కాలం - దూరం

వ్యతిరేక దిశలో కలిసే వేగాలు!

ఒక ఊరికి నిర్ణీత సమయంలో వెళ్లడం అనేది వాహన వేగంపై ఆధారపడి ఉంటుంది. పరుగు పందెంలో ఒక ఆటగాడు గెలవాలంటే ముందున్న వాళ్లను అధిగమించి నియమిత స్పీడుతో దూసుకెళ్లాలి. వేర్వేరు నగరాల నుంచి బయలుదేరిన బస్సులు కలిసే స్థానాన్ని కనిపెట్టాలంటే, వాటి మధ్య దూరాన్ని, ప్రయాణ వేగాన్ని లెక్కగట్టాలి. కొంతమంది చేస్తున్న పని ఎప్పటికి పూర్తవుతుందో అంచనా వేయాలంటే, వారి వ్యక్తిగత సామర్థ్యాలు తెలియాలి. పరీక్షల్లో నిత్య జీవితంతో ముడిపడిన ఇలాంటి కాలం, వేగం, దూరం, శక్తికి సంబంధించిన ప్రశ్నలను అడుగుతుంటారు. వాటిని పరిష్కరించాలంటే అంకగణితంలోని ‘కాలం-పని’ అధ్యాయంపై పట్టు సాధించాలి.

కాలం = దూరం/వేగం, వేగం = దూరం/కాలం, దూరం = కాలం x వేగం

*  వేగం రెండు రకాలు: 

1) మీ./సె.  2) కి.మీ./గంట  

*  కి.మీ./గంట వేగాన్ని మీ./సెకన్లలోకి మార్చాలంటే  తో గుణించాలి.  

*  మీ./సె. వేగాన్ని కి.మీ./గంటల్లోకి మార్చాలంటే  తో గుణించాలి.  

సగటు వేగం: i) రెండు సమాన భాగాలు 

 

*  ఇద్దరు వ్యక్తులు లేదా రెండు వాహనాలు వ్యతిరేక దిశలో ప్రయాణిస్తే వాటి వేగాలను కలపాలి.  

*  ఇద్దరు వ్యక్తులు లేదా రెండు వాహనాలు ఒకేదిశలో ప్రయాణిస్తే వాటి వేగాలను తీసివేయాలి. 

మాదిరి ప్రశ్నలు 

1.    ఒక కారు 8 గంటలు ప్రయాణించింది. అందులో సగం దూరాన్ని గంటకు 40 కి.మీ. వేగంతో, మిగిలిన సగం దూరాన్ని గంటకు 60 కి.మీ. వేగంతో ప్రయాణిస్తే అది ప్రయాణించిన మొత్తం దూరం ఎంత?

1) 400 కి.మీ.     2) 384 కి.మీ.  

3) 420 కి.మీ.     4) 374 కి.మీ.

సాధన: మొత్తం దూరాన్ని x కి.మీ. అనుకుందాం. అందులో సగం దూరం x/2 కి.మీ. అవుతుంది.  మిగిలిన స‌గం దూరం కూడా   x/2 అవుతుంది.

దత్తాంశం ప్రకారం   

 జ: 2 

2.    ఒక వ్యక్తి తన ప్రయాణాన్ని మూడు సమాన భాగాలుగా చేసి ప్రతి భాగాన్ని వరుసగా గంటకు 3, 4, 5 కి.మీ. వేగాలతో 94 నిమిషాలు ప్రయాణించాడు. అయితే అతడు ప్రయాణించిన మొత్తం దూరం ఎంత? 

1) 3 కి.మీ. 2) 4 కి.మీ. 3) 5 కి.మీ. 4) 6 కి.మీ.

సాధన: మొత్తం దూరం x కి.మీ. అనుకుందాం. 

మూడు సమాన భాగాలు అంటే X/3 కి.మీ.,X/3  కి.మీ.,X/3  కి.మీ. అవుతుంది. 

