ముఖ్యాంశాలు
ఎదురెదురు భుజాలు సమాంతరంగా ఉన్న చతుర్భుజాన్ని సమాంతర చతుర్భుజంparallelogram) అంటారు.
పై పటం ABCD లో AB,DC లు సమాంతర భుజాలు, BC, AD లు సమాంతర భుజాలు. కాబట్టి ABCD పటం సమాంతర చతుర్భుజం అవుతుంది.
ABCD సమాంతర చతుర్భుజంలో, i) AB = DC, BC = AD అంటే ఎదురెదురు భుజాలు సమానం.
ii) ఆసన్న కోణాల మొత్తం 180ా
∠A + ∠B = 180° ∠B + ∠C = 180° ∠C + ∠D = 180° ∠D + ∠A = 180°
iii)ఎదురెదురు కోణాలు సమానం.
∠A = ∠C ∠B = ∠D
iv) కర్ణాలు ( AC, BD)పరస్పరం సమద్విఖండన చేసుకుంటాయి. సమాంతర చతుర్భుజ వైశాల్యం = భూమి × సమాంతర భుజాల మధ్య లంబదూరం చ.యూ.
=B× H చ.యూ.
మాదిరి సమస్యలు
1. ABCD సమాంతర చతుర్భుజంలో∠A = 120° అయితే ∠B, ∠C, ∠D విలువలు వరుసగా..
1) 120°, 60°, 60° 2) 60°, 120°, 60° 3) 60°, 120°, 120° - 4) 60°, 60°, 120°
సాధన: ABCD సమాంతర చతుర్భుజంలో∠A = ∠C (ఎదురెదురు కోణాలు)
∠C = 120° ∠A + ∠B = 180° sA, B( ఆసన్నకోణాలు)
120° + ∠B = 180°
∠B = 180° − 120° = 60°
∠B = ∠D (ఎదురెదురు కోణాలు సమానం)
∠D = 60°
∠B = 60°, ∠C = 120°, ∠D = 60°
సమాధానం: 2
2. ABCD సమాంతర చతుర్భుజంలో AB =12సెం.మీ. BC = 9సెం.మీ అయితే ఆ సమాంతర చతుర్భుజ చుట్టుకొలత ఎంత? (సెం.మీ.లలో)
1) 21 2) 36 3) 42 4) 48
సాధన: ABCD సమాంతర చతుర్భుజంలో ఎదురెదురు భుజాలు సమానంగా ఉంటాయి.
AB = DC
DC = 12సెం.మీ
BC = AD
AD = 9సెం.మీ
ABCD చుట్టుకొలత
= AB + BC + CD + DA
= 12 + 9 + 12 + 9 = 42సెం.మీ
సమాధానం:3
3.ABCD సమాంతర చతుర్భుజంలో ఆసన్నకోణాలు 3 : 2 నిష్పత్తిలో ఉన్నాయి. అయితే ఆ కోణాలు వరుసగా....
1) 72°, 118° 2) 96°, 64° 3) 98°, 64° 4) 108°, 72°
సాధన: ABCDసమాంతర చతుర్భుజంలో ఆసన్న కోణాల నిష్పత్తి = 3 : 2.
ఆ ఆసన్న కోణాలు వరుసగా 3x, 2x అనుకోండి.
