గుర్తుండిపోయే గుణిజ భాజకాల బంధం!
పోటీ పరీక్షల్లో కసాగు, గసాభాలపై విడివిడిగా ప్రశ్నలు వస్తాయి. దాంతోపాటు రెండింటినీ కలిపి అడిగే ప్రశ్నలనూ తరచూ ఇస్తున్నారు. అందుకే ఆ తరహా లెక్కపైనా అభ్యర్థులు ప్రత్యేకంగా దృష్టిపెట్టాలి. వీటిని నేర్చుకుంటే కసాగు, గసాభాల మధ్య బంధం బాగా గుర్తుండిపోతుంది. ఇతర అధ్యాయాల లెక్కలను తేలిగ్గా చేయగలుగుతారు.
* రెండు సంఖ్యల లబ్ధం వాటి కసాగు, గసాభాల లబ్ధానికి సమానం.
రెండు సంఖ్యల లబ్ధం = ఆ రెండు సంఖ్యల కసాగు x గసాభా
* రెండు సంఖ్యల గసాభా 1 అయితే అవి సహ ప్రధాన సంఖ్యలు.
మాదిరి ప్రశ్నలు
1. రెండు సంఖ్యల మొత్తం 55. వాటి కసాగు, గసాభాలు వరుసగా 120, 5 అయితే ఆ సంఖ్యల విలోమాల మొత్తం ఎంత?
జవాబు: 3
సాధన: రెండు సంఖ్యలు x, y అనుకుందాం
దత్తాంశం ప్రకారం x + y = 55
2. రెండు సంఖ్యల కసాగు వాటి గసాభాకు 45 రెట్లు. వాటి కసాగు, గసాభాల మొత్తం 1150. అందులో ఒక సంఖ్య 125 అయితే రెండో సంఖ్య ఎంత?
1) 215 2) 220 3) 225 4) 235
జవాబు: 3
సాధన: రెండు సంఖ్యల గసాభా, కసాగులు వరుసగా h, l అనుకుందాం
దత్తాంశం ప్రకారం l = 45h,
రెండు సంఖ్యల గసాభా, కసాగుల మొత్తం l + h = 1150
3. రెండు సంఖ్యల కసాగు 864, గసాభా 144. వాటిలో ఒక సంఖ్య 288 అయితే మరొక సంఖ్య ఎంత?
1) 576 2) 1296 3) 96 4) 432
జవాబు: 4
సాధన: దత్తాంశంలో కసాగు, గసాభా ఉంటే ఉపయోగించాల్సిన సూత్రం
రెండు సంఖ్యల లబ్ధం = ఆ రెండు సంఖ్యల కసాగు x గసాభా
4. రెండు సహ ప్రధాన సంఖ్యల లబ్ధం 117. అయితే వాటి కసాగు ఎంత?
1) 1 2) 117
3) వాటి గసాభాకు సమానం 4) నిర్వచించలేం
జవాబు: 2
సాధన: రెండు సహ ప్రధాన సంఖ్యల గసాభా ఎల్లప్పుడూ 1 కి సమానం
రెండు సంఖ్యల లబ్ధం = ఆ రెండు సంఖ్యల కసాగు x గసాభా
117 = కసాగు x 1
కసాగు = 117
5. రెండు సంఖ్యల మొత్తం 528. వాటి గసాభా 33. అయితే అలాంటి జతలు ఎన్ని ఉంటాయి?
1) 3 2) 4 3) 5 4) 6
జవాబు: 2
సాధన: రెండు సంఖ్యలు x, y అనుకుందాం, వాటి గసాభా 33
అప్పుడు సంఖ్యలు 33x, 33y
దత్తాంశం ప్రకారం 33x + 33y = 528
6. రెండు సంఖ్యల లబ్ధం 2028. వాటి గసాభా 13 అలాంటి జతలు ఎన్ని ఉంటాయి?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
జవాబు: 2
సాధన: రెండు సంఖ్యలు x, y అనుకుందాం
వాటి గసాభా 13, అప్పుడు ఆ సంఖ్యలు 13x, 13y అవుతాయి.
దత్తాంశం ప్రకారం లబ్ధం 13x x 13y = 2028
రెండు సంఖ్యల లబ్ధం 12 అవడానికి అవకాశం 1 x 12, 2 x 6, 3 x 4
వీటిలో ఏ జత గసాభా 1 అయితే దాన్ని తీసుకుంటారు.
2 జతలు ఉంటాయి.
