1. p + q = 10, pq = 5 అయితే
1) 22 2) 20 3) 18 4) 16
సాధన: p + q = 10, pq = 5
⇒ (p + q)2 = 102
⇒ p2 + q2 + 2pq = 100
⇒ p2 + q2 + 2(5) = 100
⇒ p2 + q2 = 100 − 10 = 90
⇒ p2 + q2 = 90
సమాధానం: 3
2. a2 + b2 + c2 + 3 = 2(a + b + c) అయితే a+b+c విలువ ఎంత?
1) 3 2) 4 3) 6 4) 8
సాధన: a2 + b2 + c2+ 3 = 2(a + b + c)
⇒ a2 + b2 + c2 + 1 + 1 + 1
= 2a + 2b + 2c
⇒ a2 - 2a + 1 + b2 - 2b + 1 + c2 - 2c + 1 = 0
⇒ (a -1)2 + (b -1)2 + (c - 1)2 = 0
⇒ a - 1 = 0, b - 1 = 0, c - 1 = 0
⇒ a = 1, b = 1, c = 1
ఇప్పుడు, a + b + c = 1 + 1 + 1 = 3
సమాధానం : 1
3. a - b = 2, a3 - b3 = 56 అయితే a2 + b2 విలువ ఎంత?
1) 16 2) 20 3) 24 4) 28
సాధన: a - b = 2, a3 - b3 = 56
a - b = 2 ⇒ (a - b)3 = 23
⇒ a3 - b3 - 3ab (a - b) = 8
⇒ 56 - 3ab(2) = 8
⇒ 56 - 8 = 6ab
⇒ ab = 48/6 = 8
⇒ ab = 8
a - b = 2 ⇒ a2 + b2 (a - b)2 = 22
⇒ a2 + b2 - 2ab = 4
⇒ a2 + b2 - 2(8) = 4
⇒ a2 + b2 = 4 + 16 = 20
సమాధానం: 2
4. విలువ ఎంత?
1) 18 2) 27 3) 36 4) 39
సమాధానం: 3
విలువ ఎంత?
1) 4 2) 3 3) 2 4) 1
= −1 + 1 + 3 = 3
సమాధానం: 2
6. ax2 + bx + c = a(x - p)2 అయితే a, b, c ల మధ్య సంబంధం....
1) b2 = ac 2) b2 = 2ac 3) b2 = 3ac 4) b2 = 4ac
సాధన: ax2 + bx + c = a(x - p)2
⇒ ax2 + bx + c = a(x2 + p2 - 2xp)
⇒ ax2 + bx + c = ax2 + ap2 - 2apx
⇒ ax2 + bx + c = ax2 - 2apx + ap2
రెండువైపులా x2 గుణకాలు,x గుణకాలు, స్థిరపదాలను పోల్చగా,
⇒ a = a, b = -2ap, c = ap2
b = - 2ap
⇒ b2 = (-2ap)2
⇒ b2 = 4a2p2 = 4a(ap2) = 4ac
⇒ b2 = 4ac
సమాధానం: 4
7.విలువ ఎంత?
1) 1 2) 0 3) -1 4) 2
⇒ (p + q)2 = pq
⇒ p2 + q2 + 2pq = pq
⇒ p2 + q2 = -pq
⇒ (p2 + q2) (p − q) = -pq(p - q)
⇒p3 - p2q + pq2 - q3 = -p2q + pq2
⇒ p3 - q3 = 0
సమాధానం: 2
8. అయితే
pa + qb + rc విలువ ఎంత?
1) 0 2) 1 3) -1 4) 2
ఇప్పుడు, pa + qb + rc
= p[k(q - r)] +q [k(r - p)] + r[k(p - q)]
= k[pq - pr] + k[qr- pq] + k[pr - qr]
= k[pq - pr + qr -pq + pr - qr]
= k (0) = 0
సమాధానం: 1
సమాధానం: 3
10.
1) 2209 2) 2205 3) 2203 4) 2207
= 2209 - 2 = 2207
సమాధానం: 4
⇒ a3 + a2b + ab2 + b3 = a2b + ab2
⇒ a3 + b3 = 0
సమాధానం: 4
1) 0 2) 1 3) 2 4) 4
= 2
సమాధానం: 4
* a + 1/a = −1 అయితే
(1 - a + a2) (1 + a - a2) = ....
1) 0 2) 1 3) -4 4) 4
సాధన: a + 1/a = -1
⇒ a2 + 1 = -a ........ (1)
⇒ (a2 + 1)a = (-a)a
⇒ a3 + a = -a2
⇒ a3 = -a2 − a = 1
(1) నుంచి a2 + 1 = -a
1 = - a2 - a
a3 = 1
ఇప్పుడు,
(1 - a + a2) (1 + a - a2)
= (a2 + 1 - a) (1 + a - a2)
= (-a - a) (-a2 - a2)
= (-2a) (-2a2) = 4a3
= 4(1) = 4
సమాధానం: 4