

 3, 4, 5  

5, 12, 13 

7, 24, 25 

8, 15, 17 

బేసి త్రికాలు 

* బేసి సంఖ్యను వర్గం చేసి రెండుతో భాగిస్తే వచ్చే సంఖ్యకు ముందు, తర్వాత సంఖ్యలు ఆ సంఖ్యతో పైథాగారస్‌ త్రికాలు అవుతాయి. 

సరి త్రికాలు 

సరి సంఖ్యను వర్గం చేసి నాలుగుతో భాగిస్తే వచ్చే సంఖ్యకు ముందు, తర్వాత సంఖ్యలు ఆ సంఖ్యతో పైథాగారస్‌ త్రికాలు అవుతాయి. 

*  3, 4, 5 త్రికాలను - అనే సహజ సంఖ్యతో గుణించగా వచ్చే 3n, 4n, 5n కూడా పైథాగారస్‌ త్రికాలే అవుతాయి. 

ఉదా: * 3, 4, 5 → 6, 8, 10 

                       → 9, 12, 15 

                       → 12, 16, 20 

                       → 30, 40, 50 

*    5, 12, 13 → 10, 24, 26 

                   →15, 36, 39 

                 → 50, 120, 130 

                * Sinx = Cosy 

                Secx = Cosecy 

                Tanx = Cot y 

మాదిరి ప్రశ్నలు

1.  2 Tan²45^o + Cos²30^o - Sin²60^o = 

1) 1       2) 0      3)2          4) 1 

వివరణ: 2 Tan²45^o + Cos²30^o - Sin²60^o

జ: 3

    
                                  1

1) 1    2) 0   3) 1/2     4) 2

Sin²θ + Cos²θ = 1 

Sec²θ − Tan²θ = 1

1/1=1

జ: 1

జ: 4

జ: 3

 

5.  Tan1^o.Tan2^o.Tan3^o ..... Tan88^o Tan89^oవిలువ ఎంత? 

వివరణ: Tanθ.Cotθ = 1 

(Tan1^o.Tan 89^o) (Tan2^o.Tan88^o) ... (Tan45^o) 

Tan1^o.Tan (90 − 1^o) ⇒ Tan1^o.Cot1^o = 1

⇒ 1.1.1 ... 1 = 1 

జ: 3

 

6.     Tan35^o.Tan45^o.Tan55^o విలువ ఎంత?

1)1/2     2) 2    3) 0   4) 1

వివరణ:(Tan35^o.Tan55^o)Tan45^o 

= (Tan35^o.Cot35^o)Tan45^o 

= 1.1 = 1 

జ: 4

7.  Sin²21^o + Sin²69^o = 

1) 1        2) 0      3) 2 Sin²21^o     4) 2 Sin²69^o

వివరణ: Sin²21⁰ + Sin² 69⁰

               Sin²21^o + Sin²(90^o − 21^o) 

           Sin²21^o + Cos²21^o = 1

జ: 1

          
  

వివరణ: Sec⁴θ − Tan⁴θ

= (Sec²θ − Tan²θ)(Sec²θ + Tan²θ)     ( a² − b² = (a + b)(a − b))

    

జ: 1

1) 5     2) 1       3) 3     4) 4 

          

= 5 Cos²θ + 2 Sin²θ + 3 Sin²θ 

= 5(Cos²θ + Sin²θ) = 5(1) = 5

జ: 1

    

జ: 3

11. TanA = CotB అయితే  A + B = 

1) 60^o    2) 90^o   3) 45^o   4) 55^o 

వివరణ: TanA = CotB 

              TanA = Tan(90 − B) 

      A = 90 − B ⇒ A + B = 90^o 

జ: 2

12. Tan2A = Cot(A - 18^o), 2A ఒక అల్ప కోణం అయితే  A విలువ ఎంత? 

1) 32^o    2) 36^o    3) 40^o      4) 44^o 

వివరణ: Tan 2A = Cot(A − 18^o) 

Tan 2A = Tan(90 − (A − 18^o)) 

