భుజాలు కోణాలతో కచ్చితమైన కొలతలు!
అక్కడెక్కడో లక్షల కిలోమీటర్ల దూరంలో అంతరిక్షంలో తిరుగుతూ ఉండే చంద్రుడిపైకి అంత కచ్చితంగా రోవర్ను ఎలా దింపుతారు? గమ్యం ఎంత దూరమో గూగుల్ మ్యాప్ వెంటనే ఏవిధంగా చెప్పేస్తోంది? యాభై అంతస్థులు, ఆపై దాటినా కూడా భవన నిర్మాణం సరిగ్గా, స్థిరంగా ఉండటానికి కారణం ఏమిటి? వీటన్నింటిలో గణితం ఉంటుంది. అదే త్రికోణమితి. ప్రతిదాన్ని భుజాలు, కోణాల్లోకి మార్చి వాటి మధ్య సమన్వయాన్ని లెక్క కట్టి ఆశించిన పనులను విజయవంతంగా పూర్తి చేస్తుంది. ఈ ఉన్నతస్థాయి గణిత ప్రక్రియకు సంబంధించిన ప్రాథమిక అంశాలపై పోటీ పరీక్షల్లో ప్రశ్నలు వస్తున్నాయి. వాటిపై అభ్యర్థులు తగిన అవగాహన పెంపొందించుకోవాలి.
ఒక త్రిభుజంలోని భుజాలు, కోణాల మధ్య సంబంధాన్ని అన్వయనం చేసేదే త్రికోణమితి.
Trigonometry = Tri + gonia + metry (మూడు + కోణాలు + కొలత)
* భుజాలు, కోణాల మధ్య సంబంధాన్ని తెలిపినవారు హిప్పోక్రస్.
త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు మూడు
త్రికోణమితీయ విలోమ నిష్పత్తులు మూడు
* బేసి ప్రమేయాలు
Sin(−θ) = −Sinθ
Cosec(−θ) = −Cosecθ
Tan(−θ) = −Tanθ
Cot(−θ) = −Cotθ
* సరి ప్రమేయాలు
Cos(−θ) = Cosθ
Sec(−θ) = Secθ
* Sin(90 − θ) = Cosθ
Sin(90 + θ) = Cosθ
Sin(180 − θ) = Sinθ
Sin(180 + θ) = −Sinθ
* 90o, 270o వద్ద త్రికోణమితి ప్రమేయాలు మారతాయి.
* 180o, 360oవద్ద త్రికోణమితి ప్రమేయాలు మారవు.
త్రికోణమితి సర్వ సమీకరణాలు
1) Sin2θ+ Cos2θ = 1
2) Sec2θ− Tan2θ = 1
3) Cosec2θ − Cot2θ = 1
పైథాగరస్ త్రికాలు
కర్ణం2 = ఎదుటి భుజం2+ఆసన్న భుజం2
[H2 = P2 + B2]
త్రికాలు (Triplets)
3, 4, 5
5, 12, 13
7, 24, 25
8, 15, 17
బేసి త్రికాలు
* బేసి సంఖ్యను వర్గం చేసి రెండుతో భాగిస్తే వచ్చే సంఖ్యకు ముందు, తర్వాత సంఖ్యలు ఆ సంఖ్యతో పైథాగారస్ త్రికాలు అవుతాయి.
సరి త్రికాలు
సరి సంఖ్యను వర్గం చేసి నాలుగుతో భాగిస్తే వచ్చే సంఖ్యకు ముందు, తర్వాత సంఖ్యలు ఆ సంఖ్యతో పైథాగారస్ త్రికాలు అవుతాయి.
* 3, 4, 5 త్రికాలను - అనే సహజ సంఖ్యతో గుణించగా వచ్చే 3n, 4n, 5n కూడా పైథాగారస్ త్రికాలే అవుతాయి.
ఉదా: * 3, 4, 5 → 6, 8, 10
→ 9, 12, 15
→ 12, 16, 20
→ 30, 40, 50
* 5, 12, 13 → 10, 24, 26
→15, 36, 39
→ 50, 120, 130
* Sinx = Cosy
Secx = Cosecy
Tanx = Cot y
మాదిరి ప్రశ్నలు
1. 2 Tan245o + Cos230o - Sin260o =
1) 1 2) 0 3)2 4) 1
వివరణ: 2 Tan245o + Cos230o - Sin260o
జ: 3
1
1) 1 2) 0 3) 1/2 4) 2
Sin2θ + Cos2θ = 1
Sec2θ − Tan2θ = 1
1/1=1
జ: 1
జ: 4
జ: 3
5. Tan1o.Tan2o.Tan3o ..... Tan88o Tan89oవిలువ ఎంత?
వివరణ: Tanθ.Cotθ = 1
(Tan1o.Tan 89o) (Tan2o.Tan88o) ... (Tan45o)