7. రెండు సంఖ్యల కసాగు, గసాభా 385, 11. వాటిలో ఒక సంఖ్య 75, 125 మధ్యలో ఉంటుంది. అయితే ఆ సంఖ్య ఎంత?
1) 77 2) 88 3) 99 4) 110
జవాబు: 1
సాధన: రెండు సంఖ్యలు వరుసగా x, y వాటి గసాభా 11 అప్పుడు
ఆ సంఖ్యలు 11x, 11y అవుతాయి.
రెండు సంఖ్యల లబ్ధం = ఆ రెండు సంఖ్యల కసాగు x గసాభా
రెండు సంఖ్యల లబ్ధం 35 కావడానికి గల అవకాశం
1 x 35 గసాభా 1
5 x 7 గసాభా 1
35 లబ్ధంగా గల సహ ప్రధాన సంఖ్యలు (1, 35), (5, 7)
కాబట్టి సంఖ్యలు (11 x 1, 11 x 35); (11 x 5, 11 x 7)
(11, 385), (55, 77)
ఒక సంఖ్య 75, 125 మధ్యలో ఉండాలి కాబట్టి
అనుకూలమైన సంఖ్యాయుగ్మం (55, 77)
కావాల్సిన సంఖ్య 77
8. రెండు సంఖ్యల గసాభా 11, కసాగు 7700. ఆ సంఖ్యల్లో ఒకటి 275 అయితే రెండో సంఖ్య?
1) 279 2) 283 3) 308 4) 318
జవాబు: 3
సాధన: రెండు సంఖ్యలు x, y అనుకుందాం
దత్తాంశం ప్రకారం x = 275
గసాభా = 11, కసాగు = 7700
రెండు సంఖ్యల లబ్ధం = ఆ రెండు సంఖ్యల కసాగు x గసాభా
9. రెండు సంఖ్యల గసాభా 84, కసాగు 21. ఆ సంఖ్యల నిష్పత్తి 1 : 4 అయితే వాటిలో పెద్ద సంఖ్య?
1) 12 2) 84 3) 48 4) 108
జవాబు: 2
సాధన: దత్తాంశం ప్రకారం రెండు సంఖ్యల మధ్య నిష్పత్తి 1 : 4
అప్పుడు ఆ సంఖ్యలు x, 4x అవుతాయి
రెండు సంఖ్యల లబ్ధం = రెండు సంఖ్యల కసాగు x గసాభా
10. మూడు సంఖ్యల కసాగు 2400, వాటి మధ్య నిష్పత్తి 3 : 4 : 5. అయితే వాటి గసాభా ఎంత?
1) 80 2) 40 3) 120 4) 200
జవాబు: 2
సాధన: దత్తాంశం ప్రకారం మూడు సంఖ్యల కసాగు 2400
3, 4, 5 ల కసాగు 60 అవుతుంది.
కావాల్సిన సంఖ్యలు 3x, 4x, 5x అయితే వాటి కసాగు 60x అవుతుంది
* రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సంఖ్యల సామాన్య కారణాంకాల్లో మిక్కిలి చిన్నదాన్ని వాటి 'కనిష్ఠ సామాన్య గుణిజం' (క.సా.గు.) అంటారు.
* రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సంఖ్యల సామాన్య కారణాంకాల్లో మిక్కిలి పెద్దదాన్ని వాటి 'గరిష్ఠ సామాన్య భాజకం' (గ.సా.భా.) అంటారు.
* రెండు సంఖ్యల లబ్ధం వాటి గ.సా.భా., క.సా.గు.ల లబ్ధానికి సమానం.
* రెండు సహ ప్రధాన సంఖ్యల గ.సా.భా 1 అవుతుంది.
భిన్న రూపంలో
* క.సా.గు., గ.సా.భా.లను లెక్కించడానికి రెండు పద్ధతులు ఉన్నాయి.
1. ప్రధాన కారణాంకాల పద్ధతి
2. భాగహార పద్ధతి
ఉదా: 48, 60 ల క.సా.గు., గ.సా.భా.లను కనుక్కోండి.
సాధన:
i) మొదటి పద్ధతి: ఇచ్చిన సంఖ్యలను ప్రధాన సంఖ్యల లబ్ధంగా రాయాలి.
48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 24 × 3
60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 22 × 3 × 5
క.సా.గు. = 24 × 3 × 5 = 16 × 3 × 5 = 240
గ.సా.భా. = 22 × 3 = 4 × 3 = 12
ii) రెండో పద్ధతి:
క.సా.గు. = 2 × 3 × 2 × 2 × 2 × 5 = 240
గ.సా.భా. = పెద్ద సంఖ్యను చిన్న సంఖ్యతో భాగించాలి. ఈ పద్ధతిలో భాజకాలను వచ్చిన శేషాలతో వరుసగా శేషం సున్నా వచ్చేదాకా భాగించాలి. చివరి భాజకం ఇచ్చిన సంఖ్యల గరిష్ఠ సామాన్య భాజకం అవుతుంది.
