• facebook
  • whatsapp
  • telegram

క.సా.గు & గ.సా.భా 

గుర్తుండిపోయే గుణిజ భాజకాల బంధం!

  పోటీ పరీక్షల్లో కసాగు, గసాభాలపై విడివిడిగా ప్రశ్నలు వస్తాయి. దాంతోపాటు రెండింటినీ కలిపి అడిగే ప్రశ్నలనూ తరచూ ఇస్తున్నారు. అందుకే ఆ తరహా లెక్కపైనా అభ్యర్థులు ప్రత్యేకంగా దృష్టిపెట్టాలి. వీటిని నేర్చుకుంటే కసాగు, గసాభాల మధ్య బంధం బాగా గుర్తుండిపోతుంది. ఇతర అధ్యాయాల లెక్కలను తేలిగ్గా చేయగలుగుతారు.  

 

* రెండు సంఖ్యల లబ్ధం వాటి కసాగు, గసాభాల లబ్ధానికి సమానం.

రెండు సంఖ్యల లబ్ధం = ఆ రెండు సంఖ్యల కసాగు x గసాభా

* రెండు సంఖ్యల గసాభా 1 అయితే అవి సహ ప్రధాన సంఖ్యలు.

 

మాదిరి ప్రశ్నలు

 

1. రెండు సంఖ్యల మొత్తం 55. వాటి కసాగు, గసాభాలు వరుసగా 120, 5 అయితే ఆ సంఖ్యల విలోమాల మొత్తం ఎంత?

జవాబు: 3

సాధన: రెండు సంఖ్యలు x, y అనుకుందాం 

దత్తాంశం ప్రకారం x + y = 55

 

2. రెండు సంఖ్యల కసాగు వాటి గసాభాకు 45 రెట్లు. వాటి కసాగు, గసాభాల మొత్తం 1150. అందులో ఒక సంఖ్య 125 అయితే రెండో సంఖ్య ఎంత?

1) 215     2) 220      3) 225     4) 235

జవాబు: 3

సాధన: రెండు సంఖ్యల గసాభా, కసాగులు వరుసగా h, l అనుకుందాం 

దత్తాంశం ప్రకారం l = 45h, 

రెండు సంఖ్యల గసాభా, కసాగుల మొత్తం l + h = 1150

 

3. రెండు సంఖ్యల కసాగు 864, గసాభా 144. వాటిలో ఒక సంఖ్య 288 అయితే మరొక సంఖ్య ఎంత?

1) 576     2) 1296     3) 96     4) 432

జవాబు: 4

సాధన: దత్తాంశంలో కసాగు, గసాభా ఉంటే ఉపయోగించాల్సిన సూత్రం

రెండు సంఖ్యల లబ్ధం = ఆ రెండు సంఖ్యల కసాగు x గసాభా

 

4. రెండు సహ ప్రధాన సంఖ్యల లబ్ధం 117. అయితే వాటి కసాగు ఎంత?

1) 1           2) 117   

3) వాటి గసాభాకు సమానం 4) నిర్వచించలేం

జవాబు: 2

సాధన: రెండు సహ ప్రధాన సంఖ్యల గసాభా ఎల్లప్పుడూ 1 కి సమానం

రెండు సంఖ్యల లబ్ధం = ఆ రెండు సంఖ్యల కసాగు x గసాభా 

117 = కసాగు x 1

కసాగు = 117 

 

5. రెండు సంఖ్యల మొత్తం 528. వాటి గసాభా 33. అయితే అలాంటి జతలు ఎన్ని ఉంటాయి?

1) 3   2) 4   3) 5   4) 6

జవాబు: 2

సాధన: రెండు సంఖ్యలు x, y అనుకుందాం, వాటి గసాభా 33 

అప్పుడు సంఖ్యలు 33x, 33y

దత్తాంశం ప్రకారం  33x + 33y = 528

 

6. రెండు సంఖ్యల లబ్ధం 2028. వాటి గసాభా 13 అలాంటి జతలు ఎన్ని ఉంటాయి?

1) 1   2) 2    3) 3    4) 4

జవాబు: 2

సాధన: రెండు సంఖ్యలు x, y అనుకుందాం

వాటి గసాభా 13, అప్పుడు ఆ సంఖ్యలు 13x, 13y అవుతాయి.