Tan1o.Tan (90 − 1o) ⇒ Tan1o.Cot1o = 1
⇒ 1.1.1 ... 1 = 1
జ: 3
6. Tan35o.Tan45o.Tan55o విలువ ఎంత?
1)1/2 2) 2 3) 0 4) 1
వివరణ:(Tan35o.Tan55o)Tan45o
= (Tan35o.Cot35o)Tan45o
= 1.1 = 1
జ: 4
7. Sin221o + Sin269o =
1) 1 2) 0 3) 2 Sin221o 4) 2 Sin269o
వివరణ: Sin2210 + Sin2 690
Sin221o + Sin2(90o − 21o)
Sin221o + Cos221o = 1
జ: 1
వివరణ: Sec4θ − Tan4θ
= (Sec2θ − Tan2θ)(Sec2θ + Tan2θ) ( a2 − b2 = (a + b)(a − b))
జ: 1
1) 5 2) 1 3) 3 4) 4
= 5 Cos2θ + 2 Sin2θ + 3 Sin2θ
= 5(Cos2θ + Sin2θ) = 5(1) = 5
జ: 1
జ: 3
11. TanA = CotB అయితే A + B =
1) 60o 2) 90o 3) 45o 4) 55o
వివరణ: TanA = CotB
TanA = Tan(90 − B)
A = 90 − B ⇒ A + B = 90o
జ: 2
12. Tan2A = Cot(A - 18o), 2A ఒక అల్ప కోణం అయితే A విలువ ఎంత?
1) 32o 2) 36o 3) 40o 4) 44o
వివరణ: Tan 2A = Cot(A − 18o)
Tan 2A = Tan(90 − (A − 18o))
2A = 108 − A
3A = 108
A = 36o
జ: 2
Cosθ + Sinθ = x అనుకుందాం
ఇరువైపులా వర్గం చేసి రెండు సమీకరణాలను కలిపితే
(Cosθ − Sinθ )2 + (Cosθ + Sinθ )2
= 2 Sin2θ + x2
(a + b)2 + (a − b)2 = 2(a2 + b2)
2(Sin2θ + Cos2θ) = 2 Sin2θ + x2
2 = 2 Sin2θ + x2
x2 = 2 − 2 Sin2θ = 2(1 − Sin2θ)
x2 = 2 Cos2θ
జ: 2
14. Cosθ - 4Sinθ = 1అయితే Sinθ + 4 Cosθ =
వివరణ: θ = 0 ను ప్రతిక్షేపిస్తే
Cosθ − 4 Sinθ = 1 ⇒ θ = 0 తృప్తి పరిస్తే
∴ Sin0o + 4 cos0o = 4
జ: 4
15. Sinθ + Sin2θ = 1 అయితే Cos2θ + Cos4θ =
వివరణ: Sinθ + Sin2θ = 1
Sinθ = 1 − Sin2θ
Sinθ= Cos2θ
Cos2θ + Cos4θ = Sinθ + Sin2θ = 1
జ: 3
16. Sinθ + Sin2θ = 1అయితే Cos8θ + 2 Cos6θ + Cos4θ =
వివరణ: Sinθ = 1 − Sin2θ
Sinθ = Cos2θ
Cos8θ + 2 Cos6θ + Cos4θ
= Sin4θ + 2 Sin3θ + Sin2θ
= (Sin2θ + Sinθ )2 = 12 = 1
జ: 3
జ: 1
2Secθ/ 2Tanθ = 8/2
జ: 1
జ: 3
జ: 2
జ: 4
22. Tan60o.Cosec 60o.Tan45o విలువ ఎంత?
1) 5 2) 6 3) 3 4) 2
వివరణ: Tan60o.Cosec 60o.Tan45o
జ: 4
24. 4 Cot245o - Sec260o + Sin260o + Cos290o=
వివరణ: 4 Cot245o - Sec260o + Sin260o + Cos290o
జ: 1
25. Sin2 200o + Sin2 250o + 2 Sin2 280o + Sin2 370o విలువ ఎంత?
1) 2 2) 3 3) 4 4) 6
వివరణ: Sin2(180 + 20) + Sin2(180 + 70) + Sin2(360 − 80) + Sin2(360 + 10o)
= Sin2 20 + (−Sin70)2 + (−Sin80)2 + (Sin10)2
= Sin2 20 + Cos2 20 + Cos2 10 + Sin2 10
= 1+1 = 2
జ: 1
జ: 3
27. Tan 9o = p/q అయితే
జ: 4
28. 3 Sinθ + 5 Cosθ = 5 అయితే 5 Sinθ - 3 Cosθ విలువ ఎంత?
వివరణ: 3 Sinθ + 5 Cosθ = 5
5 Sinθ − 3 Cosθ = x అనుకుందాం
ఇరువైపులా వర్గం చేసి కలపగా
(3Sinθ − 5Cosθ)2 + (5Sinθ − 3Cosθ)2
32(1) + 52(1) = 52 + x2
x2 = 9 ⇒ x = + 3
జ: 1
జ: 3
30. Sin6θ + Cos6θ + 3 Sin2θ.Cos2θ విలువ ఎంత?
వివరణ: θ = 0o లేదా 90oని ప్రతిక్షేపిస్తే జవాబు వస్తుంది.
0 + 1 + 3(0)(1) = 1
జ: 3
రచయిత: డి.సీహెచ్.రాంబాబు