∴ కాబట్టి 48, 60 ల గ.సా.భా. 12 అవుతుంది.
మాదిరి ప్రశ్నలు
1. 112, 140, 168 లతో భాగించగల కనిష్ఠ సంఖ్య ఏది?
ఎ) 1680 బి) 1780 సి) 1880 డి) 1580
జవాబు: ఎ
క.సా.గు.= 2 × 2 × 2 × 7 × 2 × 5 × 3 = 1680
2. రెట్టింపు చేసినప్పుడు 12, 18, 21, 30 లతో నిశ్శేషంగా భాగించగల కనిష్ఠ సంఖ్య ఏది?
ఎ) 196 బి) 630 సి) 1260 డి) 2520
జవాబు: బి
క.సా.గు. = 2 × 3 × 2 × 3 × 7 × 5 = 1260
కావాల్సిన సంఖ్య = 
= 630
3. ఏ కనిష్ఠ సంఖ్యను 12, 15, 20, 54 లతో భాగిస్తే ప్రతిదానిలో 8 శేషం వస్తుంది?
ఎ) 504 బి) 536 సి) 544 డి) 548
జవాబు: డి
క.సా.గు. = 2 × 3 × 5 × 2 × 9 = 540
కావాల్సిన సంఖ్య = 540 + 8 = 548
4. ఏ కనిష్ఠ సంఖ్య నుంచి 7 ను తీసివేస్తే 12, 16, 18, 21, 28 లతో నిశ్శేషంగా భాగితమవుతుంది?
ఎ) 1008 బి) 1015 సి) 1022 డి) 1032
జవాబు: బి
క.సా.గు. = 2 × 3 × 7 × 2 × 4 × 3 = 1008
కావాల్సిన సంఖ్య = 1008 + 7 = 1015
తీసివేస్తే అన్నప్పుడు +
కలిపితే అన్నప్పుడు -
5. 16, 20, 24 లతో భాగించగల కనిష్ఠ వర్గం ఏది?
ఎ) 1600 బి) 3600 సి) 6400 డి) 14400
జవాబు: బి
= 240
పై కారణాంకాలను జతలుగా చేసి, మిగిలిన వాటిని క.సా.గు.తో గుణించాలి.
కావాల్సిన సంఖ్య = 240 × 5 × 3 = 3600
6. ఆరు గంటలు ఒకే కాలంలో మోగడం ప్రారంభించి, 2, 4, 6, 8, 10, 12 సెకన్లకు ఒకేసారి మోగుతాయి. 30 నిమిషాల్లో అన్ని గంటలు ఎన్నిసార్లు ఒకే సమయంలో మోగుతాయి?
ఎ) 4 బి) 10 సి) 15 డి) 16
జవాబు: డి
క.సా.గు. = 2 × 2 × 3 × 2 × 5 = 120 సెకన్లు 120
నిమిషాలు = 
= 2 ని||
కావాల్సింది = 
+ 1 = 16 సార్లు
7. రెండు సంఖ్యల క. సా. గు 48, వాటి మధ్య నిష్పత్తి 2 : 3 అయితే పెద్ద సంఖ్య ఏది?
ఎ) 16 బి) 24 సి) 32 డి) 40
జవాబు: బి
సాధన:
కావాల్సిన సంఖ్యలు 2x, 3x అనుకుంటే వాటి క. సా. గు. 6x = 48
x = 
= 8
పెద్ద సంఖ్య 3x = 3 × 8 = 24
8. 12, 15, 18 లతో నిశ్శేషంగా భాగించగల 5 అంకెల చిన్న సంఖ్య ఏది?
ఎ) 10010 బి) 10015 సి) 10020 డి) 10080
జవాబు: డి
క.సా.గు. = 3 × 2 × 2 × 5 × 3 = 180
5 అంకెల చిన్న సంఖ్య = 10000
180 - 100 = 80
∴ కావాల్సిన సంఖ్య = 10000 + 80 = 10080
9. 480, 450, 120 లను భాగించే గరిష్ఠ సంఖ్య ఏది?
ఎ) 30 బి) 45 సి) 90 డి) 120
జవాబు: ఎ
సాధన: పెద్ద సంఖ్యను చిన్న సంఖ్యతో భాగించాలి.