దత్తాంశం ప్రకారం లబ్ధం 13x x 13y = 2028 

రెండు సంఖ్యల లబ్ధం 12 అవడానికి అవకాశం 1 x 12, 2 x 6, 3 x 4

వీటిలో ఏ జత గసాభా 1 అయితే దాన్ని తీసుకుంటారు. 

  2 జతలు ఉంటాయి.

 

7. రెండు సంఖ్యల కసాగు, గసాభా 385, 11. వాటిలో ఒక సంఖ్య 75, 125 మధ్యలో ఉంటుంది. అయితే ఆ సంఖ్య ఎంత?

1) 77   2) 88   3) 99   4) 110

జవాబు: 1

సాధన: రెండు సంఖ్యలు వరుసగా x, y వాటి గసాభా 11 అప్పుడు 

ఆ సంఖ్యలు 11x, 11y అవుతాయి.

రెండు సంఖ్యల లబ్ధం = ఆ రెండు సంఖ్యల కసాగు x గసాభా

రెండు సంఖ్యల లబ్ధం 35 కావడానికి గల అవకాశం

1 x 35   గసాభా 1

5 x 7   గసాభా 1

35 లబ్ధంగా గల సహ ప్రధాన సంఖ్యలు (1, 35), (5, 7)

కాబట్టి సంఖ్యలు (11 x 1, 11 x 35); (11 x 5, 11 x 7)

(11, 385), (55, 77)

ఒక సంఖ్య 75, 125 మధ్యలో ఉండాలి కాబట్టి 

అనుకూలమైన సంఖ్యాయుగ్మం (55, 77)

 కావాల్సిన సంఖ్య 77

 

8. రెండు సంఖ్యల గసాభా 11, కసాగు 7700. ఆ సంఖ్యల్లో ఒకటి 275 అయితే రెండో సంఖ్య?

1) 279     2) 283   3) 308  4) 318

జవాబు: 3

సాధన: రెండు సంఖ్యలు x, y అనుకుందాం

దత్తాంశం ప్రకారం x = 275 

గసాభా = 11, కసాగు = 7700

రెండు సంఖ్యల లబ్ధం = ఆ రెండు సంఖ్యల కసాగు x గసాభా

 

9. రెండు సంఖ్యల గసాభా 84, కసాగు 21. ఆ సంఖ్యల నిష్పత్తి 1 : 4 అయితే వాటిలో పెద్ద సంఖ్య?

1) 12   2) 84   3) 48   4) 108

జవాబు: 2

సాధన: దత్తాంశం ప్రకారం రెండు సంఖ్యల మధ్య నిష్పత్తి 1 : 4

అప్పుడు ఆ సంఖ్యలు x, 4x అవుతాయి

రెండు సంఖ్యల లబ్ధం = రెండు సంఖ్యల కసాగు x గసాభా

 

10. మూడు సంఖ్యల కసాగు 2400, వాటి మధ్య నిష్పత్తి 3 : 4 : 5. అయితే వాటి గసాభా ఎంత?

1) 80   2) 40   3) 120   4) 200

జవాబు: 2

సాధన: దత్తాంశం ప్రకారం మూడు సంఖ్యల కసాగు 2400

3, 4, 5 ల కసాగు 60 అవుతుంది.

కావాల్సిన సంఖ్యలు 3x, 4x, 5x అయితే వాటి కసాగు 60x అవుతుంది

 

* రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సంఖ్యల సామాన్య కారణాంకాల్లో మిక్కిలి చిన్నదాన్ని వాటి 'కనిష్ఠ సామాన్య గుణిజం' (క.సా.గు.) అంటారు.

* రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సంఖ్యల సామాన్య కారణాంకాల్లో మిక్కిలి పెద్దదాన్ని వాటి 'గరిష్ఠ సామాన్య భాజకం' (గ.సా.భా.) అంటారు.

* రెండు సంఖ్యల లబ్ధం వాటి గ.సా.భా., క.సా.గు.ల లబ్ధానికి సమానం.

* రెండు సహ ప్రధాన సంఖ్యల గ.సా.భా 1 అవుతుంది.

