త్రిభుజాలు

ముఖ్యాంశాలు

 త్రిభుజంలోని మూడు అంతరకోణాల మొత్తం విలువ ఎల్లప్పుడూ 180°ఉంటుంది.

∠A + ∠B + ∠C = 180° లేదా

∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°

 త్రిభుజంలో ఒక భుజాన్ని పొడిగిస్తే ఏర్పడిన బాహ్యకోణం విలువ దాని అంతరాభిముఖ కోణాల మొత్తానికి సమానం.

∠ACD = ∠BAC + ∠ABC,

∠ACB + ∠ACD = 180°

మాదిరి ప్రశ్నలు

1. ఒక త్రిభుజంలోని కోణాల నిష్పత్తి 1 : 3 : 5 అయితే ఆ కోణాల్లో పెద్ద కోణం?

1) 110°    2) 80°     3) 90°   4)  100° 

సాధన: ఒక త్రిభుజంలో కోణాల నిష్పత్తి = 1 : 3 : 5

ఆ కోణాలు వరుసగా 1x, 3x, 5x అనుకోండి.

1x + 3x + 5x = 180°

9x = 180°

ఆ కోణాల్లో పెద్దకోణం =5x = 5 × 20°=100

సమాధానం: 4

2. ∆ABCలో ∠A = 8∠B, ∠C = 6∠B అయితే ∆ABCలో పెద్దకోణం....

1) 96°   2)  72°    3) 108°    4)  98° 

సాధన: ∆ABC   లో∠A = 8∠B,   ∠C = 6∠B త్రిభుజంలోని 3 కోణాల మొత్తం =  180° 

⇒ ∠A + ∠B + ∠C = 180°

⇒ 8∠B + ∠B + 6∠B = 180°

⇒ 15∠B = 180°

∠A = 8∠B = 8 × 12°= 96°, ∠C = 6∠B = 6 × 12°= 72° ∆ABC లో పెద్ద కోణం = 96°

సమాధానం: 1

3. ∆ABC లో C వద్ద లంబకోణం ఉంది.  CD ⊥ AB, ∠A = 35°  అయితే ∠BCD కోణం....

1) 55°   2)  90°     3) 35°    4) 45°

పైపటంలో ∆ABC లో ∠C = 90°, CD ⊥ AB ∠A = 35°

త్రిభుజం ABC లో  ∠A + ∠B + ∠C = 180°

⇒ 35°+ ∠B +90°=180° 

∠B = 180°− 125°= 55°

త్రిభుజం BCD లో ∠BCD + ∠BDC + ∠CBD = 180°

⇒ ∠BCD + 90°+ 55° = 180° 

⇒∠BCD = 180°− 145°= 35° 

సమాధానం: 3

4. త్రిభుజంలోని బాహ్యకోణాల మొత్తం ఎంత?

1) 180° 2) 360°   3) 270°     4) 90°

∆ABC ఒక త్రిభుజం 

∠A + ∠B + ∠C = 180°

∆ABCలో ∠DAB + ∠EBC + ∠ECA = 

∠B + ∠C + ∠C + ∠A + ∠A + ∠B
= 2(∠A + ∠B + ∠C)

= 2 × 180°= 360°

సమాధానం: 2

5. ఒక త్రిభుజపు ఒక బాహ్యకోణం  125°,  దాని అంతరాభిముఖ కోణాలు 2 : 3 నిష్పత్తిలో ఉంటే దానిలోని ఒక కోణం ఎంత?

1) 40°     2)  55°    3) 75°    4)  80°

 పైపటంలో ఒక బాహ్యకోణం = 125°

ఆ బాహ్యకోణానికి అంతరాభిముఖ కోణాలు = 2x, 3x అనుకోండి.

2x + 3x = 125°

5x = 125°

ఆ కోణాలు వరుసగా,  2x = 2 × 25° = 50° 

3x = 3 × 25°= 75°

సమాధానం: 3

6. (3x)°, (2x + 7)°, (4x − 16)°లు త్రిభుజం కోణాలైతే, అందులో ఏ రెండు కోణాల మొత్తం అయినా.... 

1) 134°     2) 121°     3) 117°     4) 116° 

సాధన: త్రిభుజంలోని కోణాలు వరుసగా, 

(3x)°, (2x + 7)°, (4x − 16)° 

3x + 2x + 7°+ 4x − 16°= 180° 

9x − 9°= 180° 

9x = 180° + 9°= 189° 

త్రిభుజంలో 1వ కోణం = 3x = 3 × 21°= 63°

2వ కోణం = = 2x + 7° = 2 × 21°+ 7° = 42°+ 7° = 49°

3వ కోణం = = 4x − 16° = 4 × 21°− 16° = 84°− 16°= 68°

  = 84°− 16°= 68°

1వ కోణం + 2వ కోణం = 63°+ 49°= 112°

2వ కోణం + 3వ కోణం= 49° + 68°= 117° 

3వ కోణం + 1వ కోణం =   68°+ 63°= 131°

సమాధానం: 3

 
పైపటంలో ∆ABC లో BC ని D వరకు విపొడిగించారు. ∠ACB = 5x, ∠ACD = 7x అయితే ∠ACD విలువ?

1)  105°    2)  110° 3)  135°   4)  120° 

సాధన: ∆ABC లో ∠ACB = 5x,      ∠ACD = 7x 

∠ACB, ∠ACD లు రేఖీయ ద్వయం (Linear pair) 

కాబట్టి,∠ACB + ∠ACD = 180° 

⇒ 5x + 7x = 180° 

⇒ 12x = 180° 

  ∠ACD = 7x 

= 7 × 15° = 105°

సమాధానం: 1 

8. ఒక త్రిభుజంలోని మూడు కోణాల నిష్పత్తి 2 : 3 : 4 అయితే గరిష్ఠ, కనిష్ట కోణాల మధ్య గల భేదం ఎంత?

1) 50° 2) 30° 3) 20° 4) 40° 

సాధన: ఒక త్రిభుజంలోని మూడు కోణాల నిష్పత్తి = 2 : 3 : 4

ఆ కోణాలు వరుసగా 2x, 3x, 4x 

2x + 3x + 4x = 180°

9x = 180° ⇒ x = 20°

ఆ కోణాలు, 2x = 2 × 20°= 40° 

3x = 3 × 20°= 60°

4x = 4 × 20°= 80°

గరిష్ఠ, కనిష్ఠ కోణాల మధ్య భేదం 

= 80°− 40°

= 40°

సమాధానం: 4

రచయిత

సీ‡హెచ్‌. రాధాకృష్ణ

విషయ నిపుణులు