10. ఏ గరిష్ఠ సంఖ్యతో 47, 67, 107 లను భాగిస్తే ప్రతిదానిలో శేషం 7 వస్తుంది?
ఎ) 15 బి) 20 సి) 25 డి) 30
జవాబు: బి
సాధన: ముందు అన్నింటిలోంచి 7 తీసేసి, గ.సా.భా. కనుక్కోవాలి.
కావాల్సిన సంఖ్య = 20
11. రెండు సంఖ్యల క.సా.గు. 1320, వాటి గ.సా.భా. 12. అందులో ఒకటి 132 అయితే మరో సంఖ్య ఎంత?
ఎ) 120 బి) 150 సి) 90 డి) 180
జవాబు: ఎ
సాధన: రెండు సంఖ్యల లబ్ధం = క.సా.గు. × గ.సా.భా.
132 × x = 1320 × 12
x = 120
12. 15, 25, 40, 75 లతో భాగించగల 4 అంకెల పెద్ద సంఖ్య ఏది?
ఎ) 9000 బి) 9400 సి) 9600 డి) 9800
జవాబు: సి
క.సా.గు = 5 × 3 × 5 × 8 = 600
4 అంకెల పెద్ద సంఖ్య = 9999
∴ కావాల్సిన సంఖ్య = 9999 - 399 = 9600
3, 9, 81, 27 ల క.సా.గు.
క.సా.గు. = 3 × 3 × 3 × 3 = 81
14. రెండు సహ ప్రధాన సంఖ్యల లబ్ధం 117 అయితే వాటి క.సా.గు. ఎంత?
ఎ) 1 బి) 117 సి) వాటి H.C.F. కు సమానం డి) లెక్కించలేం
జవాబు: బి
సాధన: రెండు సహ ప్రధాన సంఖ్యల గ.సా.భా. ఎల్లప్పుడు 1కి సమానం
రెండు సంఖ్యల లబ్ధం = క.సా.గు. × గ.సా.భా.
117 = x × 1
∴ x = 117
15. రెండు సంఖ్యల లబ్ధం 4212, గ.సా.భా. 9 అయితే అందుకు సాధ్యమయ్యే సంఖ్యల జతను కనుక్కోండి.
జ: 36, 117
16. రెండు సంఖ్యల లబ్ధం 1320, వాటి గ.సా.భా. 6 అయితే ఆ సంఖ్యల క.సా.గు. ఎంత?
జ: 220
17. 26, 56, 104, 182 ల క.సా.గు. ఎంత?
జ: 728
18. ప్రతిసారి శేషం 2 వచ్చే, 42, 142 లను భాగిస్తే వచ్చే మిక్కిలి పెద్దసంఖ్య కిందివాటిలో ఏది?
జ: 20
19. 7, 10, 15, 21, 28 లతో నిశ్శేషంగా భాగించగల అయిదంకెల గరిష్ఠ సంఖ్య ఏది?
జ: 99960
1. కారణాంక పద్ధతి
I) 18, 27, 54 ల క.సా.గు. ఎంత?
2. భాగహార పద్ధతి:
I) 18, 28, 35, 60, 100 ల క.సా.గు. ఎంత?
సాధన :
క.సా.గు. 2 × 5 × 7 × 2 × 3 × 3 × 5 = 6300
II) 384, 432, 1200 ల గ.సా.భా. ఎంత?
సాధన : పెద్ద సంఖ్యను చిన్న సంఖ్యతో శేషం సున్నా వచ్చే వరకు భాగించాలి.
ఇప్పుడు 48 మిగిలిన సంఖ్యను (432) నిశ్శేషంగా భాగిస్తే అదే గ.సా.భా. అవుతుంది
1. 148, 185 ల క.సా.గు. ఎంత?
జ. 740
సాధన :
క.సా.గు. = 37 × 4 × 5 = 740
2. 36, 84 ల గ.సా.భా. ఎంత?
జ. 12
సాధన :
36, 84 ల గ.సా.భా. 12 అవుతుంది.
3. 12, 15, 20, 54 లను ఏ కనిష్ఠ సంఖ్యతో భాగిస్తే శేషం 8 వస్తుంది?
జ. 548
సాధన:
కనిష్ఠ సంఖ్య అంటే క.సా.గు.ను కనుక్కోవాలి.
క.సా.గు. 3 × 5 × 2 × 2 × 9 = 540
శేషం 8 మిగలాలంటే 8 ని క.సా.గు.కు కలపాలి.