  2A = 108 − A

  3A = 108 

A = 36^o

జ: 2

     

Cosθ + Sinθ = x  అనుకుందాం

ఇరువైపులా వర్గం చేసి రెండు సమీకరణాలను కలిపితే

(Cosθ − Sinθ )² + (Cosθ + Sinθ )² 

= 2 Sin2θ + x² 

(a + b)² + (a − b)² = 2(a² + b²) 

2(Sin²θ + Cos²θ) = 2 Sin²θ + x² 

2 = 2 Sin²θ + x² 

x² = 2 − 2 Sin²θ = 2(1 − Sin²θ) 

x² = 2 Cos²θ

జ: 2

14. Cosθ - 4Sinθ = 1అయితే Sinθ + 4 Cosθ = 

వివరణ: θ = 0 ను ప్రతిక్షేపిస్తే 

Cosθ − 4 Sinθ = 1 ⇒ θ = 0 తృప్తి పరిస్తే

∴ Sin0^o + 4 cos0^o = 4

జ: 4

15. Sinθ + Sin²θ = 1  అయితే Cos²θ + Cos⁴θ =

వివరణ: Sinθ + Sin²θ = 1 

Sinθ = 1 − Sin²θ 

Sinθ= Cos2θ 

 Cos²θ  + Cos⁴θ  = Sinθ  + Sin²θ  = 1

జ: 3

16.  Sinθ + Sin²θ = 1అయితే  Cos⁸θ + 2 Cos⁶θ + Cos⁴θ = 

వివరణ: Sinθ  = 1 − Sin²θ 

Sinθ  = Cos2θ 

Cos⁸θ + 2 Cos⁶θ + Cos⁴θ

= Sin⁴θ + 2 Sin³θ  + Sin²θ 

= (Sin²θ  + Sinθ )² = 1² = 1 

జ: 3

జ: 1

2Secθ/ 2Tanθ =    8/2

జ: 1
 

జ: 3
 

జ: 2
 

జ: 4

 

22. Tan60^o.Cosec 60^o.Tan45^o విలువ ఎంత?    

1) 5       2) 6        3) 3        4) 2

వివరణ: Tan60^o.Cosec 60^o.Tan45^o

జ: 4

24. 4 Cot²45^o - Sec²60^o + Sin²60^o + Cos²90^o= 

వివరణ: 4 Cot²45^o - Sec²60^o + Sin²60^o + Cos²90^o

జ: 1

25. Sin² 200^o + Sin² 250^o + 2 Sin² 280^o + Sin² 370^o విలువ ఎంత?

1) 2     2) 3      3) 4     4) 6

వివరణ: Sin²(180 + 20) + Sin²(180 + 70) + Sin²(360 − 80) + Sin²(360 + 10^o) 

               = Sin² 20 + (−Sin70)² + (−Sin80)² + (Sin10)² 

              = Sin² 20 + Cos² 20 + Cos² 10 + Sin² 10 

              = 1+1 = 2

జ: 1

జ: 3

27. Tan 9^o = p/q అయితే 

           
జ: 4

28.  3 Sinθ + 5 Cosθ = 5 అయితే 5 Sinθ - 3 Cosθ విలువ ఎంత?

వివరణ:  3 Sinθ + 5 Cosθ = 5 

5 Sinθ − 3 Cosθ = x  అనుకుందాం 

ఇరువైపులా వర్గం చేసి కలపగా

(3Sinθ − 5Cosθ)² + (5Sinθ − 3Cosθ)² 

3²(1) + 5²(1) = 5² + x² 

x² = 9 ⇒ x = + 3

జ: 1

జ: 3

 

30. Sin⁶θ + Cos⁶θ + 3 Sin²θ.Cos²θ విలువ ఎంత?

వివరణ:  θ = 0^o లేదా 90^oని ప్రతిక్షేపిస్తే జవాబు వస్తుంది. 

0 + 1 + 3(0)(1) = 1 

జ: 3

రచయిత: డి.సీహెచ్‌.రాంబాబు