క్షత్రగణితం

ముఖ్యాంశాలు

1. దీర్ఘఘనం పొడవు l యూ., వెడల్పు b యూ., ఎత్తు h యూ. అయితే,

i ) భూ పరిధి  = 2 (l + b) యూ.

ii ) భూవైశాల్యం = lb చ.యూ.

iii ) పక్కతల వైశాల్యం (లేదా) నాలుగు గోడల వైశాల్యం = 2h (l + b) చ.యూ.

iv) సంపూర్ణతల వైశాల్యం = 2(lb + bh + hl) చ.యూ.

v) ఘనపరిమాణం (v) = lbh ఘ.యూ.

 vi ) వికర్ణం (d) =   యూ.

2. సమఘనం భుజం a యూ. అయితే,

i ) భూ పరిధి = 4a యూ.

ii ) భూ వైశాల్యం = a² చ.యూ.

iii ) నాలుగు గోడల వైశాల్యం (లేదా) పక్కతల వైశాల్యం = = 4a² చ.యూ.

iv)సంపూర్ణతల వైశాల్యం = 6a² చ.యూ.

 v) ఘనపరిమాణం (v) = a³  ఘ.యూ.

vi) వికర్ణం  (d) = √3 a  యూ.

మాదిరి సమస్యలు

1. ఒక సమావేశమందిరం దీర్ఘఘనాకృతిలో ఉంది. దాని పొడవు, వెడల్పులు వరుసగా 15 మీ., 12 మీ. ఆ మందిరం నేల, పై కప్పు వైశాల్యాల మొత్తం దాని నాలుగు గోడల వైశాల్యాల మొత్తానికి సమానం. అయితే ఆ మందిరం ఘనపరిమాణం ఎంత? (మీ.3 లలో)

1 ) 720      2 ) 900      3 ) 1200      4 ) 1800

సాధన: దీర్ఘఘనాకృతిలో ఉన్న సమావేశమందిరం పొడవు (l) = 15 మీ. వెడల్పు (b) = 12 మీ., 

ఎత్తు (h) = ? 

లెక్క ప్రకారం,

మందిరం నాలుగు గోడల వైశాల్యాల మొత్తం 

= మందిరం నేల, పై కప్పు వైశాల్యాల మొత్తం

⇒ 2h(l + b) = 2 lb

⇒ h(l + b) = lb

⇒ h(15 + 12) = 15 × 12 = 180

సమావేశమందిరం ఘనపరిమాణం  (v) = lbh 

​​​​​

= 5 × 12 × 20 = 1200 మీ.³

సమాధానం: 3

2. దీర్ఘఘనాకృతిలో ఉన్న ఒక గది పొడవు, వెడల్పు, ఎత్తులు వరుసగా 12 మీ., 9 మీ., 8 మీ. అయితే ఆ గదిలో ఉంచదగిన కర్ర గరిష్ఠ పొడవు ఎంత? (మీ.లలో)

1 ) 12       2 ) 17       3 ) 19       4 ) 21

సాధన: గది పొడవు, వెడల్పు, ఎత్తులు వరుసగా,

l = 12 సెం.మీ.,b = 9 సెం.మీ.,h = 8  సెం.మీ.

గదిలో ఉంచదగిన కర్ర గరిష్ఠ పొడవు =     √ l² + b² + h² 

సమాధానం: 2

3. ఒక గది దీర్ఘఘనాకృతిలో ఉంది. దాని పొడవు, వెడల్పునకు రెట్టింపు. ఆ గది ఎత్తు 11 మీ., నాలుగు గోడల వైశాల్యం 660 మీ.² అయితే ఆ గది నేల వైశాల్యం ఎంత?  

1) 120 మీ.²          2) 150 మీ.²     3) 180 మీ.²           4) 200 మీ.²

సాధన: దీర్ఘఘనాకృతిలో ఉన్న గది కొలతలు:

వెడల్పు (b) = x అనుకోండి, పొడవు (l) = 2x,ఎత్తు (h) = 11 మీ.గది నాలుగు గోడల వైశాల్యం = 660 మీ.²

⇒ 2h (l + b) = 660

⇒ 2(11) (2x + x) = 660

x = 10  మీ.

గది వెడల్పు (b) = 10మీ., 

పొడవు (l) = 2x = 2 × 10 = 20 మీ.

గది నేల వైశాల్యం = lb = 20 × 10 = 200 మీ.²

సమాధానం: 4

4. ఒక ఘనం కర్ణం 12 సెం.మీ. అయితే దాని ఘనపరిమాణం? (ఘ.సెం.మీ.లలో)

సాధన: ఘనం భుజం = a అనుకోండి. లెక్క ప్రకారం, ఘనం కర్ణం (d) = 12 సెం.మీ. √ 3a = 12

^{_{సెం.మీ.}} 

   ఘనం ఘనపరిమాణం(v) = a^{3 
  ఘ.సెం.మీ.}

సమాధానం: 1

5. రెండు ఘనాల ఘనపరిమాణాల నిష్పత్తి 8 : 125 అయితే వాటి ఉపరితల వైశాల్యాల నిష్పత్తి?