= 540 + 8 = 548
4. 261, 933, 1381లను ఏ గరిష్ఠ సంఖ్యతో భాగిస్తే శేషం 5 వస్తుంది?
జ. 32
సాధన : గరిష్ఠ సంఖ్య అంటే గ.సా.భా.ను కనుక్కోవాలి.
32 అనేది 928 ను నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది.
కాబట్టి గరిష్ఠ సంఖ్య 32.
5. 8, 12, 15, 18 లను ఏ కనిష్ఠ సంఖ్యతో భాగిస్తే వరుసగా శేషాలు 5, 9, 12, 15 వస్తాయి?
జ. 357
సాధన :
క.సా.గు. = 360
ఇప్పుడు
కావాల్సిన సంఖ్య = 360 - 3 = 357 అవుతుంది.
6. 29, 60, 103 లను ఏ గరిష్ఠ సంఖ్యతో భాగిస్తే వరుసగా శేషాలు 5, 12, 7 వస్తాయి?
జ. 24
సాధన :
48ని 24 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది.
కాబట్టి గరిష్ఠ సంఖ్య 24.
7. 12, 20, 25 లతో భాగించగల కనిష్ఠ వర్గం ఏది?
జ. 900
సాధన :
క.సా.గు. = 5 × 2 × 2 × 3 × 5
= 300.
ఇందులో జతల కారణాంకాలను వదిలి మిగిలిన వాటి క.సా.గు.నే గుణించాలి.
= 300 × 3 (5, 7 లు జతలు ఉన్నాయి)
= 900
8. 98, 120, 153 లను ఏ గరిష్ఠ సంఖ్యతో భాగిస్తే అన్నింటిలో ఒకే శేషం (సమాన శేషం) వస్తుంది?
జ. 11
సాధన : పెద్ద సంఖ్యల నుంచి చిన్న సంఖ్యలను తీసివేసి గ.సా.భా. కనుక్కోవాలి.
153 - 98 = 55; 153 - 120 = 33; 120 - 98 = 22
33ను కూడా 11 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది. కాబట్టి గరిష్ఠ సంఖ్య 11.
9. రెండు సంఖ్యల మధ్య నిష్పత్తి 5 : 7. వాటి క.సా.గు. 350 అయితే అందులో పెద్ద సంఖ్య ఎంత?
జ. 70
సాధన : రెండు సంఖ్యలు 5x, 7x అనుకుందాం.
వాటి క.సా.గు. 35x అవుతుంది
అప్పుడు 35 x = 350
పెద్ద సంఖ్య = 7x = 7 × 10
= 70
10. 15, 25, 40, 75 లతో భాగించగల నాలుగు అంకెల గరిష్ట సంఖ్య ఏది?
జ. 9600
సాధన: నాలుగు అంకెల పెద్ద సంఖ్య = 9999
క.సా.గు. = 600
ఇప్పుడు 
కావాల్సిన సంఖ్య = 9999 - 399 = 9600
11. రెండు సంఖ్యల లబ్ధం 1320, వాటి గ.సా.భా. 6 అయితే వాటి క.సా.గు. ఎంత?
జ. 220
సాధన : రెండు సంఖ్యల లబ్ధం = ఆ రెండు సంఖ్యల L.C.M.× H.C.F.
1320 = L.C.M. × 6
క.సా.గు. = 220 అవుతుంది
12. ఒక పాల వ్యాపారి దగ్గర మూడు విభిన్న పాత్రలలో 496 లీ., 403 లీ., 713 లీటర్ల పాలు, నీళ్ల మిశ్రమాలు ఉన్నాయి. వాటిని కచ్చితంగా కొలిచే గరిష్ఠ పరిమాణం ఎంత?
జ. 31 లీటర్లు
సాధన : గరిష్ఠ కొలత అంటే ఇచ్చిన వాటికి గ.సా.భా. కనుక్కోవాలి.
496, 403, 713 ల గ.సా.భా.
31 అనేది 496 ను నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది. కాబట్టి గరిష్ఠ కొలత 31 లీ.
13. ఏ కనిష్ఠ సంఖ్యను రెట్టింపు చేసినప్పుడు 12, 18, 21, 30 లతో నిశ్శేషంగా భాగించవచ్చు?
జ. 630
సాధన: కనిష్ఠ సంఖ్య అంటే క.సా.గు. కనుక్కోవాలి
12, 18, 21, 30 ల క.సా.గు.
క.సా.గు. = 1260. దీన్ని 2 తో భాగించాలి
కావల్సిన సంఖ్య = 630
రచయిత: బిజ్జుల విష్ణువర్ధన్‌ రెడ్డి