భిన్న రూపంలో 
 

      
 

* క.సా.గు., గ.సా.భా.లను లెక్కించడానికి రెండు పద్ధతులు ఉన్నాయి.
         1. ప్రధాన కారణాంకాల పద్ధతి
         2. భాగహార పద్ధతి
ఉదా: 48, 60 ల క.సా.గు., గ.సా.భా.లను కనుక్కోండి.
సాధన:
i) మొదటి పద్ధతి: ఇచ్చిన సంఖ్యలను ప్రధాన సంఖ్యల లబ్ధంగా రాయాలి.
       48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 24 × 3
       60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 22 × 3 × 5
       క.సా.గు. = 2× 3 × 5 = 16 × 3 × 5 = 240
       గ.సా.భా. = 2× 3 = 4 × 3 = 12
ii) రెండో పద్ధతి:

క.సా.గు. = 2 × 3 × 2 × 2 × 2 × 5 = 240
గ.సా.భా. = పెద్ద సంఖ్యను చిన్న సంఖ్యతో భాగించాలి. ఈ పద్ధతిలో భాజకాలను వచ్చిన శేషాలతో వరుసగా శేషం సున్నా వచ్చేదాకా భాగించాలి. చివరి భాజకం ఇచ్చిన సంఖ్యల గరిష్ఠ సామాన్య భాజకం అవుతుంది.

∴ కాబట్టి 48, 60 ల గ.సా.భా. 12 అవుతుంది.

మాదిరి ప్రశ్నలు

1. 112, 140, 168 లతో భాగించగల కనిష్ఠ సంఖ్య ఏది?
      ఎ) 1680       బి) 1780       సి) 1880       డి) 1580
జవాబు: ఎ

     క.సా.గు.= 2 × 2 × 2 × 7 × 2 × 5 × 3 = 1680
 

2. రెట్టింపు చేసినప్పుడు 12, 18, 21, 30 లతో నిశ్శేషంగా భాగించగల కనిష్ఠ సంఖ్య ఏది?
      ఎ) 196       బి) 630       సి) 1260       డి) 2520
జవాబు: బి

క.సా.గు. = 2 × 3 × 2 × 3 × 7 × 5 = 1260
కావాల్సిన సంఖ్య =   = 630

 

3. ఏ కనిష్ఠ సంఖ్యను 12, 15, 20, 54 లతో భాగిస్తే ప్రతిదానిలో 8 శేషం వస్తుంది?
      ఎ) 504       బి) 536       సి) 544       డి) 548
జవాబు: డి

         
    క.సా.గు. = 2 × 3 × 5 × 2 × 9 = 540
    కావాల్సిన సంఖ్య = 540 + 8 = 548

 

4. ఏ కనిష్ఠ సంఖ్య నుంచి 7 ను తీసివేస్తే 12, 16, 18, 21, 28 లతో నిశ్శేషంగా భాగితమవుతుంది?
      ఎ) 1008       బి) 1015       సి) 1022       డి) 1032
జవాబు: బి


క.సా.గు. = 2 × 3 × 7 × 2 × 4 × 3 = 1008
కావాల్సిన సంఖ్య = 1008 + 7 = 1015
                        తీసివేస్తే అన్నప్పుడు +
                         కలిపితే అన్నప్పుడు -

 

5. 16, 20, 24 లతో భాగించగల కనిష్ఠ వర్గం ఏది?
      ఎ) 1600       బి) 3600       సి) 6400       డి) 14400
జవాబు: బి

                   
                        = 240
పై కారణాంకాలను జతలుగా చేసి, మిగిలిన వాటిని క.సా.గు.తో గుణించాలి.
కావాల్సిన సంఖ్య = 240 × 5 × 3 = 3600

 

6. ఆరు గంటలు ఒకే కాలంలో మోగడం ప్రారంభించి, 2, 4, 6, 8, 10, 12 సెకన్లకు ఒకేసారి మోగుతాయి. 30 నిమిషాల్లో అన్ని గంటలు ఎన్నిసార్లు ఒకే సమయంలో మోగుతాయి?
      ఎ) 4       బి) 10       సి) 15       డి) 16