1) 2 : 75  2) 4 : 25  3) 2 : 15  4) 4 : 15

సాధన: రెండు ఘనాల భుజాల నిష్పత్తి = a1 : a2  అనుకోండి.

ఘనపరిమాణాల నిష్పత్తి = 8 : 125 

a₁³ : a₂³ = 8 : 125 = 2³ : 5³

a₁ : a₂ = 2 : 5

ఆ ఘనాల ఉపరితల వైశాల్యాల నిష్పత్తి == a₁² : a₂² 

= 2² : 5² = 4 : 25

సమాధానం: 2

6. ఒక ప్రదేశంలో 27 మీ. పొడవు, 18.2 మీ. వెడల్పుతో కొంత లోతులో దీర్ఘఘనాకృతిలో ఒక గుంటను తవ్వారు. ఆ మట్టిని  48 మీ. పొడవు, 31.5 మీ. వెడల్పు ఉన్న ప్రదేశంలో పరిస్తే, దాని మెరక 6.5 సెం.మీ. పెరిగింది. అయితే ఆ గుంటను ఎంత లోతులో తవ్వారు? (మీ.లలో)

1) 4       2) 3       3) 2       4) 1.5

సాధన: మట్టి తవ్విన గుంట లోతు = a1 : a2 అనుకోండి.

తవ్విన మట్టి ఘనపరిమాణం = పొడవు × వెడల్పు  ×ఎత్తు

= 27 × 18.2 × h ఘ.మీ.

లెక్క ప్రకారం,  

సమాధానం: 3

7. ఒక సమఘనాకృతిలో ఉన్న ట్యాంకు భుజం పొడవు 1.2 మీ. ఆ ట్యాంకును నీటితో పూర్తిగా నింపారు. దాని నుంచి 64 బిందెల నీటిని తొలగించగా ఇంకా ఆ ట్యాంక్‌లో  ¹/₃వ భాగం నీరు ఉంది. అన్ని బిందెల పరిమాణం ఒకే విధంగా ఉంటే ఒక్కొక్క బిందె నిండా ఎంత నీరు పడుతుంది? (లీటర్లలో)

1 ) 16       2 ) 18       3 ) 12       4 ) 15

సాధన: లెక్కప్రకారం, ²/₃ వ భాగం ట్యాంక్‌ నీరు = 64 బిందెల నీరు

⇒   ట్యాంక్‌ ఘనపరిమాణం = 64 ²/₃ బిందెల నీరు 

 = 96 బిందెల నీరు

⇒ 1.2 × 1.2 × 1.2 ఘ.మీ. = 96 బిందెల నీరు.

⇒ 1.728 ఘ.మీ = 96 బిందెల నీరు

⇒ 1.728  ×  1000 లీ. = 96 బిందెల నీరు

⇒ 1 బిందెల నీరు =    

 = 18 లీ.     

సమాధానం: 2

8. ఒక గది నేల 4 మీ. ×´ 3 మీ. కొలతలను, 3 మీ. ఎత్తును కలిగి ఉంది. ఆ గది గోడలకు, పై కప్పుకు కలిపి రంగు వేయాలంటే ఎంత వైశాల్యం మేర రంగు వేయాలి?

1 ) 66 చ.మీ.  2 ) 58 చ.మీ.  3 ) 54 చ.మీ. 4 ) 52 చ.మీ.

సాధన: రంగు వేసే ప్రదేశ వైశాల్యం 

= గది నాలుగు గోడల వైశాల్యం + పై కప్పు వైశాల్యం

=2h(l + b) + lb

=2 × 3(4 + 3) + (4 × 3)

= 6(7) + 12 

= 42 + 12 = 54 చ.మీ.

సమాధానం: 3

9. ఒక దీర్ఘఘనం మూడు ఆసన్న తలాల వైశాల్యాలు p, q, r. అయితే ఆ దీర్ఘఘనం ఘనపరిమాణం? 

సాధన: దీర్ఘఘనం పొడవు, వెడల్పు, ఎత్తులు వరుసగా l, b, h అనుకోండి.

లెక్కప్రకారం  lb = p 

bh = q

hl = r

ఇప్పుడు,

(lb)(bh)(hl) = pqr

⇒ l²b²h² = pqr

⇒ lbh = √ pqr

ఘనపరిమాణం (v) = √ pqr

సమాధానం: 4

రచయిత

సీ‡హెచ్‌. రాధాకృష్ణ

విషయ నిపుణులు