బీజ గణితం-1  

1. p + q = 10, pq = 5 అయితే 

1) 22      2) 20      3) 18      4) 16

సాధన: p + q = 10, pq = 5

⇒ (p + q)² = 10²

⇒ p² + q² + 2pq = 100

⇒ p² + q² + 2(5) = 100

⇒ p² + q² = 100 − 10 = 90

⇒ p² + q² = 90

సమాధానం: 3

2. a² + b² + c² + 3 = 2(a + b + c) అయితే  a+b+c విలువ ఎంత?

1) 3        2) 4       3) 6     4) 8

సాధన: a² + b² + c²+ 3 = 2(a + b + c)

⇒ a² + b² + c² + 1 + 1 + 1

= 2a + 2b + 2c

⇒ a² - 2a + 1 + b² - 2b + 1 + c² - 2c + 1 = 0

⇒ (a -1)² + (b -1)² + (c - 1)² = 0

⇒ a - 1 = 0, b - 1 = 0, c - 1 = 0

⇒ a = 1, b = 1, c = 1

ఇప్పుడు, a + b + c = 1 + 1 + 1 = 3

సమాధానం : 1

3. a - b = 2, a³ - b³ = 56 అయితే a² + b² విలువ ఎంత?

1) 16    2) 20     3) 24       4) 28

సాధన: a - b = 2, a³ - b³ = 56

a - b = 2 ⇒ (a - b)³ = 2³

⇒ a³ - b³ - 3ab (a - b) = 8

⇒ 56 - 3ab(2) = 8

⇒ 56 - 8 = 6ab

⇒ ab = 48/6 = 8

⇒ ab = 8

a - b = 2 ⇒ a² + b² (a - b)² = 2²

⇒ a² + b² - 2ab = 4

⇒ a² + b² - 2(8) = 4

⇒ a² + b² = 4 + 16 = 20

సమాధానం: 2

4.

  విలువ ఎంత?

1) 18    2) 27     3) 36     4) 39

 

సమాధానం: 3

విలువ ఎంత?

1) 4     2) 3      3) 2     4) 1

 

= −1 + 1 + 3 = 3
               
సమాధానం: 2

6. ax² + bx + c = a(x - p)² అయితే  a, b, c ల మధ్య సంబంధం....

1) b² = ac    2) b² = 2ac     3) b² = 3ac     4) b² = 4ac

సాధన: ax² + bx + c = a(x - p)²

⇒ ax² + bx + c = a(x² + p² - 2xp)

⇒ ax² + bx + c = ax² + ap² - 2apx

⇒ ax² + bx + c = ax² - 2apx + ap²

రెండువైపులా x² గుణకాలు,x గుణకాలు, స్థిరపదాలను పోల్చగా,

⇒ a = a, b = -2ap, c = ap²

b = - 2ap

⇒ b² = (-2ap)²

⇒ b² = 4a²p² = 4a(ap²) = 4ac

⇒ b² = 4ac

సమాధానం: 4

7.విలువ ఎంత?

1) 1       2) 0       3) -1         4) 2

⇒ (p + q)² = pq

⇒ p² + q² + 2pq = pq

⇒ p² + q² = -pq

⇒ (p² + q²) (p − q) = -pq(p - q)

⇒p³ - p²q + pq² - q³ = -p²q + pq²

⇒ p³ - q³ = 0

సమాధానం: 2

8. 

అయితే

pa + qb + rc విలువ ఎంత?

1) 0        2) 1      3) -1        4) 2

 

ఇప్పుడు, pa + qb + rc

= p[k(q - r)] +q [k(r - p)] + r[k(p - q)]

= k[pq - pr] + k[qr- pq] + k[pr - qr]

= k[pq - pr + qr -pq + pr - qr]

= k (0) = 0

సమాధానం: 1

సమాధానం: 3

 

10.

1) 2209       2) 2205     3) 2203     4) 2207

                              = 2209 - 2 = 2207
  సమాధానం: 4

⇒ a³ + a²b + ab² + b³ = a²b + ab²

⇒ a³ + b³ = 0

సమాధానం: 4

1) 0        2) 1        3) 2         4) 4

            = 2

సమాధానం: 4

* a + 1/a = −1 అయితే

(1 - a + a²) (1 + a - a²) = ....

1) 0        2) 1       3) -4      4) 4

సాధన: a + 1/a = -1

⇒  a² + 1 = -a ........ (1)

⇒  (a² + 1)a = (-a)a

⇒  a³ + a = -a²

⇒ a³ = -a² − a = 1

(1) నుంచి a² + 1 = -a
                     1 = - a² - a

a³ = 1

ఇప్పుడు, 

(1 - a + a²) (1 + a - a²)

= (a² + 1 - a) (1 + a - a²)

= (-a - a) (-a² - a²)

= (-2a) (-2a²) = 4a³

= 4(1) = 4

సమాధానం: 4