జవాబు: డి

క.సా.గు. = 2 × 2 × 3 × 2 × 5 = 120 సెకన్లు 120
నిమిషాలు =  = 2 ని||
కావాల్సింది =  + 1 = 16 సార్లు

 

7. రెండు సంఖ్యల క. సా. గు 48, వాటి మధ్య నిష్పత్తి 2 : 3 అయితే పెద్ద సంఖ్య ఏది?
      ఎ) 16       బి) 24       సి) 32       డి) 40
జవాబు: బి
సాధన:
కావాల్సిన సంఖ్యలు 2x, 3x అనుకుంటే వాటి క. సా. గు.  6x = 48
 x =  = 8
 పెద్ద సంఖ్య 3x = 3 × 8 = 24

 

8. 12, 15, 18 లతో నిశ్శేషంగా భాగించగల 5 అంకెల చిన్న సంఖ్య ఏది?
      ఎ) 10010       బి) 10015       సి) 10020       డి) 10080
జవాబు: డి

   క.సా.గు. = 3 × 2 × 2 × 5 × 3 = 180
   5 అంకెల చిన్న సంఖ్య = 10000

180 - 100 = 80
∴ కావాల్సిన సంఖ్య = 10000 + 80 = 10080

 

9. 480, 450, 120 లను భాగించే గరిష్ఠ సంఖ్య ఏది?
      ఎ) 30       బి) 45       సి) 90       డి) 120
జవాబు: ఎ
సాధన: పెద్ద సంఖ్యను చిన్న సంఖ్యతో భాగించాలి.

 

10. ఏ గరిష్ఠ సంఖ్యతో 47, 67, 107 లను భాగిస్తే ప్రతిదానిలో శేషం 7 వస్తుంది?
      ఎ) 15       బి) 20       సి) 25       డి) 30
జవాబు: బి
సాధన: ముందు అన్నింటిలోంచి 7 తీసేసి, గ.సా.భా. కనుక్కోవాలి.
             
 కావాల్సిన సంఖ్య = 20

 

11. రెండు సంఖ్యల క.సా.గు. 1320, వాటి గ.సా.భా. 12. అందులో ఒకటి 132 అయితే మరో సంఖ్య ఎంత?
      ఎ) 120       బి) 150       సి) 90       డి) 180
జవాబు: ఎ
సాధన: రెండు సంఖ్యల లబ్ధం = క.సా.గు. × గ.సా.భా.
132 × x = 1320 × 12

x = 120
 

12. 15, 25, 40, 75 లతో భాగించగల 4 అంకెల పెద్ద సంఖ్య ఏది?
      ఎ) 9000       బి) 9400       సి) 9600       డి) 9800
జవాబు: సి

 క.సా.గు = 5 × 3 × 5 × 8 = 600
4 అంకెల పెద్ద సంఖ్య = 9999

∴ కావాల్సిన సంఖ్య = 9999 - 399 = 9600
 


3, 9, 81, 27 ల క.సా.గు.
క.సా.గు. = 3 × 3 × 3 × 3 = 81

 

14. రెండు సహ ప్రధాన సంఖ్యల లబ్ధం 117 అయితే వాటి క.సా.గు. ఎంత?
      ఎ) 1       బి) 117      సి) వాటి H.C.F. కు సమానం       డి) లెక్కించలేం
జవాబు: బి
సాధన: రెండు సహ ప్రధాన సంఖ్యల గ.సా.భా. ఎల్లప్పుడు 1కి సమానం
రెండు సంఖ్యల లబ్ధం = క.సా.గు. × గ.సా.భా.
117 = x × 1
  x = 117

15. రెండు సంఖ్యల లబ్ధం 4212, గ.సా.భా. 9 అయితే అందుకు సాధ్యమయ్యే సంఖ్యల జతను కనుక్కోండి.
జ: 36, 117

 

16. రెండు సంఖ్యల లబ్ధం 1320, వాటి గ.సా.భా. 6 అయితే ఆ సంఖ్యల క.సా.గు. ఎంత?
జ: 220

 

17. 26, 56, 104, 182 ల క.సా.గు. ఎంత?
జ: 728

 

18. ప్రతిసారి శేషం 2 వచ్చే, 42, 142 లను భాగిస్తే వచ్చే మిక్కిలి పెద్దసంఖ్య కిందివాటిలో ఏది?
జ: 20

 

19. 7, 10, 15, 21, 28 లతో నిశ్శేషంగా భాగించగల అయిదంకెల గరిష్ఠ సంఖ్య ఏది?
జ: 99960


1. కారణాంక పద్ధతి
I) 18, 27, 54 ల క.సా.గు. ఎంత?