దత్తాంశం ప్రకారం   

జ: 4 

3.  మాధవి కొంత దూరాన్ని 56 నిమిషాలు ప్రయాణించింది. అందులో 2/3 వ వంతు దూరాన్ని గంటకు 4 కి.మీ. వేగంతో, మిగిలిన దూరాన్ని గంటకు 5 కి.మీ. వేగంతో ప్రయాణించింది. అయితే ఆమె ప్రయాణించిన మొత్తం దూరం ఎంత? 

1) 6 కి.మీ.  2) 5 కి.మీ.  3) 4 కి.మీ. 4) 3 కి.మీ. 

సాధన: మాధవి ప్రయాణించిన మొత్తం దూరం X కి.మీ. అనుకుంటే అది  కి.మీ., మిగిలిన దూరం 

 కి.మీ. అవుతుంది. 

దత్తాంశం ప్రకారం 

జ: 3

4.    ఒక వ్యక్తి ఒక ప్రదేశం నుంచి మరొక ప్రదేశానికి గంటకు 12 కి.మీ. వేగంతో, తిరుగు ప్రయాణంలో గంటకు 15 కి.మీ. వేగంతో ప్రయాణించాడు. అయితే అతడి సగటు వేగం ఎంత? 

1) 12 కి.మీ./గంట      2) 15 కి.మీ./గంట  

3) 14.4 కి.మీ./గంట     4) ఏదీకాదు 

సాధన: దత్తాంశం ప్రకారం రెండు సమాన భాగాలు ఉంటే 

జ: 4

5. ఒక వ్యక్తి తన ప్రయాణంలో 1/3 వ వంతు భాగాన్ని గంటకు 60 కి.మీ. వేగంతో, తర్వాత  1/3వ వంతు భాగాన్ని గంటకు 20 కి.మీ. వేగంతో, మిగిలిన 1/3 వ వంతు భాగాన్ని గంటకు 10 కి.మీ. వేగంతో ప్రయాణించాడు. అయితే అతడి సగటు వేగం ఎంత? 

1) 12 కి.మీ./గంట      2) 14 కి.మీ./గంట  

3) 16 కి.మీ./గంట     4) 18 కి.మీ./గంట 

సాధన: లెక్క ప్రకారం ఒక వ్యక్తి ప్రయాణించిన దూరం

అంటే మూడు సమాన భాగాలు అని అర్థం. 

​​​​​​​

జ: 4

6.    ఒక వ్యక్తి తన ఇంటి నుంచి ఆఫీసుకు గంటకు 4 కి.మీ. వేగంతో, తిరుగు ప్రయాణంలో గంటకు 5 కి.మీ. వేగంతో 9 గంటలు ప్రయాణించాడు. అయితే ఇంటి నుంచి ఆఫీసు ఎంత దూరంలో ఉంది? 

1) 12 కి.మీ.      2) 15 కి.మీ. 

3) 20 కి.మీ.     4) 24 కి.మీ. 

సాధన: ఇంటి నుంచి ఆఫీసు X కి.మీ. దూరంలో ఉంది అనుకుందాం 

జ: 3

 

7.  ఒక వ్యక్తి తన ఇంటి నుంచి ఆఫీసుకు గంటకు 20 కి.మీ. వేగంతో ప్రయాణిస్తే ఆఫీసుకు 4 నిమిషాలు ఆలస్యంగా చేరుకున్నాడు. మరుసటి రోజు గంటకు 25 కి.మీ. వేగంతో ప్రయాణిస్తే ఆఫీసుకు 2 నిమిషాలు ముందుగా చేరాడు. అయితే ఇంటి నుంచి ఆఫీసు ఎంత దూరంతో ఉంది? 

1) 10 కి.మీ. 2) 12 కి.మీ. 3) 15 కి.మీ. 4) 18 కి.మీ.