3x + 2x = 180° 5x = 180°
x =180°/5 = 36°
3x = 3 × 36° = 108°
2x = 2 × 36° = 72°ఆ ఆసన్న కోణాలు = 108°, 72°
సమాధానం:4
4. PQRS సమాంతర చతుర్భుజంలో ఆసన్న కోణాలు సమానం. అయితే ఆ చతుర్భుజాన్ని ఏమంటారు?
1 సమచతుర్భుజం 2 చతురస్రం 3 దీర్ఘచతురస్రం 4 సమలంబ చతుర్భుజం
సాధన:PQRS సమాంతర చతుర్భుజంలో ఆసన్న కోణాలు సమానం
∠P = ∠Q, ∠Q = ∠R, ∠R = ∠S, ∠S = ∠P ∠P + ∠Q = 180° ∠P + ∠P = 180° 2∠P = 180° ∠P = 90° ∠P = 90° ∠Q = 90°, ∠R = 90°, ∠S = 90°
సమాధానం:3
5.PQRS సమాంతర చతుర్భుజంలో కర్ణాలు PQ RSల ఖండన బిందువు ‘O’-. OR = 4 సెం.మీ. SQ, PR కంటే 5 సెం.మీ. ఎక్కువ అయితే OS ఎంత?
1) 4.5సెం.మీ. 2) 5.5సెం.మీ.- 3) 6సెం.మీ 4) 6.5 సెం.మీ
OR = 4అయితే OP = 4
⇒ PR = 8 సెం.మీ
SQ = PR + 5
= 8 + 5 = 13 సెం.మీ
SQ = 13 సెం.మీ OS =1/2 × SQ =1/2 × 13 =
6.5సెం.మీ
సమాధానం:4
పటంలో MNOP ఒక సమాంతర చతుర్భుజం. అయితే x, y విలువలు వరుసగా..... (సెం.మీ.లలో)
1) 6, 9 2) 6, 8 3) 5, 8 4) 5, 9
సాధన: MNOP ఒక సమాంతర చతుర్భుజం
MN = 3y − 1, NO = 18సెం.మీ PO = 26సెం.మీ MP = 3x
సమాంతర చతుర్భుజంలో ఎదురెదురు భుజాలు సమానం కాబట్టి,
|
MN = PO, 3y = 27 y = 9సెం.మీ x = 6సెం.మీ |
MP = NO 3x = 18 x = 18/3 = 6సెం.మీ y = 9 సెం.మీ |
సమాధానం: 1
పటంలో ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజం అయితే x, y, z విలువలు వరుసగా...
1) 28°, 104°, 28° 2) 28°, 112°, 28° 3) 25°, 108°, 25° 4) 28°, 102°, 25°
సాధన: ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజం ∠A + ∠B = 180° (ఆసన్నకోణాలు)
40° + z + 112° = 180° z = 180° − 152° = 28°
∴ z = 28°
∠B = ∠D 112° = y y = 112°
∆ACD లో 40° + x + y = 180° 40° + x + 112° = 180°
x = 180° − 152° = 28°
x = 28°, y = 112°, z = 28°
సమాధానం: 2
పైపటం RUNS ఒక సమాంతర చతుర్భుజం అయితే x విలువ ఎంత?
1) 100° 2) 40° 3) 60° 4) 80°
సాధన: RUNS ఒక సమాంతర చతుర్భుజం ∠U, x లు సదృశ్యకోణాలు అవుతాయి (∴ RU // SN)
∠U = x ⇒ 80° = x ∴ x = 80°
సమాధానం: 4
పటం RUNS ఒక సమాంతర చతుర్భుజం. కర్ణాలు RN, US ల ఖండన బిందువు O. OR = 16, ON = x + y, OS = 20, OU = y + 7.అయితే x, y విలువలు వరుసగా ......
1) 13 యూనిట్లు, 3 యూనిట్లు 2)3 యూనిట్లు, 13 యూనిట్లు 3) 14 యూనిట్లు, 2 యూనిట్లు 4)14 యూనిట్లు, 13 యూనిట్లు
సాధన: RUNS ఒక సమాంతర చతుర్భుజం
సమాంతర చతుర్భుజంలో కర్ణాలు పరస్పరం సమద్విఖండన చేసుకుంటాయి. కాబట్టి,
OU = OS
⇒ Y + 7 = 20
⇒ y = 20 − 7
y = 13
= 13 యూ.
ON = OR
⇒ x + y = 16
⇒ x + 13 = 16
⇒ x = 16 − 3 = 3యూ.
సమాధానం: 4