 

2. భాగహార పద్ధతి:
I) 18, 28, 35, 60, 100 ల క.సా.గు. ఎంత?
సాధన :

                          
క.సా.గు. 2 × 5 × 7 × 2 × 3 × 3 × 5 = 6300

 

II) 384, 432, 1200 ల గ.సా.భా. ఎంత?
సాధన : పెద్ద సంఖ్యను చిన్న సంఖ్యతో శేషం సున్నా వచ్చే వరకు భాగించాలి.

                              
ఇప్పుడు 48 మిగిలిన సంఖ్యను (432) నిశ్శేషంగా భాగిస్తే అదే గ.సా.భా. అవుతుంది

 

1. 148, 185 ల క.సా.గు. ఎంత?
జ. 740
సాధన : 

                          
క.సా.గు. = 37 × 4 × 5 = 740

 

2. 36, 84 ల గ.సా.భా. ఎంత?
జ. 12
సాధన :

                    
36, 84 ల గ.సా.భా. 12 అవుతుంది.


3. 12, 15, 20, 54 లను ఏ కనిష్ఠ సంఖ్యతో భాగిస్తే శేషం 8 వస్తుంది?
జ. 548
సాధన:
           కనిష్ఠ సంఖ్య అంటే క.సా.గు.ను కనుక్కోవాలి.

                                          
క.సా.గు. 3 × 5 × 2 × 2 × 9 = 540
శేషం 8 మిగలాలంటే 8 ని క.సా.గు.కు కలపాలి.
                             = 540 + 8 = 548

 

4. 261, 933, 1381లను ఏ గరిష్ఠ సంఖ్యతో భాగిస్తే శేషం 5 వస్తుంది?
జ. 32

సాధన : గరిష్ఠ సంఖ్య అంటే గ.సా.భా.ను కనుక్కోవాలి.
                                
          32 అనేది 928 ను నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది.
                  కాబట్టి గరిష్ఠ సంఖ్య 32.

 

5. 8, 12, 15, 18 లను ఏ కనిష్ఠ సంఖ్యతో భాగిస్తే వరుసగా శేషాలు 5, 9, 12, 15 వస్తాయి?
జ. 357
సాధన :

                        
క.సా.గు. = 360
ఇప్పుడు 

   
          కావాల్సిన సంఖ్య = 360 - 3 = 357 అవుతుంది.

 

6. 29, 60, 103 లను ఏ గరిష్ఠ సంఖ్యతో భాగిస్తే వరుసగా శేషాలు 5, 12, 7 వస్తాయి?
జ. 24
సాధన :

                
    48ని 24 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది.
     కాబట్టి గరిష్ఠ సంఖ్య 24.


7. 12, 20, 25 లతో భాగించగల కనిష్ఠ వర్గం ఏది?
జ. 900

సాధన :
                                
క.సా.గు. = 5 × 2 × 2 × 3 × 5
             = 300.
ఇందులో జతల కారణాంకాలను వదిలి మిగిలిన వాటి క.సా.గు.నే గుణించాలి.
            = 300 × 3 (5, 7 లు జతలు ఉన్నాయి)
            = 900

 

8. 98, 120, 153 లను ఏ గరిష్ఠ సంఖ్యతో భాగిస్తే అన్నింటిలో ఒకే శేషం (సమాన శేషం) వస్తుంది?
జ. 11
సాధన : పెద్ద సంఖ్యల నుంచి చిన్న సంఖ్యలను తీసివేసి గ.సా.భా. కనుక్కోవాలి.
             153 - 98 = 55; 153 - 120 = 33; 120 - 98 = 22


33ను కూడా 11 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది. కాబట్టి గరిష్ఠ సంఖ్య 11.