సాధన: ఇంటి నుంచి ఆఫీసుకు దూరం X  కి.మీ. అనుకుందాం 

జ: 1 

 

8. ఒక వ్యక్తి 750 మీ. దూరాన్ని 2 నిమిషాల 30 సెకన్లలో ప్రయాణించాడు. అయితే అతడి వేగం కి.మీ./గంటలో ఎంత? 

1) 12 కి.మీ/గంట    2) 15 కి.మీ./గంట 

3) 18 కి.మీ./గంట        4) 21 కి.మీ./గంట

సాధన: 

(2 నిమిషాలకు 120 ్ఘ 30 = 150 సెకన్లు) 

= 18 కి.మీ./గంట

జ: 3

9.  ఒక వ్యక్తి కొంత స్థిర వేగంతో ప్రయాణిస్తే ఒక ప్రదేశాన్ని చేరడానికి 8 గంటల సమయం పట్టింది. కానీ అతడు తన వేగాన్ని గంటకు 4 కి.మీ. పెంచితే అదే దూరాన్ని గంటల్లో చేరాడు. అయితే ఆ దూరం ఎంత? 

1) 400 కి.మీ.    2) 480 కి.మీ.  

3) 380 కి.మీ.   4) 300 కి.మీ.

సాధన: ప్రయాణించిన దూరాన్ని X కి.మీ. అనుకుందాం 

జ: 2

ప్రాక్టీస్‌ బిట్లు  

1. ఒక వ్యక్తి కారులో 9 గంటలు ప్రయాణించాడు. అందులో సగం దూరాన్ని గంటకు 12 కి.మీ. వేగంతో, మిగిలిన సగం దూరాన్ని గంటకు 15 కి.మీ. వేగంతో ప్రయాణించాడు. అయితే అతడు ప్రయాణించిన మొత్తం దూరం ఎంత? 

1) 120 కి.మీ.  2) 100 కి.మీ.   3) 110 కి.మీ.    4) 240 కి.మీ.

2. ఒక వ్యక్తి కొంత దూరాన్ని 1 గం. 24 నిమిషాల్లో ప్రయాణించాడు. అందులో 2/3వ వంతు దూరాన్ని గంటకు 4 కి.మీ. వేగంతో, మిగిలిన దూరాన్ని గంటకు 5 కి.మీ. వేగంతో ప్రయాణించాడు. అయితే అతడు ప్రయాణించిన మొత్తం దూరం ఎంత? 

1) 3 కి.మీ.  2) 4 కి.మీ.  3) 5 కి.మీ. 4) 6 కి.మీ.

3. ఒక వ్యక్తి మొదటి 24 కి.మీ దూరాన్ని గంటకు 6 కి.మీ. వేగంతో, తర్వాత 24 కి.మీ దూరాన్ని గంటకు 8 కి.మీ. వేగంతో, మిగిలిన 24 కి.మీ. దూరాన్ని గంటకు 12 కి.మీ. వేగంతో ప్రయాణించాడు. అయితే అతడి సగటు వేగం ఎంత? 

1) 6 కి.మీ./గంట    2) 8 కి.మీ/గంట    3) 10 కి.మీ./గంట   4) 12 కి.మీ./గంట 

4.  ఒక వ్యక్తి తన ఇంటి నుంచి ఆఫీసుకు గంటకు 25 కి.మీ. వేగంతో ప్రయాణించి తిరుగు ప్రయాణంలో గంటకు 4 కి.మీ. వేగంతో ఇంటికి చేరడానికి మొత్తం 5 గంటల 48 నిమిషాల సమయం పట్టింది. అయితే ఇంటి నుంచి ఆఫీసు ఎంత దూరంలో ఉంది? 

1) 10 కి.మీ.   2) 20 కి.మీ.   3) 30 కి.మీ.   4) 40 కి.మీ.

సమాధానాలు: 1-1, 2-4, 3-2, 4-2.

రచయిత: బిజ్జుల విష్ణువర్ధన్‌ రెడ్డి