 

9. రెండు సంఖ్యల మధ్య నిష్పత్తి 5 : 7. వాటి క.సా.గు. 350 అయితే అందులో పెద్ద సంఖ్య ఎంత?
జ. 70
సాధన : రెండు సంఖ్యలు 5x, 7x అనుకుందాం.
             వాటి క.సా.గు. 35x అవుతుంది
             అప్పుడు 35 x = 350             

                              
          పెద్ద సంఖ్య = 7x = 7 × 10
                             = 70

 

10. 15, 25, 40, 75 లతో భాగించగల నాలుగు అంకెల గరిష్ట సంఖ్య ఏది?
జ. 9600
సాధన: నాలుగు అంకెల పెద్ద సంఖ్య = 9999

క.సా.గు. = 600    

ఇప్పుడు 

కావాల్సిన సంఖ్య = 9999 - 399 = 9600
 

11. రెండు సంఖ్యల లబ్ధం 1320, వాటి గ.సా.భా. 6 అయితే వాటి క.సా.గు. ఎంత?
జ. 220
సాధన : రెండు సంఖ్యల లబ్ధం = ఆ రెండు సంఖ్యల L.C.M.× H.C.F.
                       1320 = L.C.M. × 6
                   క.సా.గు. = 220 అవుతుంది

 

12. ఒక పాల వ్యాపారి దగ్గర మూడు విభిన్న పాత్రలలో 496 లీ., 403 లీ., 713 లీటర్ల పాలు, నీళ్ల మిశ్రమాలు ఉన్నాయి. వాటిని కచ్చితంగా కొలిచే గరిష్ఠ పరిమాణం ఎంత?
జ. 31 లీటర్లు
సాధన : గరిష్ఠ కొలత అంటే ఇచ్చిన వాటికి గ.సా.భా. కనుక్కోవాలి.
            496, 403, 713 ల  గ.సా.భా.

                                                                       
            31 అనేది 496 ను నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది. కాబట్టి గరిష్ఠ కొలత 31 లీ.

 

13. ఏ కనిష్ఠ సంఖ్యను రెట్టింపు చేసినప్పుడు 12, 18, 21, 30 లతో నిశ్శేషంగా భాగించవచ్చు?
జ. 630
సాధన: కనిష్ఠ సంఖ్య అంటే క.సా.గు. కనుక్కోవాలి
            12, 18, 21, 30 ల క.సా.గు.

                            
        క.సా.గు. = 1260.  దీన్ని 2 తో భాగించాలి
                                    
              కావల్సిన సంఖ్య = 630

 

రచయిత: బిజ్జుల విష్ణువర్ధన్‌ రెడ్డి 

 

Posted Date : 08-07-2022

గమనిక : ప్రతిభ.ఈనాడు.నెట్‌లో కనిపించే వ్యాపార ప్రకటనలు వివిధ దేశాల్లోని వ్యాపారులు, సంస్థల నుంచి వస్తాయి. మరి కొన్ని ప్రకటనలు పాఠకుల అభిరుచి మేరకు కృత్రిమ మేధస్సు సాంకేతికత సాయంతో ప్రదర్శితమవుతుంటాయి. ఆ ప్రకటనల్లోని ఉత్పత్తులను లేదా సేవలను పాఠకులు స్వయంగా విచారించుకొని, జాగ్రత్తగా పరిశీలించి కొనుక్కోవాలి లేదా వినియోగించుకోవాలి. వాటి నాణ్యత లేదా లోపాలతో ఈనాడు యాజమాన్యానికి ఎలాంటి సంబంధం లేదు. ఈ విషయంలో ఉత్తర ప్రత్యుత్తరాలకు, ఈ-మెయిల్స్ కి, ఇంకా ఇతర రూపాల్లో సమాచార మార్పిడికి తావు లేదు. ఫిర్యాదులు స్వీకరించడం కుదరదు. పాఠకులు గమనించి, సహకరించాలని మనవి.

 

కానిస్టేబుల్స్‌ : ప్రిలిమ్స్

పాత ప్రశ్నప‌త్రాలు

 

విద్యా ఉద్యోగ సమాచారం

 

నమూనా ప్రశ్నపత్రాలు

 

లేటెస్ట్ నోటిఫికేష‌న్స్‌